第十三章 全等三角形单元练习（含解析）

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第十三章 全等三角形 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列命题都是正确的命题，其中逆命题也正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．下列命题为假命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行
B．三角形的三个内角中至少有一个内角不大于
C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
3．下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形
4．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
5．如图，若，点和点是对应点，点和点是对应点，点在上，则下列结论中一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
6．等腰三角形“三线合一”是应用特别广泛的一个重要模型，小明对与其相关的习题解题热情高涨．如图，四边形的对角线交于点O，小明根据所给条件依次进行了探究，在其得出的四个命题中，假命题的是（ ）

A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
7．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
8．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容
如图，已知，
求作：的角平分线．
作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交 于点；②分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于点；③画射线，即为所求．
A． 表示 B． 表示、 C． 表示 D．表示
二、填空题
9．4个人进行游泳比赛，赛前，，，等4名选手进行预测，说：“我肯定得第一名”，说：“我绝对不会得最后一名”，说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是 ．
10．如图，在的正方形网格中标出了和，则 度．
11．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．

12．用尺规作图法作已知角的平分线的步骤如下：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作圆，两弧在的内部相交于点；
③作射线.则射线为的平分线.
由上述作法可得的依据是 ．
三、解答题
13．如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断：①AD∥BE； ②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：
结论：
（2）证明你所构建的命题是真命题．
14．如图，点在一条直线上，且，若，．求证：．

15．小明在学习八年级上册第七章《平行线的证明》的过程中，遇到如下图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图，并填空．
(1)用尺规作交的延长线与点，使得；
(2)求证：．
_____________①
．
，
_____________②．
又_____________③，
．
而，
，
_____________④，
．
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试卷第1页，共3页
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16．在中，，，直线经过点，且于，于.
(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；
参考答案：
1．D
【分析】先确定各选项的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解：A．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意；
B．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意；
C．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意；
D．若，则逆命题为若，则是真命题，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了原命题、逆命题的定义和不等式的性质．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解题关键是能够根据不等式的性质对逆命题进行判断．
2．D
【分析】利用平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行是真命题；
B、三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，是真命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行线的判定、三角形的内角及三角形的外角的性质．
3．B
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
4．B
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
5．B
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，，，继而得，即，即可得出答案．
【详解】解：∵
∴，，，，，，
故A、C、D选项不一定成立，
∴，
∴
故B选项一定成立，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
6．B
【分析】运用证明可判断A正确；运用不能证明，故可判断B错误；运用证明可判断C正确；运用证明得，再根据证明可判断D正确．
【详解】解：A.∵BD⊥AC，
∴
又
∴，
∴
∴选项A正确，不符合题意；
B.由，，无法判断，
∴无法得出，故选项B错误，符合题意；
C. 在和中，
∴
∴
∴选项C正确，不符合题意；
D.在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．A
【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
8．D
【分析】根据角平分线的尺规作图的做法即可求解.
【详解】尺规作∠AOB的平分线的作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交 OB于点；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点；③画射线，即为所求．
所以 表示BC， 表示M、N， 表示，表示∠AOB.
故选：D
【点睛】本题考查的是尺规作图-作角平分线，掌握角平分线的作法及作图语言是关键.
9．
【分析】分别假设每个人的预测错误，进而得出矛盾即可答案．
【详解】解：如果错，则为第一，为第二，为最后一名，所以是错的．
如果错，则最后，也错，出现矛盾；
如果错，则是第一或最后一名，与第一、最后，矛盾；
如果错，其他都对的话，则没有最后一名；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾是解题关键．
10．
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
11．4
【分析】以角平分线构造轴对称型全等模型，根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：在上取一点，使得，如图所示：

故当时，有最小值，如图所示：

故答案为：4
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系、垂线段最短等知识点．根据条件得出是解题关键．
12．
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
【详解】解：
∵在△OEC和△ODC中，CE＝CD,OC＝OC,OE＝OD
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选D．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
13．（1）AD∥BE，；；（2）见解析
【分析】（1）根据命题的概念，写出条件、结论；
（2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明．
【详解】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2；
结论：③∠A＝∠E，
故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E；
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠A＝∠E．
【点睛】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．证明见解析.
【分析】由∠1=∠2，根据补角的性质可求出，根据AB=CD可得，根据推出，根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】∵，．
又∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在 和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能证明是解此题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法，作即可；
（2）根据平行线的性质得到，等量代换得到，利用等式的性质得到，利用三角形内角和得到，从而判定结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）①
．
，
②．
又③，
．
而，
，
④，
．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定和性质，三角形内角和，解题的关键是充分利用已知条件，熟练运用平行线的判定和性质定理．
16．(1)①见解析，②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①由已知推出，推出，根据角角边即可推出．
②由①得到，即可求出答案．
（2）与（1）类似证出，得到代入已知即可知道答案．
【详解】（1）①证明：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
．
②证明：由（1）知：，
，，
，
．
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等根据已知条件证出符合全等的条件是解题的关键．
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