第十五章 二次根式单元练习（含解析）

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第十五章 二次根式 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．（2023秋·湖南常德·八年级统考期末）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·广东湛江·八年级统考期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）下列各根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·江苏淮安·八年级校考期末）下列关于的表述错误的是（ ）
A．它是最简二次根式 B．它是无理数
C．它就是 D．它大于8
5．（2023春·重庆荣昌·八年级统考期末）估计的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
6．（2023春·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春·河北承德·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6 B．16 C． D．
二、填空题
9．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）观察下列式子：；；；；…；请用字母表示其中的规律 ．
10．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于 ．
11．（2023秋·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ．
12．（2023秋·湖南邵阳·八年级统考期末）观察下列等式：①；②；③；，请用字母表示你所发现的律： ．
三、解答题
13．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）观察以下等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
第4个等式：＝；
第5个等式：＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
14．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）观察下列各式及其验算过程：
，验证：；
，验证：．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
15．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，电子蚂蚁从点M出发，沿数轴正方向爬了1个单位长度到达点N，点M表示的数，点N所表示的数为n．数轴上还有一点P表示的数为p，且满足与互为相反数，求的算术平方根．

16．（2023春·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考期末）已知：三角形的三边长分别为a，b，c（）．求证：．
(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．

(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．

思路①利用，，，再配方，…… 思路②利用，使用平方差公式，…… 思路③利用，……
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参考答案：
1．B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
2．D
【分析】根据实数a，b在数轴上的位置确定a、b的符号，再根据二次根式的性质将二次根式进行化简即可．
【详解】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，，
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提．
3．A
【分析】直接利用最简二次根式的定义逐项应用判断即可．
【详解】、是最简二次根式，此选项符合题意；
、，不是最简二次根式，此选项不符合题意，排除；
、，不是最简二次根式，此选项不符合题意，排除；
、，不是最简二次根式，此选项不符合题意，排除；
故选：．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是判断最简二次根式得过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式．
4．D
【分析】根据题意逐项分析判断即可即可求解．
【详解】解：是最简二次根式，是无理数，，故A，B，C，正确，
∵，故D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，无理数，实数的计算，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
5．C
【分析】将式子化简成，然后找这个无理数的整数范围即可．
【详解】解：．
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了无理数大小的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则以及估算的方法是解本题的关键．
6．A
【分析】运用二次根式的运算方法进行逐一计算、辨别．
【详解】、∵，∴此选项符合题意；
、∵，∴此选项不符合题意，排除；
、∵ ，∴此选项不符合题意，排除；
、∵ ，∴此选项不符合题意，排除，
故选：．
【点睛】此题考查了二次根式的运算能力，关键是能准确运用该计算法则进行计算．
7．A
【分析】将原式变形为，然后将的值代入计算即可．
【详解】解：，
．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
8．D
【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2，
三个小正方形的边长分别为、、．
由题图知：大正方形的边长为：．
．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键．
9．（a为正整数）
【分析】根据前3个等式归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：第1个等式为，即
第2个等式为，即，
第3个等式为，即，
第4个等式为，即，
归纳类推得：第a个等式为，其中a为正整数，
故答案为：（a为正整数）．
【点睛】本题考查了用代数式表示数的规律，二次根式的化简问题，注意掌握二次根式的化简知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
10．
【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可．
【详解】解：如图，，
∴
∴，
∵最大压强是前面向下放置，
∴，
∵最小压强是面积最大的面向下，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键．
11．
【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键．
12．
【分析】本题求的是分母有理化的计算方法，先找出分母的有理化因式，然后利用平方差公式进行求解即可．
【详解】①=+1；②=；③=+；……；
观察所给式子，得出规律为：
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式是解题的关键．
13．(1)
(2)第n个等式，证明见解析
【分析】（1）根据题意写出第6个等式；
（2）根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则证明结论．
【详解】（1）第6个等式：；
（2）第个等式：．
证明：
，
∵左边=右边，
故该等式成立．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
14．(1)，验证见解析
(2)，验证见解析
【分析】（1）根据材料中的方法即可求解．，将左右两边按照二次根式的性质计算即可验证；
（2）由（1）中的式子可得规律：．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
验证：，正确；
（2）解：由（1）中的规律可知，
∴，
验证：，正确．
【点睛】本题考查二次根式的乘除以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键．
15．的算术平方根为
【分析】根据，得出，根据相反数的定义可得，结合立方根的定义推出，求出p的值，最后将m，n，p的值代入得出代数式的值，最后在求它的算术平方根即可．
【详解】解：由题意，∵，
∴，
∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴的算术平方根为．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，立方根的定义，求算术平方根，解题的关键是根据相反数相加的0列出方程求出p的值，以及熟练掌握立方根和算术平方根的定义．
16．(1)①，②，③
(2)证明见解析
【分析】（1）根据完全平方公式求出，根据二次根式的乘法得出，再根据三角形三边关系进一步得出，即可得出答案；
（2）根据所给的方法推导即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
故答案为：①，②，③．
（2）选择①．推导思路如下：
由，且，得．
配方，得．
易得．
即．
易得．
选择②．推导思路如下：
由，得，即．
故．
易知，
所以，即．
【点睛】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键．
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