第十二章 分式和分式方程单元练习（含解析）

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第十二章 分式和分式方程 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）若分式的值是0，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．1或
2．（2023秋·河北沧州·八年级校考期末）如果把分式中的x和y的值都变为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．不变
3．（2023秋·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）已知，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．5
4．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对
5．（2023秋·广西桂林·八年级统考期末）若关于的方程的解为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）为了强健体魄，小军计划从学校出发跑步10千米的路程，在下午3时到达文峰塔，实际速度比原计划速度快，结果下午2时到达，求原计划行进的速度，设原计划的速度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）若分式的值大于0，则x满足的条件是 ．
8．（2023春·江西九江·八年级统考期末）化简：= ．
9．（2023春·江苏·八年级期末）已知三个数x，y，z满足，．则的值为 ．
10．（2023春·重庆南川·八年级统考期末）若关于的一元一次不等式组至少有四个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和等于 ．
11．（2023秋·云南玉溪·八年级统考期末）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：4、6、x，若要能组成调和数，则x的值为 ．
三、解答题
12．（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中x为不等式组的整数解．
13．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）（1）计算：
（2）如图，在中，，外角的平分线、相交于点D，求的度数．
14．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）为了美化周围环境，社区购买了A、B两种不同品种的花苗，已知A种花苗的单价比B种花苗的单价多1.5元，且用8000元购买A种花苗的数量与用5000元购买B种花苗的数量相同．
(1)求A、B两种花苗的单价各是多少元？
(2)根据实际情况需要，社区还需要增加购买一些花苗，增加购买B种花苗数量是增加购买A种花苗数量的2倍，若本次增加购买的总费用不超过7200元，求增加购买A种花苗的数量最多是多少株？
15．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）观察以下等式：
第1个等式：； 第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式 ；
(2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明．
16．（2023春·山西晋中·八年级统考期末）在第五章的复习课上，王老师带领同学们对异分母分式加减和解分式方程进行了对比学习，请仔细阅读下面两位同学的解题过程并完成相应的任务：
小亮同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 小茵同学的做法： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步
任务一：①小亮同学第一步的运算是 （从下列四个选项中选出正确的一项）；其依据是_______；
A．通分 B．约分 C．去分母 D．因式分解
②小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是_______．
任务二：小茵的解题步骤不完整，请你在下列方框内补充缺少的步骤．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据分式的性质知，分式的结果为０，则分式的分子为0，同时分母不为0，由此可求出y的值．
【详解】∵的值是0，
要满足要求，则分式的分子为0，分母不为0，
∴，，
解得，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式的分子为0，同时分母不为0，是解决本题的关键．
2．A
【分析】将原分式中的和分别用代替求出结果，再与原分式比较即可得出答案.
【详解】解：将原分式中的和分别用代替，得：
新分式=
故新分式的值变为原来的2倍.
故选：A.
【点睛】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．
3．C
【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确的对代数式进行变形是解题关键．
4．C
【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
①若，则，
∴，故①正确；
②若，即，则，则，故②正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
5．B
【分析】将代入方程，求出的值即可．
【详解】解：是方程的解，
，
解得：，
经检验，是方程的解，
故选：．
【点睛】本题考查了分式方程的解和解分式方程，掌握解分式方程的方法是解答本题的关键，注意解分式方程最后的验根．
6．C
【分析】设原计划的速度为，根据实际比原计划少一小时，列出分式方程即可求解．
【详解】解：设原计划的速度为，则可列方程为
则可列方程为：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程．
7．
【分析】根据分子分母同号，则分式大于0，据此列不等即可解答．
【详解】解：分式的值大于0，分子分母同号，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值，根据分子分母同号列出不等式是解题关键．
8．/
【分析】先将分母因式分解，再约分即可．
【详解】试题解析：原式
故答案为．
【点睛】本题考查分式的乘法，解题的关键是先将分子分母进行因式分解．
9．
【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出 的值，从而得出代数式的值．
【详解】解：∵3，，
∴，
整理得，①，②，③，
①+②+③得，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题的关键．
10．20
【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式，再由关于的一元一次不等式组至少有四个整数解，得到；再由分式方程的解法得到，进而由关于得分式方程的解是正整数且为整数，得到，，，，从而得到，，，即可得到所有满足条件的整数的值之和为．
【详解】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得；
关于的一元一次不等式组至少有四个整数解，
，解得
，
，则，解得，
关于得分式方程的解是正整数且为整数，
，，，，即，，，，
又，
，，，
所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式组解法、分式方程解法，熟练掌握含参数不等式组及含参数分式方程的解法是解决问题的关键．
11．12、3或
【分析】根据题意可建立关于x的方程，然后解方程即可．
【详解】当时，
根据题意得：
，
整理得：，
解得：；
当时，
根据题意得：
，
整理得：，
解得：；
当时，
根据题意得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为12、3或．
【点睛】本题考查了分式方程得解法，根据题意建立正确方程是解题的关键．
12．，
【分析】先根据分式的运算法则和运算顺序化简分式，再求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件确定x的值，再把x的值代入化简结果计算即可．
【详解】解：
，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解是，
∴当或或时，分式无意义，
∴，
当时，
原式
．
【点睛】此题考查了分式的化简求值、求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握分式的运算法则和一元一次不等式组的解法是解题的关键．
13．（1）；（2）．
【分析】（1）利用分式的乘除法则进行计算即可；
（2）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义得到，根据三角形的内角和为，得到，，进而求出，再利用三角形的内角和定理，即可得解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：根据三角形的外角性质，，
∵、分别是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质．熟练掌握分式乘除的运算法则，以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
14．(1)A种花苗的单价为4元，B种花苗的单价为2.5元
(2)增加购买A种花苗的数量最多是800株
【分析】（1）设A种花苗的单价为x元，则B种花苗的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设增加购买A种花苗的数量是m株，根据题意列出不等式，然后根据m为正整数求解即可．
【详解】（1）设A种花苗的单价为x元，则B种花苗的单价为元，
根据题意，得：，
解方程，得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
所以．
答：A种花苗的单价为4元，B种花苗的单价为2.5元；
（2）设增加购买A种花苗的数量是m株，
根据题意，得：，
解不等式，得：．
因为m为正整数，所以正整数m的最大值为800，
答：增加购买A种花苗的数量最多是800株．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
15．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，差与被减数互为倒数，被减数的分母比分子小1，由此即可得到第5个等式；
（2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可．
【详解】（1）解：第个等式：，
第个等式，
第个等式，
第个等式，
∴第个等式为：．
故答案为：．
（2）由（1）得，第个等式：，
证明如下：
，
等式左边右边，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有关的规律探索，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答．
16．任务一：①A，分式的基本性质（分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②等式的基本性质（等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式）；任务二：见解析
【分析】任务一：①分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变；②等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式，据此即可作答；
任务二：解分式方程时，要对所求的根进行检验，据此作答即可．
【详解】任务一：①A，分式的基本性质（分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变）
②等式的基本性质（等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数所得结果仍是等式）
任务二：检验：把代入原方程中，
左边，右边，
因为左边=右边，
所以是原方程的根（有检验过程即可）．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，解分式方程的知识，掌握分式方程的解法，是解答本题的关键．
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