6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例
温故知新
正弦定理：
余弦定理：
探究新知
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，我们仰望星空，明月高悬，不禁会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？
早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月球之间的距离大约为385400km。他们是怎样测出两者之间距离的呢？
下面让我们一起探讨解决不可到达的距离的测量问题。
问题引入
A
C
B
51o
55m
75o
设A、B两点在河的两岸（B点不可到达），怎样测量两点之间的距离？
常用测量工具
卷尺
经纬仪
经纬仪
测量水平角和竖直角的仪器。
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出A、C间的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
解：由正弦定理 可知
答：A,B两点间的距离为65.7米。
51o
55m
75o
水平距离的测量——两点能相互看到，但不能到达
(1)选基点C，测量AC的长；
(2)测量角A和角C的大小；
(3)由三角形的内角和，求出角B；
基线的概念
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.
基线的选取不唯一，一般来说基线越长，测量的精确度越高.
(4)由正弦定理，可求边AB的长.
设A、B两点都在河对岸（不可到达），设计一种方案测量两点之间的距离。
A
B
C
D
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
解：如图，测量者可以在河岸边选定两点C、D，
设∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ,∠ADB=δ，CD=a
，应用正弦定理得
在△ABC中，由余弦定理得
（2）在△ACD中，求出角∠ADC，
由正弦定理
求出AC的长；
（3）在△BCD中，求出角∠DBC，
由正弦定理
求出BC的长；
（4）在△ABC中,由余弦定理
求得AB的长。
水平距离的测量——两点都不能到达
(1) 选基点C，D，测量基线CD的长，
测量图中所示的角；
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方案？
转化为例2的思路进行测量，从而解决问题
学以致用
（3）由余弦定理得
（1）选取基点C，测量得出AC、BC的距离为b、a；
（2）测量角C为α；
想一想
测量高度问题
例3：如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物AB的方法，并求出建筑物的高度.
测量术语——仰角
在测量时，视线与水平线所成的角中，
视线在水平线上方的角叫仰角（如图）
B
E
A
G
H
D
C
测量高度问题
解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。
在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,
测角仪器的高是h.
例3：如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物AB的方法，并求出建筑物的高度.
在三角形ACD中，根据正弦定理可得
测量垂直高度AB
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。
2、底部不能到达的
找基点C、D且与B共线，测量基线CD，测量∠C和∠ADB，
C
D
A
B
注意：在实际操作时，使C,D,B三点共线不是一件容易的事情。你有什么解决方法？
例4：位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船的南偏西30 ，且与甲船相距7海里C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度(精确到1 )？需航行的距离是多少海里（精确到1海里）？
测量角度问题
A
B
北
20海里
7海里
C
30
解：根据题意画出示意图，由余弦定理可得
所以
由正弦定理可得
，于是
由于
，所以
答:乙船前往营救遇险渔船航行的方向约是北偏东
，大约航行24海里
课堂小结
1、本节课通过具体实例，研究了利用正弦定理及余弦定理解决实际测量问题。
实际问题
数学模型
实际问题的解
数学模型的解
画图形
解三角形
检验（答）
2.解三角形在实际测量中的常见问题
(1)距离问题
(2)高度问题
(3)角度问题
常用测量术语
1、仰角、俯角：
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。（如图）
2、方向角：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，如图
3、方位角：
从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。