第十七章 特殊三角形单元练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第十七章 特殊三角形 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．已知等腰三角形有两条边的长分别是3，7，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．10
2．已知等腰为边上的高，且，则等腰的底角的度数为（ ）
A． B．或 C．或 D．以上都不对
3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，已知的两条直角边，，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．如图，于，于，，则图中全等三角形共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，的垂直平分线交于点D．则的大小为 ．

8．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ．

9．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，则等于 ．

10．如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为 ．
11．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为 ．
三、解答题
12．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，正方形的顶点称为格点．

(1)以格点为顶点画，使得，，；
(2)求的面积和点到的距离；
13．如图，在中，．
(1)尺规作图：在射线上找一点M，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
14．如图，已知平分，于E，于F，且．求证：．

15．反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全．
已知：在中，．求证：．
证明：假设_____________________．
∵，
∴，
∴，
这与_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
16．如图1，已知等边边长为，点P、Q分别是边上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为．连接交于点M．
(1)求证：；
(2)连接，何时是直角三角形？
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交于点M，求的度数．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．A
【分析】分两种情况讨论，当腰长为分别为3和7时，利用三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行验证三边是否能组成三角形，即可得出答案．
【详解】解：当腰长为3时，三角形三边分别为3，3，7，，所以不能组成三角形；
当腰长为7时，三角形三边分别为3，7，7，且，所以能组成三角形，周长为17．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质及三角形三边关系，解题时注意如果题意没有明确腰和底边，则需要分情况进行讨论，并利用三角形三边关系进行验证是否能组成三角形，这是解题关键．
2．D
【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当时，根据已知条件得出，从而得出底角的度数；当时，先求出的度数，再根据求出底角的度数，当时，求出底角．
【详解】解：①当时，如图，
则；

∵为边上的高，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
而这四个角和为，
∴底角为；
②当时，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴底角为；
③当时，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴底角为；
故选：D．
【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏解．
3．B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键．
4．C
【分析】根据勾股定理求出的长度，得出点P表示的数，再用夹逼法估算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点P表示的数为，
∵，
∴点P表示的数介于3和4之间，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，无理数的估算，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，以及用夹逼法估算无理数的方法．
5．C
【分析】由，，证明，则，，由，，，证明，则，由，，，证明，然后作答即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴图中全等三角形共有3对，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
6．D
【分析】先根据“”判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．/30度
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出及的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出的度数即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
8．9
【分析】连接，根据直角三角形斜边中线求出，再利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：连接
在中，
，，
点M是的中点，
由旋转可知：，，，
点N是的中点，
，
是等边三角形，
，
，
，
的最大值是9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系．解题的关键在于灵活地运用这些知识点，将这些知识点串联起来．
9．
【分析】根据垂直平分线性质，得到，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间数量关系，得出，再根据等角对等边，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，进而得出，再根据勾股定理，得出，设，则，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据勾股定理，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
在中，
，
设，则，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键．
10．
【分析】过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，，则，，，设，则，由勾股定理得，，求出的值，结合三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于点，
由题意得，为的平分线，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，
的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图方法及性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键．
11．①②④
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠0DB，AC=BD，①正确；由全等三角形性质得∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，根据全等三角形的性质得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
如图，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴，
∴
∴OH=OG，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∴MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA＞OC矛盾，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
12．(1)见解析；
(2)面积是，距离是．
【分析】（1）根据勾股定理作图；
（2）根据割补法求出的面积，再利用面积求出边上的高，即为点到的距离．
【详解】（1）如图所示，为所求图形；

（2）的面积为：，
设边上的高为，则：，
解得：，
所以的面积是，点到的距离是．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，勾股定理，三角形的面积，点到直线的距离，掌握勾股定理及割补法求面积是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过B作的垂线，交射线于点M，则点M即为所求；也可以在射线上截取，则根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和定理求得，即；
（2）在作法一中，利用利用等腰三角形的判定与性质得到可得结论；在作法二中，直接根据作图过程可得结论．
【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求；
（2）证明：在作法一中，∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
在作法二中，由作图过程知，，
∴．
【点睛】本题考查基本作图、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理等知识，掌握基本作图方法，熟知等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
14．证明见解析
【分析】先根据角平分线的性质得到，再利用证明即可．
【详解】证明：∵平分，于E，于F，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，熟知直角三角形全等的判定条件和角平分线上的点到角两端的距离相等是解题的关键．
15．；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】解：证明：假设
∵，
∴，
∴，
这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾．
∴此假设不成立．
∴，
故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
16．(1)见解析
(2)点P、Q运动到第秒或第秒时，为直角三角形
(3)120°
【分析】（1）由证明即可；
（2）分和两种情况，由含角的直角三角形的性质得出方程，求解即可；
（3）证，得，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】（1）在等边中，
∵，
又∵点A、B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴．
（2）设运动时间为t秒，则
①当时，
∵，
∴．
∴，即，解得；
②当时，
∵，
∴．
∴，即，解得；
∴当点 P、Q 运动到第秒或第秒时，为直角三角形．
（3）∵在等边中，，
∴，
∵点A、B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)