：特殊三角形期末总复习学案（一）
一．基础知识回顾
等腰三角形
1.定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形
2.等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，
3.等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ⑵有两 相等的三角形是等腰三角形。
特别提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的_____ 相等，两底角的平分线也相等 。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证 ，讨论角时应主要底角只被为 角21cnjy.com
4.等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都 都等于
⑵等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴
1.等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是 度的 三角形是等边三角形
特别提醒：1.等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2.有一个角是直角的等腰三角形是 三角形
线段的垂直平分线和角的平分线
1.线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2.性质：线段垂直平分线上的点到 的距离相等
3.判定：到一条线段两端点距离相等的点在
4.角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等
5.角的平分线判定：到角两边距离相等的点在
特别提醒：1.线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可
以看作是 的点的集合。
2.要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线
直角三角形：
1.勾股定理和它的逆定理：
勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形
提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，
勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、
2.直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对 边是 边的一半
3.直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
⑴定义法有一个角是 的三角形是直角三角形
⑵有两个角 的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形
特别提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用21世纪教育网版权所有
二．典型例举：
角的平分线和线段垂直平分线
例1.
(1)如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 21教育网
(2)如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= 21·cn·jy·com
(3). 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（ ）2·1·c·n·j·y
A、16 B、14 C、20 D、18
练一练：
(1)如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,
则DF的长为___________
（2）.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则AD与EF的位置关系是 【来源：21·世纪·教育·网】
（3）如图，在△ABC中，∠A=40o，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数
是
（4）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=
等腰三角形的边与角
例2.
(1)等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A.12 B.15 C.12或15 D．18
（2）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ）
A． 80° B． 50° C．40° D．20°
（3）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为
练一练：
（1）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为
（2）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为___
(3)如图，在△中，=36°是边上的高，则的度数是（ ）A.18° B.24° C.30° D.36°www.21-cn-jy.com
等腰三角形的性质
例3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B＞∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点
E,CF//AB交DE的延长线于点F，（1）求证：DE=EF；
连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,
求证:∠B=∠A+∠DGC.
练一练：
1.在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=40°，AD=AE．求∠CDE的度数．
2.已知：在△中，，点是的中点，点是边上一点．
（1）垂直于点，交于点（如图①），求证：.
（2）垂直，垂足为，交的延长线于点（如图②），找出图中与相等的线段，并证明．
：特殊三角形期末总复习学案（一）答案
一．基础知识回顾
等腰三角形
1.定义：有两边 相等 的三角形叫做等腰三角形，其中 三边相等 的三角形叫做等边三角形【来源：21·世纪·教育·网】
2.等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰 相等 等腰三角形的两个底角 相等 简称为 等边对等角
⑵等腰三角形的顶角平分线 底边上的高 、 底边上的中线 互相重合，简称为 三线合一
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有 1 条对称轴，
3.等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ⑵有两 角 相等的三角形是等腰三角形。
特别提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 高 相等，两腰上的_
中线 相等，两底角的平分线也相等 。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证 三角形的存在 ，讨论角时应主要底角只被为 锐 角www-2-1-cnjy-com
4.等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都 相等 都等于
⑵等边三角形也是 轴 对称图形，它有 3 条对称轴
1.等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是 60 度的 等腰 三角形是等边三角形
特别提醒：1.等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2.有一个角是直角的等腰三角形是 等腰直角 三角形
线段的垂直平分线和角的平分线
1.线段垂直平分线定义： 垂直 一条线段且 平分 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2.性质：线段垂直平分线上的点到 线段两端点 的距离相等
3.判定：到一条线段两端点距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上
4.角的平分线性质：角平分线上的点到 角两边 的距离相等
5.角的平分线判定：到角两边距离相等的点在 这个角的平分线上
特别提醒：1.线段的垂直平分可以看作是 到线段两端点距离相等 的点的集合，角平分
线可以看作是 到角两边距离相等 的点的集合。
2.要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线
直角三角形：
1.勾股定理和它的逆定理：
勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形
提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，
勾股数，列举常见的勾股数三组 3，4，5 、 6，8，10 、 5，12，13
2.直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角 互余
⑵直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对 直角 边是 斜 边的一半
3.直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
⑴定义法有一个角是 直解 的三角形是直角三角形
⑵有两个角 的和为 的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 一半 这个三角形是直角三角形
特别提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用21世纪教育网版权所有
二．典型例举：
角的平分线和线段垂直平分线
例1.
(1)如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 21教育网
思路分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．
解：如图，过D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90°， ∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC， ∴AD=DE=3， ∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15， 故答案为：15．21cnjy.com
(2)如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= 21·世纪*教育网
思路分析：先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．2-1-c-n-j-y
解：∵AD⊥BC，∠AOC=125°， ∴∠C=∠AOC-∠ADC=125°-90°=35°， ∵D为BC的中点，AD⊥BC， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠C=35°， ∵OB平分∠ABC， ∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°． 故答案为：70°． 21*cnjy*com
(3). 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A、16 B、14 C、20 D、18
思路分析：利用线段垂直平分线的性质，DA=DB，三角形ACD的周长即为
AC+BC，故选择B
练一练：
(1)如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,
则DF的长为___________
（2）.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则AD与EF的位置关系是 AD垂直平分EF21·cn·jy·com
（3）如图，在△ABC中，∠A=40o，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数
是
（4）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=
等腰三角形的边与角
例2.
(1)等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A.12 B.15 C.12或15 D．18
（2）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ）
A． 80° B． 50° C．40° D．20°
（3）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 80°或50°
（1）思路分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3=6=6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．故选B．
（2）思路分析：根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解
解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为（180°﹣80°）=50°．
故选B．
（3）思路分析：已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立www.21-cn-jy.com
解：当该角为顶角时，顶角为50°；
当该角为底角时，顶角为80°．
故其顶角为50°或80°．
故填50°或80°．
练一练：
（1）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6，4或5，5
（2）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为
(3)如图，在△中，=36°是边上的高，则的度数是（ A ）A.18° B.24° C.30° D.36°2·1·c·n·j·y
等腰三角形的性质
例3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B＞∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点
E,CF//AB交DE的延长线于点F，（1）求证：DE=EF；
连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,
求证:∠B=∠A+∠DGC.
思路分析：分析：本题考查了三角形的中位线、全等三角形、直角三角形的性质以及三角
形的外角和定理.(1)要证明DE=EF,先证△ADE≌△CFE.(2)CD是Rt△ABC斜边上的中线,
∴ CDAD,∴ ∠1=∠A.而∠1+∠3=90°,∠A+∠B=90°,可得∠B=∠3.由CF∥AB可得
∠2=∠A,要证∠B=∠A+∠DGC,只需证明∠3=∠2+∠DGC.
(2)在Rt△ACB中,∵ ∠ACB=90°,点D为边AB的中点,∴ CD=AD,∴ ∠1=∠A.
∵ DG⊥DC,∴ ∠1+∠3=90°.又∵ ∠A+∠B=90°,∴ ∠B=∠3.
∵ CF∥AB,∴ ∠2=∠A.∵ ∠3=∠2+∠DGC,∴ ∠B=∠A+∠DGC.
练一练：
1.在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=40°，AD=AE．求∠CDE的度数．
2.已知：在△中，，点是的中点，点是边上一点．
（1）垂直于点，交于点（如图①），求证：.
（2）垂直，垂足为，交的延长线于点（如图②），找出图中与相等的线段，并证明．
（1）证明：因为垂直于点,所以，所以.
又因为，所以.
因为, ，所以.
又因为点是的中点，所以.
因为，所以△≌△，所以.
(2)解：.证明如下：
在△中，因为,，
所以.
因为，即,所以,所以.
：特殊三角形期末总复习配套练习(一）
选择题
1．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）
A．20° B．50° C．60° D．80°
2．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
3.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ）
A．18° B．24° C．30° D．36°
4.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（ ）
A.70° B. 55° C. 50° D. 40° www.21-cn-jy.com
5.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ）
A． 25 B．25或32 C．32 D．19
6.如图，在△ＡＢＣ中，，AB=5,则AC的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
8.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）21·cn·jy·com
A． 3 B．4 C．5 D． 6
9.如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B． 7 C． 8 D． 10
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）21·世纪*教育网
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11.等腰三角形有两边的长分别为6和8，则其周长为_____________
12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC的中点，则BD= cm.
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE的长度是 www-2-1-cnjy-com
14.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=____ 21教育网
15.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为____
16.如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 【来源：21·世纪·教育·网】
三．解答题
17.如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，BC=DC,△ABD是
等腰三角形吗?请说明理由
18.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。
19.如图，等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°， AB⊥AD,AD=2，求BC的长.
如图，在正方形网格中，请按要求画以线段AB为边的网格三角形．（网格三角形是指各
顶点在格点上的三角形）
画出一个面积为3的网格三角形 ；(2)画出一个两条边相等的网格三角形．
21.如图，△ABC是等边三角形，DE∥AC，交AB、BC于D、E．求证：△BDE是等边三角形．
22.已知BD，CE是△ABC的两条高，M、N分别为BC、DE的中点
（1）请写出线段EM与DM的大小关系，并说明理由。 （2）请写出线段MN与DE的位置有什么关系？并说明理由。21世纪教育网版权所有
23.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=16，BC=12，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.21cnjy.com
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；(请直接写出答案）
（2）当t= 时，△CBD是直角三角形；(请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由.
24.如图，长方形中∥,边,.将此长方形沿折叠，
使点与点重合，点落在点处．
（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求的面积．
：特殊三角形期末总复习配套练习（一）答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
C
D
C
C
C
C
三．解答题
17.如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，BC=DC,△ABD是
等腰三角形吗?请说明理由
18.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。
19.如图，等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°， AB⊥AD,AD=2，求BC的长.
如图，在正方形网格中，请按要求画以线段AB为边的网格三角形．（网格三角形是指各
顶点在格点上的三角形）
画出一个面积为3的网格三角形 ；(2)画出一个两条边相等的网格三角形．
21.如图，△ABC是等边三角形，DE∥AC，交AB、BC于D、E．求证：△BDE是等边三角形．
22.已知BD，CE是△ABC的两条高，M、N分别为BC、DE的中点
（1）请写出线段EM与DM的大小关系，并说明理由。 （2）请写出线段MN与DE的位置有什么关系？并说明理由。21世纪教育网版权所有
23.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=16，BC=12，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.21教育网
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；(请直接写出答案）
（2）当t= 时，△CBD是直角三角形；(请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由.
24.如图，长方形中∥,边,.将此长方形沿折叠，
使点与点重合，点落在点处．
（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求的面积．
.（1）是等腰三角形
∵ ∥
∴
∵ 由折叠可知
∴
∴ 即 是等腰三角形
（2）∵ 由折叠可知, ,
