第二十四章 一元二次方程 单元练习（含解析）

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第二十四章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　）
A．2 B． C． D．3
2．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2020秋·广东清远·九年级期末）一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
5．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且使关于的一元二次方程没有实数根，则符合条件的整数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加，这两年平均每年绿化面积的增长率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）品山西风味，享三晋美食，就在司徒小镇，十一假期某特色杂粮面店为扩大销售，增加盈利，计划降价销售，该杂粮面店的成本价为每碗4元，若每碗卖18元，平均每天将销售200碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售20碗，为维护城市形象，店家现规定每碗售价不得超过15元，若每天盈利2800元，则每碗售价应为（ ）
A．15元 B．14元 C．13元 D．12元
二、填空题
9．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
10．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）在等腰三角形中，，且这个等腰三角形的面积是30，则底边的长为 ．
11．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，每个小方格的边长为1个单位长度.正方形顶点都在格点上，其中点的坐标为.
（1）若将正方形绕点顺时针方向旋转，点到达点，点到达点，点到达点，此时的坐标是 ；
（2）若线段的长度与点的横坐标的差恰好是一元二次方程的一个根，线段 ，的值为 .
12．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，平分的面积．
三、解答题
13．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．
14．（2023秋·河北邢台·九年级统考期末）嘉淇在解方程时出现了错误，解答过程如下：
原方程可化为． （第一步）
方程两边同时除以，得． （第二步）
(1)嘉淇的解答过程是从第_________步开始出错的；
(2)请写出此题正确的解答过程．
15．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）阅读材料，若关于的一元二次方程的两根为，，则根据求根公式可知，，．
由此可得，，
．
根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题：
(1)一元二次方程的两根为，，则________，________；
(2)一元二次方程的两根为，，则________；
(3)若，满足，，且．求的值．
16．（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）某水果超市以16元/千克购进一定数量的A种水果，若每千克售价为20元，每天可以售出120千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，每千克A种水果的售价每上涨1元，日销售量就减少5千克．
(1)设A种水果每千克的售价上涨x元，则A种水果的日销售量为___________千克；（用含x的代数式表示）
(2)若该水果超市希望每天销售A种水果盈利900元，按照有关管理部门规定，售价不能高出进价的，那么这个水果超市A种水果每千克的售价应上涨多少元？
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参考答案：
1．D
【分析】把代入方程得即可解得．
【详解】把代入方程得，
解得．
故选：D．
【点睛】此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．
2．C
【分析】先移项化为一般式，即可得答案．
【详解】解：，
，
则，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．
3．B
【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．D
【分析】先计算一元二次方程根的判别式，再根据判别式的值进行判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
该方程无实数根．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5．A
【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到a的取值范围．
【详解】解：当时，方程化为，
解得，
当时，，
解得，
综上所述，a的取值范围为．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6．D
【分析】把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有3个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，进而得出，解出的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出的取值范围，然后综合得出的取值范围，进而得出符合条件的整数为、、、、，据此即可得出答案．
【详解】解：关于的不等式组，整理可得：，
∵关于的不等式组有解集，
∴不等式组的解集为：，
∵关于的不等式组有3个整数解，
∴关于的不等式组的整数解为：、、，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，即，
解得：，
综上所述，的取值范围为，
∴符合条件的整数为、、、、，有个．
故选：D
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，解本题的关键在综合得出的取值范围．
7．A
【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加，则有，解这个方程即可求出答案．
【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
，
解得（舍去），．
所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长的百分率是正值．
8．B
【分析】可设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设每碗售价定为x元时，店家才能实现每天利润2800元，依题意有
，
解得，
∵每碗售价不得超过15元，
∴．
∴当每碗售价定为14元时，店家才能实现每天利润2800元．
故选：B
【点睛】题目主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
9．且
【分析】根据一元二次方程的定义可得，结合根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，则，
∵该方程有实数根，
∴，
解得：，
综上：m的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根据判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
10．或
【分析】设底边的长为，底边上的高为y，则有，解之即可求解．
【详解】解：设底边的长为，底边上的高为y，则
，解得：，，（负值不符合题意，已舍去）
∴底边BC的长或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
11． ； ；
【分析】（1）根据网格特点和旋转的性质即可确定的坐标；
（2）先利用勾股定理求出的长度，再与点的横坐标作差后代入一元二次方程求解关于a的一元一次方程即可．
【详解】解：（1）如图：正方形绕点顺时针方向旋转得到，
则的坐标为
（2）由根据勾股定理，，
∴线段的长度与点的横坐标的差是，
∴整理，
∴,解得．
【点睛】本题主要考查了利用旋转作图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的解等知识点，根据平面直角坐标系找出点的坐标是解答本题的关键．
12．2
【分析】先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可．
【详解】解：根据题意，，，
∵，，
∴， 点Q到B点的时间为，点P到C点的时间为，
∵P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．
∴，
当平分的面积时，，即，
∴，
整理得，
解得，（舍去），
∴当时，平分的面积．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键，注意时间的取值范围．
13．
【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程的解，
∴，即：，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．
14．(1)二
(2)
【分析】（1）依据等式的基本性质判断即可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）解：嘉淇的解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以；
（2）解：，
，
则，
，
则或，
解得，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．(1)2，
(2)2
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，由此即可得；
（3）先得出是一元二次方程的两个不相等的根，再根据一元二次方程的根与系数的关系求出，的值，然后利用完全平方公式求解即可得．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的，
，，
故答案为：2，．
（2）解：∵一元二次方程的两根为，，且方程中的，
，，
，
故答案为：2．
（3）解：满足，，且，
是一元二次方程的两个不相等的根，
，，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
16．(1)；
(2)水果超市A种水果每千克的售价应上涨6元．
【分析】（1）根据“在进价不变的情况下，每千克A种水果的售价每上涨1元，日销售量就减少5千克”列代数式即可．
（2）设水果超市A种水果每千克的售价应上涨x元，根据“该水果超市希望每天销售A种水果盈利900元”列一元二次方程求出x的值，然后根据“售价不能高出进价的”进行取舍即可．
【详解】（1）设A种水果每千克的售价上涨x元，则A种水果的日销售量为元，
故答案为：
（2）设水果超市A种水果每千克的售价应上涨x元，根据题意，得
，
整理得，，
解得，，
∵当时，，
（不合题意，舍去）．
答：水果超市A种水果每千克的售价应上涨6元．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程解决利润问题，解题的关键是要掌握利润的计算方法，最后结果要注意根据题意进行取舍．
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