第十二章 分式和分式方程单元练习（含解析）

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第十二章 分式和分式方程 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）七年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）下列各式：，，，，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：．已知u和v，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·四川资阳·八年级统考期末）若关于的方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川达州·八年级统考期末）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2023春·江苏南京·八年级校联考期末）若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是 ．
8．（2023春·江西九江·八年级统考期末）化简：= ．
9．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）若，则 ．
10．（2023春·四川雅安·八年级统考期末）已知关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解是正整数，则整数m的值为 ．
11．（2023秋·河北保定·八年级校联考期末）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so，研究15，12，10这三个数的倒数发现：．我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：，5，3（），则可列关于的方程为 （无需整理），解得 ．
三、解答题
12．（2023春·湖南衡阳·八年级统考期末）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当，，时，求式子的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
13．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）先化简，再从，，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
14．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）（1）解方程：；
（2）解不等式组：，并写出它的正整数解；
（3）计算：
15．（2023春·江西鹰潭·八年级统考期末）（1）如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，求的度数．

（2）若分式的值为0，求的值．
16．（2023春·山西晋中·八年级统考期末）引体向上是《国家体质健康标准》初中男生的必测项目，主要测试上肢肌肉力量的发展水平，是自身力量克服自身重力的悬垂力量练习．小明和小刚在单杠上练习引体向上，每次引体向上身体上升的高度为握拳时手臂的长度，小明握拳时手臂长度比小刚的长米．已知小明和小刚练习引体向上时自身重力相同，完成1次引体向上所做的功分别是350焦和300焦，求小刚握拳时手臂的长度是多少米？（所做的功=重力×上升高度）
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：在，，，中，其中分式有：、共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
2．C
【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可．
【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意；
B、，本选项错误，不符合题意；
C、，本选项正确，符合题意；
D、，本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键．
3．C
【分析】把u、v当作常数，即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，得
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加减，关键是会正确对分式进行变形．
4．A
【分析】首先将原分式方程去分母化为整式方程得到，，并进一步整理，由方程有增根，可知是方程的增根，将代入得到的整式方程中，计算即可得出结论．
【详解】由得：，
∴，
∵方程有增根，
∴，即，
解得：，
故选：．
【点睛】此题考查了分式方程及增根的定义知识，熟练掌握分式方程的解法是关键．
5．C
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
6．A
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，
根据题意得，
故选：A．
【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意，找出对应的关系是解题的关键．
7．12
【分析】将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可．
【详解】将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为
，
若分式的值为6，
则所得分式的值是．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．
8．/
【分析】先将分母因式分解，再约分即可．
【详解】试题解析：原式
故答案为．
【点睛】本题考查分式的乘法，解题的关键是先将分子分母进行因式分解．
9．7
【分析】由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了分式求值，异分母分式的减法运算，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．1或0或/0或1
【分析】根据不等式组无解得到，得到，再结合分式方程的解是正整数，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式组无解，
∴，
∴；
∵，解得：，
∵分式方程的解是正整数，且且m为整数，
∴或或或，
∴；
∵且，
∴．
故答案为：1或0.
【点睛】本题考查根据不等式组的解集，分式的解的情况，求参数．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
11． 15
【分析】由调和数的定义列分式方程求解即可．
【详解】解：根据调和数的定义可得：
，解得：，
经检验：是分式方程的解．
故答案为：，15．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键．
12．能，见解析
【分析】根据分式的除法计算法则进行求解即可．
【详解】解：能，计算过程如下：
，
因此，不管取何值（除外），这个式子的值都是．
【点睛】本题主要考查了分式的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
13．，取，原式．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式，
，
∵且，
∴时，原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
14．（1）；（2），正整数解为1，2；（3）
【分析】（1）根据分式方程的解法步骤求解即可得到答案；
（2）根据一元一次不等式组的解法步骤求解即可得到答案；
（3）根据分式的性质化简即可得到答案．
【详解】解：（1），
方程两边同时乘以得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
检验：当时，，
是原分式方程的解；
（2），
由①得；
由②得；
原不等式组的解集为；即它的正整数解为1，2；
（3）
．
【点睛】本题考查解分式方程、二元一次不等式组及分式化简，熟练掌握相关题型的解法步骤是解决问题的关键．
15．（1）；（2）
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出．
（2）根据分子等于零，且分母不等于零，进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
则，
是的外角，
∴．
（2）解：∵分式的值为0，
∴且
解得：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质及分式为0的条件，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
16．小刚握拳时手臂的长度是0.6米．
【分析】方法一：设小刚握拳时手臂的长度是x米，那么小明握拳时手臂的长度是米，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；方法二：设小明握拳时手臂的长度是x米，那么小刚握拳时手臂的长度是米，同理可解．
【详解】方法一：设小刚握拳时手臂的长度是x米，那么小明握拳时手臂的长度是米，
由题意得：，
解之得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：小刚握拳时手臂的长度是米；
方法二：解：设小明握拳时手臂的长度是x米，那么小刚握拳时手臂的长度是米，
由题意得：，
解之得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
（米）．
答：小刚握拳时手臂的长度是米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程，是解答本题的关键．
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