人教版高中数学选择性必修第二册4.2等差数列的概念(第2课时) 分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册 等差数列的概念(第2课时)分层作业(原卷版)
(60分钟　100分)
知识点1　等差数列的性质
1．(5分)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　)
A．8 B．4
C．6 D．12
2．(5分)已知等差数列{an}中，a4＋a6＝8，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(　　)
A．10 B．16
C．20 D．24
3．(5分)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由an＋bn所组成的数列的第37项为(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
4.(5分)已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________.
知识点2　等差数列的实际应用
5．(5分)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为(　　)
A．1升 B．升
C．升 D．升
6．(5分)过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈，则k的取值不可能是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
知识点3　等差数列的综合问题
7.(5分)已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11的值为________．
8.(5分)正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.
9.(5分)在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为an＝________.
10.(5分)(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　)
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
11．(5分)已知数列{an}为等差数列，若a2＋a8＝，则tan(a3＋a7)的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
12．(5分)如果点(n，an)(n∈N*)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有(　　)
A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0
C．a7＋a9＝0 D．a7a9＝0
13．(5分)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
14.(5分)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是________．
15.(5分)已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a10＝________.
16.(12分)已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
17.(13分)已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
人教版高中数学选择性必修第二册 等差数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)
(60分钟　100分)
知识点1　等差数列的性质
1．(5分)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　)
A．8 B．4
C．6 D．12
A　解析：∵a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8.
∴m＝8.
2．(5分)已知等差数列{an}中，a4＋a6＝8，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(　　)
A．10 B．16
C．20 D．24
C　解析：∵a4＋a6＝2a5＝8，∴a5＝4，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝20.
3．(5分)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由an＋bn所组成的数列的第37项为(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
C　解析：∵{an}，{bn}是等差数列，
∴{an＋bn}是等差数列．
∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，
∴数列{an＋bn}的公差d＝0，∴a37＋b37＝100.
4.(5分)已知等差数列{an}，且a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝____________.
n＋1或－n＋9　解析：∵a3＋a5＝2a4＝10，
∴a4＝5.
∵a2a6＝(a4－2d)·(a4＋2d)＝25－4d2＝21，
∴d2＝1.∴an＝n＋1或an＝－n＋9.
知识点2　等差数列的实际应用
5．(5分)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则从上往下数，第5节的容积为(　　)
A．1升 B．升
C．升 D．升
B　解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则即
解得
则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升．
6．(5分)过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈，则k的取值不可能是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
A　解析：将x2＋y2＝10x化为(x－5)2＋y2＝52，
表示圆心为C(5,0)，半径r＝5的圆．
设A(5,3)，则AC＝3，故a1＝8，ak＝10.
∴10＝8＋(k－1)d，∴k＝＋1.
∵≤d≤，∴5≤＋1≤7，即5≤k≤7.
知识点3　等差数列的综合问题
7.(5分)已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11的值为________．
11　解析：∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a5＝10，
∴a5＝2.
∵a－a＝(a8＋a2)(a8－a2)＝2a5×6d＝36，
∴d＝.
∴a11＝a5＋6d＝2＋9＝11.
8.(5分)正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.
　解析：∵2a＝a＋a，∴{a}成等差数列，首项a＝1，
公差为a－a＝3，∴a＝3n－2，∴an＝.
∴a7＝＝.
9.(5分)在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为an＝________.
n－　解析：新数列的公差d＝×＝，
∴an＝－5＋(n－1)·＝n－.
10.(5分)(多选)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　)
A．公差d＝－4
B．a2＝7
C．数列{an}为递增数列
D．a3＋a4＋a5＝84
BC　解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.
∵a1＝3，∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.
∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45.
11．(5分)已知数列{an}为等差数列，若a2＋a8＝，则tan(a3＋a7)的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
D　解析：∵数列{an}为等差数列，
∴a3＋a7＝a2＋a8＝.
∴tan(a3＋a7)＝tan ＝－.
12．(5分)如果点(n，an)(n∈N*)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有(　　)
A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0
C．a7＋a9＝0 D．a7a9＝0
C　解析：∵3n－an－24＝0，∴an＝3n－24.
∴a7＋a9＝2a8＝0.
13．(5分)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
C　解析：∵等差数列{an}的公差为d，
∴an＋1－an＝d.
又∵数列{2a1an}为递减数列，
∴＝2a1d<1，∴a1d<0.
14.(5分)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是________．
16　解析：∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，
∴a8＝24.
∴a9－a11＝(a1＋8d)－(a1＋10d)＝a1＋＝(a1＋7d)＝a8＝16.
15.(5分)已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a10＝________.
20　解析：由已知得
∴3a＝12＋a＝12＋(2a2－2)2，∴a－8a2＋16＝0，
∴a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴a10＝a1＋9d＝20.
16.(12分)已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得
由①得a＝6，代入②得d＝±2.
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，
∴d＝2，∴这三个数分别为4,6,8.
17.(13分)已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4.
∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.