第二十五章 图形的相似单元练习（含解析）

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第二十五章 图形的相似 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、、和、、，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
3．（2022秋·浙江舟山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，EF//BC，EG//AB，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图，每个小正方形边长均为1，则图中的三角形中与相似的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023秋·海南海口·九年级统考期末）如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则四边形的面积为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16
6．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）如图，圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面形成阴影，已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面，则地面上阴影部分面积为（ ）

A． B． C． D．
7．（2020秋·广东揭阳·九年级统考期末）如图，，，分别是，，的中点，下面的说法中：①与是位似图形；②与的相似比为；③与的周长之比为；④与的面积之比为．正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题
8．（2023秋·山东青岛·九年级统考期末）已知，则的值为 ．
9．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，是的中线，点E在边上，交于点F，若，，则的长度为 cm.

10．（2018秋·江苏泰州·九年级校联考期末）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠CAE＝∠CBE，AD：DE＝2：3，AE＝15，BD＝8，则DC的长等于 ．
11．（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期末）如图D，E两点分别在线段和上，在下列四个条件中：①；②；③；④．其中能使与相似的是 ．(填序号)
12．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，在正方形中，与相交于点O，的平分线分别交于M、N两点．若，则线段的长为 ．

13．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图1是一个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，已知踏板宽，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，点A离地面的高度为 ．图3是图1的简略视图，若点H恰好在点A的正下方，此时点A到地面的高度是 ．
14．（2023秋·山西·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为 ．
三、解答题
15．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为的三边长，且，．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长．
16．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，且，连接，点F、G分别在、上．
(1)给定三个关系：①是的角平分线，②，③，从中选择两个作为条件，一个作为结论构成一个真命题，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，求线段的长度．
17．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，与中，，；证明：．

18．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：

(1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标；
(2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标．
20．（2022秋·广东梅州·九年级统考期末）北京时间年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为．
(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅长度
(2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据黄金分割的定义得，即可解决问题．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
，，
A、C、D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值为，近似值为，即为黄金分割．
2．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据合比性质即得．
【详解】，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，合比性质．
3．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
【详解】∵EG//AB，EF//BC，
∴，
∵AC≠EC
∴不成立，
∴选项A错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，，
∵AE≠EC，
∴不成立，
∴选项B错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，
∵DF≠AF
∴不成立，
∴选项C错误；
∵EG//AB，EF//BC，
∴，，
∴，
∴选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．
4．B
【分析】直接利用相似三角形的判定方法结合正方形的性质分析得出答案．
【详解】解：由题意可得：，，
，，，，
，，
，
又，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确得出对应边的关系是解题关键．
5．C
【分析】根据相似三角形的性质得出的面积，即可求出答案．
【详解】解：∵点D是的中点，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴四边形的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
6．D
【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．
【详解】解：构造几何模型如图：

依题意知，，
∴，
∴，即，
∴，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
7．B
【分析】根据位似图形的性质，得出①与是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似性质得出：
①与是位似图形，
②与是相似图形，且相似比是：，
③与的周长比等于相似比，即，
④根据面积比等于相似比的平方，则与的面积比为．
综上所述，正确的结论是：①③④．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
8．/
【分析】先求出，再根据比例的性质即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
9．1.2
【分析】过D点作交于G点，如图，利用得到，则，所以，再利用得到，然后利用比例的性质求．
【详解】解：过D点作交于G点，如图，

∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为1.2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作为解题的关键．
10．．
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：由题意可知AD：DE＝2：3，AE＝15，
∴AD＝6，DE＝9，
∵∠CAE＝∠CBE，∠BDE＝∠ADE，
∴△BDE∽△ADC，
∴，
∴，
∴CD＝，
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
11．①②③
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个排查即可．
【详解】解：∵,
∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故①满足题意；
∵,
∴根据 “两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证，故②满足题意；
∵
∴
∴根据 “两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故③满足题意；
∵，而与不一定相等，故④不满足题意，
∴综上可得：①②③符合题意．
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
12．
【分析】过M点作，根据等腰直角三角形的性质求出长，再根据角平分线性质可得长，由此得到正方形的边长，求出和长，根据得到，得出，从而可求长．
【详解】解：过M点作，

∵四边形是正方形，是对角线,
∴，
∴，，
∴．
∵平分，
∴．
∴正方形边长，
∴正方形对角线， ．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度．
13． 120
【分析】由点A与点F重合能够得出的长，从而可以求出点A离地面的高度．连接并延长，交于点Q，得到直角三角形，又由使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，得到，得到，利用相似三角形的性质可以求出的长，进而利用勾股定理可以求出点A到地面的高度．
【详解】∵将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，
∴．
∴，
即点A离地面的高度为120 ．
如图，连接并延长，交于点Q，则．
∵使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得．
在中，由勾股定理，得
，
即点A到地面的高度是．
故答案为：120，．
【点睛】本题是一道实际应用题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确理解题意，能够将实际问题转化成数学问题是解题的关键．
14．
【分析】连接交于，根据坐标系求出点的坐标，再根据位似中心的概念解答即可．
【详解】解：连接交于，则点为位似中心，
设的解析式为：，将，，
代入可得：，解得：，
∴的解析式为：，
当时，
∴点的坐标为，
则位似中心的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．还考查了待定系数法求一次函数解析式．
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；
（2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可．
【详解】（1）由题意可设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
整理，得：，
解得：（舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
16．(1)①②为条件，③为结论，证明见解析
(2)．
【分析】（1）①②为条件，③为结论，利用角平分线的定义、平行线的性质证明，再利用等边对等角即可得出结论；
（2）利用勾股定理求得，作于点H，利用角平分线的性质得到，证明和，推出，再根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】（1）解：①是的角平分线，②为条件，③为结论，
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，且，∴，，
∴，
作于点H，连接，
∵是的角平分线，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．见解析
【分析】根据，得出，进而可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】根据正方形的性质可得，，，得出，根据，则，即可证明；
（2）先根据勾股定理求得的长，然后根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19．(1)作图见详解，
(2)作图见详解，
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，再结合网格坐标，可得出的坐标；
（2）根据与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，连接并延长至D点，使得，连接并延长至E点，使得，连接并延长至F点，使得，依次连接D、E、F点即可得，问题随之得解．
【详解】（1）如图，

即为所求，
结合图形，点的对应点的坐标为：；
（2）如图，

即为所求，
结合图形，点的对应点的坐标．
【点睛】本题主要考查了画位似图形、轴对称图形等知识，理解位似图形的性质是解答本题的关键．
20．(1)
(2)秒或秒
【分析】（1）根据已知求出、和，再根据同位角相等求出，根据成比例线段求出长度；
（2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，利用三角形相似对应边成比例，分成和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
，
，
，即，
解得，
条幅的长度为；
（2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，
当时，，即，
解得，
当时，，即，
解得，
∴经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解答本题的关键．
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