第十六章 轴对称和中心对称 单元练习（含解析）

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第十六章 轴对称和中心对称 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）中国传统文化博大精深，下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．京剧脸谱 B．剪纸对鱼
C．中国结 D．风筝燕归来
3．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末） 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．（2023秋·陕西商洛·八年级统考期末）如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是（　　　）

A． B． C． D．
5．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．满足的，，三条线段一定能组成三角形
C．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
D．等腰三角形的腰长一定小于底边长的一半
6．（2023秋·重庆大足·八年级校联考期末）如图，的三边、、的长分别是15、9、6，点是三条角平分线的交点，则的值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，一张宽度相等的长方形纸条，如图所示折叠一下，那么 ．
8．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点O成中心对称，则点的坐标是 ．
9．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）如图，在中，平分，，垂足为．若的面积为12．，则的长为 ．

10．（2023秋·江西上饶·八年级校联考期末）如图，在中，，垂直平分，交于点G，交于点D，P为直线上一动点（不在的延长线上），连接，则周长的最小值是 ．

11．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）如图，在中，已知，，，点在边上，，线段绕点顺时针旋转度后，点旋转至点，如果点恰好落在的边上，那么的面积等 ．
三、解答题
12．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
(1)将先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到，在图中画出；
(2)在图中作出关于原点成中心对称的．
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试卷第1页，共3页
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13．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点的坐标分别为．

(1)画出关于y轴成轴对称的，并写出点的坐标；
(2)请直接写出的面积；
(3)在y轴上找一点P，使，并写出点P的坐标．
14．（2023春·北京·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点．

(1)已知直线：，在点，，中，直线的关联点是___________；
(2)若在x轴上存在点P，使得点P为直线：的关联点，求b的取值范围；
(3)已知点，若存在直线：是点N的关联直线，直接写出n的取值范围．
15．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点、连接、．求证：

(1)是等边三角形；
(2)点在线段的垂直平分线上．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称的定义，即图形沿某条直线折叠后，能与原图形的另一部分重合，据此即可一一判定．
【详解】解：选项A、B、C的图形都是轴对称图形，选项D的图形不是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、该图形是既不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3．D
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【详解】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；
②是中心对称图形，故本选项符合题意；
③不是中心对称图形，故本选项不合题意；
④是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟悉掌握概念是解题的关键
4．C
【分析】由中，边的中垂线分别交于点D、E，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
【详解】解：∵中，边的中垂线分别交于点D、E，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为：．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
5．C
【分析】根据三角形的外角定理即可判断A，根据三角形三边之间的关系，即可判断B，根据三角形垂直平分线交点的性质，即可判断C，根据垂直平分线作图步骤，即可判断D．
【详解】解：A、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，则三角形的外角大于与它不相邻的两个内角；故A不正确，不符合题意；
B、三角形三边之间的关系为，故B不正确，不符合题意；
C、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故C正确，符合题意；
D、等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，三角形三边之间的关系，三角形垂直平分线交点的性质，垂直平分线作图步骤，解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形垂直平分线交点到三个顶点距离相等．
6．B
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可解答．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，

点是三条角平分线的交点，
．
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线\由角平分线的性质定理得出是解题关键．
7．
【分析】先根据平行线的性质求出，由折叠的性质可得，则由平角的定义可得．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
8．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数得出答案．
【详解】解：点的坐标是，点与点关于原点对称，
点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．4
【分析】过点D作，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出，然后再利用角平分线的性质可得，即可解答．
【详解】解：过点D作，垂足为F，

的面积为12，，
，
，
平分，，，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．14
【分析】利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长=，
故答案为14．

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质和两点之间线段最短，解题关键是理解相关概念并正确转化．
11．或
【分析】根据勾股定理可求，的长，即可求，，分类讨论当点落在上；当点落在上，再根据勾股定理、等边三角形的性质、旋转的性质，可求的面积．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点在边上，，
∴，，
当点在上时，过点作于点，
∵是由旋转得到，
∴，且，
是等边三角形，
∴，且，，
∴，，
∴，
如图，当点在上时，
∵是由旋转得到，
∴，
在中，，
∴，
综上所述：的面积为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据给出的平移方式作图即可；
（2）找出的三个顶点关于原点O成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得．
【详解】（1）解：如图所示，
；
（2）解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点．
13．(1)见解析，点
(2)8
(3)见解析，点
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点确定点，然后顺次连接即可得到，然后再直接读出点的坐标即可；
（2）直接利用割补法即可解答；
（3）作线段的垂直平分线，其与y轴的交点即为点P．
【详解】（1）解：如图；即为所求，点；
（2）解：的面积为；
（3）解：如图：点P即为所求，
【点睛】本题主要考查了轴对称作图、割补法求面积、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
14．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）利用网格图确定线段关于直线：对称的线段,点在上，得出结论．
（2）如图，由题意知，点Q在线段AB上，当点Q与点A重合时，点P的坐标为，直线经过原点，此时b=0；当点Q与点B重合时，点P的坐标为，直线经过点A，此时，所以．
（3）如图，点在直线上，设线段关于的对称线段为,当直线：为时，可求，此时，点为满足题意的点N，；，当在第一、三象限内，存在如下图情况，此时，点落在上，落在x轴上，连接，过点A作轴，垂足为，可求，此时，为满足题意的点N，；如图，线段与关于y轴对称，可求，此时为满足题意的点N，；如图，当直线在第二、四象限，存在如下情况，点在直线上，点在x轴上,作，垂足为H，可求，此时为满足题意的点N，，得出结论．
【详解】（1）解：如图，线段关于直线：对称的线段,点在上，故直线的关联点是；

（2）解：如图，由题意知，点Q在线段AB上，
∵点P为直线的关联点，
∴点P关于直线的对称点为Q，

当点Q与点A重合时，点P的坐标为，
是等腰直角三角形，直线经过原点，此时b=0；
当点Q与点B重合时，点P的坐标为，
是等腰直角三角形，直线经过点A，此时．
综上所述，b的取值范围是．
（3）解：如图，点在直线上，设线段关于的 对称线段为,
当直线：为时，点，关于直线的对称点,，此时，点为满足题意的点N，；

随着增大，当在第一、三象限内，存在如下图情况，点落在上，落在x轴上，连接，由对称知，，
∴
过点A作轴，垂足为，中，
∴
∵
∴,
∴点
此时，为满足题意的点N，

故时，存在直线：是点的关联直线；
如图，线段与关于y轴对称，,此时为满足题意的点N，；

如图，当直线在第二、四象限，存在如下图情况，点在直线上，点在x轴上,

过点作，垂足为H，由对称知，，，
，中，
∵
∴
∴
此时为满足题意的点N，
故时，存在直线：是点的关联直线；
综上，若存在直线：是点的关联直线，则，或．
【点睛】本题考查直角坐标系与点的坐标，轴对称，等腰直角三角形，勾股定理，动态的理解图形，分类对所有情况作完备的讨论是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形；
（2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵在中，，，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，则，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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