第二十六章 解直角三角形单元练习（含解析）

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第二十六章 解直角三角形 单元练习 2023-2024学年 冀教版（2012）九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．如图，，，，则的值是（ ）

A． B． C． D．
2．在中，、都是锐角，且，，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．下列计算错误的个数是（ ）
①；；③；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB“矢”等于半径长与圆心О到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，河对岸有铁塔，点、点、点三点共线，在处测得塔顶的仰角为，向铁塔方向水平前进到达，在处测得的仰角为，塔高为（ ）
A． B． C． D．
6．题目：“在中，，，，求的长度．”对于其答案，甲答：的长度为，乙答：的长度为，丙答：的长度为，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
7．如图，中，，，，D是边上一动点（不与A，C两点重合），沿的路径移动，过点D作，交于点E，将沿直线折叠得到．若设，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
B．
C． D．
8．如图，是某一景区雕像，雕像底部前台米，台末端点有一个斜坡长为米且坡度为，与坡面末端相距米的地方有一路灯，雕像顶端测得路灯顶端的俯角为，且路灯高度为米则，约为（　　）米．（精确到米，，）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A、B、C都在格点上，则的正切值为 ．

10．（1）计算：；
（2）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，求这栋楼的高度．
11．如图，菱形的边长为4，，点E是边上一动点（不与点A、B重合），过点E作交于点F，连接，当是等腰三角形时，的长为 ．

12．如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为，点的仰角为，点到建筑物的距离为米，则 米．

三、解答题
13．（1）计算：
（2）化简：
14．如图，，点、分别在、上，．

(1)求证：
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，，，求的长．
15．二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古联体双塔．学完解直角三角形的知识后，某校数学社团的王华和张亮决定用自己所学到的知识测量二七纪念塔的高度．如图，是纪念塔附近不远处的某建筑物，他们在建筑物底端D处测得二七纪念塔顶端B的仰角为，在建筑物顶端C处测得二七纪念塔底端A的俯角为，已知建筑物的高为19米，，求二七纪念塔的高度．（结果精确到1米．参考数据：）
16．如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.

(1)设，的余切值为，求关于的函数解析式；
(2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积；
(3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？
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参考答案：
1．D
【分析】过点A作交于点D，先根据三角函数求出，再根据勾股定理求出，进而可得出答案．
【详解】解：过点A作交于点D，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．B
【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定．
【详解】解：，，
，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
，，
，故④正确；
综上分析可知，错误的有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
4．D
【分析】如图，作交于H,交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，OH，利用余弦函数定义即可解决问题．
【详解】解：如图，作交于H,交圆弧于C
由题意：，
∴，
∵，为半径，
∴，
在中
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴， ，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点，灵活运用垂径定理与勾股定理是解题关键．
5．B
【分析】设米，再利用，构建方程即可解决问题．
【详解】解：在中，
∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
设米，
∵，
∴．
∴
∴．
即铁塔的高为米．
故选B．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．B
【分析】根据锐角三角函数值及勾股定理分直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴假设是直角三角形，
∴，
∵，
∴假设与已知条件出现矛盾，
∴不是直角三角形；
当是锐角三角形时，过点作，垂足为，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，在中，，
∴；

当是钝角三角形时，过点作，垂足为，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
故选．

【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
7．D
【分析】分两种情况讨论，当时，由，得到，求得y与x之间函数关系；当时，同理求得，求得y与x之间函数关系，根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
当D是边的中点时，
∴，
当时，
由题意得，则，
∴，
∴，
∵，开口向上，当时，y有最大值为；
当时，
由题意得，，，
，则，
∴，
∴，
∵，开口向下，当时，y有最大值为2；
综上，图象经过点和两点，且图象分别是开口先向上后向下的两段抛物线，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
8．B
【分析】如图，作于，延长交于，作于．求出，即可解决问题；
【详解】解：如图，作于，延长交于，作于，
根据题意，，，，，，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
和为直角三角形，
∴，，，，
∵斜坡长为米且坡度为，
∴在中，，，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
在中，，
∴
，
∴
（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．
【分析】如图所示，过点C作于D，利用勾股定理得到，利用等面积法求出的长，进而求出的长，再根据正切的定义求出答案即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
由网格的特点和勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．（1）；（2）
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算求解即可；
（2）根据在同一时刻，物高与影长成正比例列式求解即可．
【详解】解：（1）
．
（2）设这栋楼的高度是，
由题意得：，
解得：．
答：这栋楼的高度为．
【点睛】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算、比例性质的应用，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握在同一时刻，物高与影长成正比例是解答的关键．
11．或
【分析】分两种情况：如图1，当时，根据菱形的性质及等腰三角形的性质求出，连接交于O，证明是等边三角形，得到，根据三角函数得到，再证明，求出；如图2，当时，利用证明，即可求出．
【详解】解：分两种情况：
如图1，当时，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
连接交于O，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，

∵，
；
如图2，当，

，
，
，
故答案为：或．
【点睛】此题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数． 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12．/
【分析】根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案；
【详解】在 中，
则
在 中，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．（1）3 ；（2）
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，实数的混合计算，化简二次根式，求特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
14．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出，进而可得出结论；
（2）根据三角形的外角的性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（3）根据相似三角形的性质得出，进而得出，求出，再根据，得出，设，则，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，即，
解得：（负值舍去），即．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
15．二七纪念塔的高度约为米
【分析】如图所示，过点C作于E，可证明四边形是矩形，得到，解得到，再解，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点C作于E，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴二七纪念塔的高度约为米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)或或1
【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果；
（2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解；
（3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵在矩形中，，
∴，
则，
；
（2）：四边形的面积比是，
，
，
设，则，
∵，，
，且，
，
，
解得，
，
∴；
（3）①时，过点作，垂足为点，
则，，延长交于点，

，
，
当时，是等腰三角形；
②时，则，

，，
，
则，
当时，是等腰三角形；
③时，则点在的垂直平分线上，故为中点．

，，
，
∴，
，
，即，
∴，
解得，
当时，是等腰三角形，
综上：的长度为或或1．
【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法．
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