人教版高中数学选择性必修第二册 4.2.2 等差数列的前n项和公式(第2课时)分层作业(含解析)

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名称 人教版高中数学选择性必修第二册 4.2.2 等差数列的前n项和公式(第2课时)分层作业(含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-08-17 15:53:17

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文档简介

人教版高中数学选择性必修第二册
等差数列的前n项和公式(第2课时)分层作业(原卷版)
(60分钟 100分)
知识点1 求数列{|an|}的前n项和
1.(5分)设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|=(  )
A.139 B.153
C.144 D.178
2.(5分)在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18的值为________.
知识点2 等差数列前n项和的最值问题
3.(5分)已知数列{an}为等差数列,a2=0,a4=-2,则其前n项和Sn的最大值为(  )
A. B.
C.1 D.0
4.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=26-2n,若使此数列的前n项和Sn最大,则n的值为(  )
A.12 B.13
C.12或13 D.14
5.(5分)已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________.
知识点3 利用裂项相消法求数列的和
6.(5分)在数列{an}中,an=++…+(n∈N*).又bn=,则数列{bn}的前n项和Sn为(A)
A. B.
C. D.
7.(5分)设数列{an}满足对任意的n∈N*,Pn(n,an)满足PnPn+1=(1,2),且a1+a2=4,则数列的前n项和Sn为________.
知识点4 等差数列前n项和性质的应用
8.(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则的值为(  )
A.2 B.
C.4 D.5
9.(5分)已知等差数列的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则此数列中绝对值最小的项为(  )
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
10.(5分)(多选)设{an}是等差数列,Sn是前n项的和,且S5S8,则(  )
A.d>0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
11.(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n有(  )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
12.(5分)(多选)已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是(  )
A.4 B.5
C.6 D.7
13.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S19>0,S20<0,则使Sn取得最大值的n为________.
14.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=-2n-1,则数列{|an|}的前n项和为________.
15.(10分)已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,设{bn}的前n项和为Sn,求最小的正整数n,使得Sn>.
16.(10分)设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是a和an的等差中项.
(1)证明数列{an}为等差数列,并求an.
(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大值,并求出取最大值时n的值.
17.(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=25,a4=16.
(1)求n为何值时,Sn取得最大值;
(2)求a2+a4+a6+a8+…+a20的值;
(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.
人教版高中数学选择性必修第二册
等差数列的前n项和公式(第2课时)分层作业(解析版)
(60分钟 100分)
知识点1 求数列{|an|}的前n项和
1.(5分)设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|=(  )
A.139 B.153
C.144 D.178
B 解析:∵an=2n-7,∴a1=-5,d=2.∴Sn=n2-6n.
∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-a1-a2-a3+a4+…+a15=-S3+(S15-S3)=S15-2S3=153.
2.(5分)在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18的值为________.
60 解析:∵a1>0,a10·a11<0,
∴d<0,a10>0,a11<0,
∴T18=a1+a2+…+a10-(a11+a12+…+a18)=S10-(S18-S10)=60.
知识点2 等差数列前n项和的最值问题
3.(5分)已知数列{an}为等差数列,a2=0,a4=-2,则其前n项和Sn的最大值为(  )
A. B.
C.1 D.0
C 解析:∵a2=0,a4=-2,∴d=-1,
∴an=2-n.
∴Sn的最大值为S1=S2=1.
4.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=26-2n,若使此数列的前n项和Sn最大,则n的值为(  )
A.12 B.13
C.12或13 D.14
C 解析:由an≥0,得n≤13,∴S13=S12最大.
5.(5分)已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________.
6或7 解析:∵d>0,∴|a5|=|a9|可化为-a5=a9.
即a5+a9=2a7=0.∴a7=0,∴a6<0,a8>0.
∴S6=S7最小.
知识点3 利用裂项相消法求数列的和
6.(5分)在数列{an}中,an=++…+(n∈N*).又bn=,则数列{bn}的前n项和Sn为(A)
A. B.
C. D.
7.(5分)设数列{an}满足对任意的n∈N*,Pn(n,an)满足PnPn+1=(1,2),且a1+a2=4,则数列的前n项和Sn为________.
 解析:∵Pn(n,an),Pn+1(n+1,an+1),
∴PnPn+1=(1,an+1-an)=(1,2),∴an+1-an=2.
∴{an}为等差数列,d=2.
∵a1+a2=2a1+d=4,∴a1=1.∴an=2n-1.
∵==
×,
∴Sn=×
=×=.
知识点4 等差数列前n项和性质的应用
8.(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则的值为(  )
A.2 B.
C.4 D.5
C 解析:∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,
∴======4.故选C.
9.(5分)已知等差数列的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则此数列中绝对值最小的项为(  )
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
C 解析:∵S13<0,S12>0,∴d<0.
∵S13==13a7<0,∴a7<0.
∵S12==6(a6+a7)>0,
∴a6>0且|a6|>|a7|.
∴a7的绝对值最小.
10.(5分)(多选)设{an}是等差数列,Sn是前n项的和,且S5S8,则(  )
A.d>0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
BD 解析:由S5∴a6>0.
又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0.
同理由S7>S8可得a8<0.若S9>S5,则a6+a7+a8+a9>0,
∴2(a7+a8)>0.
由题设a7=0,a8<0,显然A,C项是错误的.
11.(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n有(  )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
D 解析:∵=====7+.
当n+1=2,3,4,6,12,即n=1,2,3,5,11时,是整数.
12.(5分)(多选)已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是(  )
A.4 B.5
C.6 D.7
BC 解析:∵在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,∴a3+a9=0,∴a6=0.又d<0,∴a5>0,a7<0,
∴使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6.
13.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S19>0,S20<0,则使Sn取得最大值的n为________.
10 解析:由S19>0,S20<0,可知{an}为递减的等差数列.设其公差为d,则d<0.由S19=>0,S20=<0,得a1+a19=2a10>0,a1+a20=a10+a11<0,所以a10>0,a11<0.所以使Sn取得最大值的n为10.
14.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=-2n-1,则数列{|an|}的前n项和为________.
n2+2n 解析:由题可知数列{an}的各项均为负值,设数列{|an|}的前n项和为Sn,则有Sn=-a1-a2-…-an=3+5+7+…+(2n+1)==n2+2n.
15.(10分)已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,设{bn}的前n项和为Sn,求最小的正整数n,使得Sn>.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
依题意有解得
从而{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)因为bn==-,
所以Sn=++…+=1-.
令1->,解得n>1 010,故取n=1 011.
16.(10分)设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是a和an的等差中项.
(1)证明数列{an}为等差数列,并求an.
(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大值,并求出取最大值时n的值.
解:(1)由已知,得2Sn=a+an,且an>0.
当n=1时,2a1=a+a1,解得a1=1.
当n≥2时,2Sn-1=a+an-1.
所以2Sn-2Sn-1=a-a+an-an-1,即2an=a-a+an-an-1,
即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,
且an=n.
(2)由(1)可知an=n.设cn=an·bn,
则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-2+.
∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,{cn}的最大项为6.
故{an·bn}的最大值为6,此时n=2或n=3.
17.(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=25,a4=16.
(1)求n为何值时,Sn取得最大值;
(2)求a2+a4+a6+a8+…+a20的值;
(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解:(1)在等差数列{an}中,a1=25,a4=16,
∴公差d==-3.∴an=-3n+28.
令an=-3n+28≥0且n∈N*,得n≤9.
∴当n≤9时,an>0;当n>9时,an<0.
∴当n=9时,Sn取得最大值.
(2)∵数列{an}是等差数列,
∴a2+a4+a6+a8+…+a20==10a11=10×(-3×11+28)=-50.
(3)由(1)得,当n≤9时,an>0;当n>9时,an<0.
∴当n≤9时,Tn=a1+a2+…+an
=25n+×(-3)=-n2+n.
当n>9时,Tn=a1+a2+…+a9-(a10+a11+…+an)=2S9-Sn=2×(9×25-36×3)-=n2-n+234.
所以Tn=