人教版高中数学选择性必修第二册4.3 等比数列的概念(第2课时) 分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册 等比数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)
(60分钟　110分)
知识点1　等比数列的性质
1．(5分)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
2．(5分)已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3a9＝2a，a2＝1，则a1＝(　　)
A． B．
C． D．2
3．(5分)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于(　　)
A．－213 B．213
C．26 D．－26
知识点2　等比数列的实际应用
4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为(　　)
A．8a，b B．64a，b
C．128a，b D．256a，b
5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
知识点3　等比数列的综合应用
6．(5分)已知等差数列{an}的首项a1和公差d均不为零，且a2，a4，a8成等比数列，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
7．(5分)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则数列{an}前6项的和为(　　)
A．－20 B．－18
C．－16 D．－14
8．(5分)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值为(　　)
A．－5 B．－
C．5 D．
9．(5分)已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9＝2a7，则S17＝(　　)
A．34 B．39
C．51 D．68
10.(5分)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q≠±1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．9 B．10
C．11 D．12
11．(5分)已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．33 B．84
C．72 D．189
12．(5分)(多选)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则(　　)
A．q2＝3 B．a＝4
C．a4a6＝2 D．n＝14
13.(5分)已知数列{an}是等比数列，且a3＋a5＝18，a9＋a11＝144，则a6＋a8＝________.
14.(5分)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
15.(10分)设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，求a1.
16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数．
17.(10分)已知数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
(1)求证：当0(2)若对任意k∈N*，都有ak，ak＋2，ak＋1成等差数列，求q的值．
18.(10分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，且bn＝an＋1－2an.
(1)求证：数列{bn}是等比数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
人教版高中数学选择性必修第二册 等比数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)
(60分钟　110分)
知识点1　等比数列的性质
1．(5分)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
B　解析：∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4.
∵a2·am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故选B.
2．(5分)已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3a9＝2a，a2＝1，则a1＝(　　)
A． B．
C． D．2
B　解析：∵a3a9＝a，∴a6＝a5，∴q＝.
∵a2＝a1q＝1，∴a1＝.
3．(5分)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于(　　)
A．－213 B．213
C．26 D．－26
A　解析：a1·a2·…·a13＝(a7)13＝(－2)13＝－213.
知识点2　等比数列的实际应用
4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为(　　)
A．8a，b B．64a，b
C．128a，b D．256a，b
C　解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，
∴对折7次后的厚度为27·a＝128a，
面积为7·b＝.
5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
C　解析：由题意知每年的产值构成以1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，则an＝a·1.1n.
∴a·1.1n>2a.∵1.17<2,1.18>2，∴n＝8.
知识点3　等比数列的综合应用
6．(5分)已知等差数列{an}的首项a1和公差d均不为零，且a2，a4，a8成等比数列，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
D　解析：∵a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2a8，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
∴d2＝a1d.
又d≠0，a1≠0，∴d＝a1，∴an＝a1＋(n－1)d＝na1≠0，
∴＝＝3.故选D．
7．(5分)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则数列{an}前6项的和为(　　)
A．－20 B．－18
C．－16 D．－14
B　解析：∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1·a4.
∴(a1＋4)2＝a1·(a1＋6)．∴a1＝－8.
∴S6＝6×(－8)＋＝－18.
8．(5分)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值为(　　)
A．－5 B．－
C．5 D．
A　解析：∵log3an＋1＝log3an＋1，
∴log3an＋1－log3an＝1，∴log3＝1，
∴＝3，∴{an}是等比数列，公比为3.
∴log(a5＋a7＋a9)＝log[(a2＋a4＋a6)·q3]＝log(9×27)＝－5.
9．(5分)已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9＝2a7，则S17＝(　　)
A．34 B．39
C．51 D．68
D　解析：∵a6＝a2a10＝a，
∴a6＝1.∴a7＝2a6＝2.
∴b9＝4.∴S17＝＝17b9＝17×4＝68.
10.(5分)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q≠±1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．9 B．10
C．11 D．12
C　解析：∵am＝a1a2a3a4a5＝a＝q10＝a11，
∴m＝11.
11．(5分)已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．33 B．84
C．72 D．189
B　解析：设等比数列{an}的公比为q，由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a1＋a3＝4a2，即12＋3q2＝4×3q，解得q＝2，∴a3＋a4＋a5＝a1q2＋a1q3＋a1q4＝3×(22＋23＋24)＝84.
12．(5分)(多选)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则(　　)
A．q2＝3 B．a＝4
C．a4a6＝2 D．n＝14
BD　解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，a＝4，a＝12，AC不正确．
又an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.故选BD．
13.(5分)已知数列{an}是等比数列，且a3＋a5＝18，a9＋a11＝144，则a6＋a8＝________.
±36　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵＝q6＝＝8，
∴q3＝±2.
∴a6＋a8＝(a3＋a5)·q3＝18×(±2)＝±36.
14.(5分)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
16　解析：∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
15.(10分)设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，求a1.
解：设{an}的公比为q(q≠1)，
∵a1a2a3＝a＝－，∴a2＝－.
∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4＝a2＋a3.
∴2×·q2＝－＋·q，
解得q＝－或q＝1(舍)．
∴a1＝＝1.
16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数．
解：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则解得或
故所求四个数依次为－，，－2,8或8，－2，，－.
17.(10分)已知数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
(1)求证：当0(2)若对任意k∈N*，都有ak，ak＋2，ak＋1成等差数列，求q的值．
(1)证明：∵an＝qn－1，
∴an＋1－an＝qn－qn－1＝qn－1(q－1)．
当00，q－1<0，
∴an＋1－an<0，
∴{an}为递减数列．
(2)解：∵ak，ak＋2，ak＋1成等差数列，
∴2ak＋2＝ak＋ak＋1.
∴2qk＋1－(qk－1＋qk)＝0，
即qk－1·(2q2－q－1)＝0.
∵q≠0，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.
18.(10分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，且bn＝an＋1－2an.
(1)求证：数列{bn}是等比数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减，得
Sn＋2－Sn＋1＝4(an＋1－an)，即an＋2＝4an＋1－4an，
∴＝＝＝2.
当n＝1时，由S2＝4a1＋2得a2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3，
∴{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知等比数列{bn}中，首项b1＝3，公比q＝2，
∴an＋1－2an＝3×2n－1，则－＝，
∴因此数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝n－，
∴an＝(3n－1)·2n－2.