中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数y3的顶点坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【答案】C
【解析】二次函数y3的顶点坐标为：（﹣2，﹣3）．
故选C．
2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．开口向下
C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】由二次函数，
A.对称轴为，故A不正确，
B.开口向上，故B不正确，
C.二次函数当时，有最小值为，没有最大值，故C不正确,
D.在对称轴的左侧，即时，随的增大而减小，故D正确,
故选D.
3．已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3
【答案】D
【解析】∵抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），
∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2+3，
故选D．
4．下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A.y=x2+1的对称轴为直线x=0，所以选项A错误；
B.y=2(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项B错误；
C.y=-(x+1) 2的对称轴为直线x=-1，所以选项C错误；
D.的对称轴为直线x=1，所以选项D正确．
故选D．
5．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二次函数y＝3（x＋1）2 8可知，对称轴为x＝ 1，开口向上，
A（1，y1），B（2，y2）两点在对称轴右边，y随x的增大而增大，
由1＜2得y1＜y2，
A、B、C三点中，C点离对称轴最近，
y3最小，即，
故选B．
6．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【答案】B
【解析】由可得，函数图象的顶点坐标为（1,0），
∴根据函数图象的位置可知：坐标原点可能是点Q，
故选B．
7．已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
【答案】D
【解析】∵y＝a（x﹣m）2（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
当p＝q时，m＝＝1，
∵p＜q，
∴m＞1，
故选D．
8．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选D．
9．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2
【答案】C
【解析】∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点A（m，y1），B（m+2，y2）在抛物线y＝a（x﹣2）2+1上，点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，
∴1＜m＜2，
故选C．
10．已知二次函数y＝﹣2（x﹣m）2+4，当x＜﹣2时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随增大而减小，且m满足m2﹣2m﹣3＝0，则当x＝0时，y的值为（ ）
A．2 B．4 C．1 D．1士
【答案】A
【解析】函数的对称轴为：x＝m，
当x＜﹣2时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随增大而减小，则﹣2≤m≤0，
m2﹣2m﹣3＝0，解得：m＝3或﹣1，
故m＝﹣1，
则x＝0时，y＝﹣2（x﹣m）2+4＝﹣2（0+1）2+4＝2，
故选A．
二、填空题
11．抛物线的开口向_______，顶点坐标是_______，对称轴是直线________．
【答案】 下
【解析】抛物线中，，
∴开口向下，顶点坐标是，对称轴是直线．
故答案为：向下，，．
12．已知二次函数的图象开口向上，则m的值为 ．
【答案】2
【解析】∵二次函数的图象开口向上，
∴，
解得，m＝2，
故答案为：2．
13．二次函数y＝（x＋1）2﹣3最小值为_____．
【答案】-3
【解析】根据二次函数的性质可知，抛物线y＝（x+1）2﹣3的开口向上，函数有最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
14．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为______．
【答案】
【解析】二次函数，
抛物线开口向上，对称轴是直线，
点，，在二次函数的图象上，且，
、、的大小关系为：．
故答案为：．
15．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 象限．
【答案】一
【解析】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．
故答案为：一．
16．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝时，函数值为 _____．
【答案】
【解析】二次函数y＝3（x﹣5）2的顶点坐标为，对称轴为
x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
对称轴
当x＝ 时，函数值为
故答案为：
17．已知一条抛物线y＝2（x﹣3）2+1，以下说法：①对称轴为x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大；②y最大值＝1；③顶点坐标为（﹣3，1）；④开口向上．其中正确的是 ．（只填序号）
【答案】①④
【解析】∵抛物线y＝2（x﹣3）2+1，
∴对称轴为直线x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大，故①正确；
当x＝3时，函数有最小值1，故②错误；
顶点坐标为（3，1），故③错误；
开口向上，故④正确；
故答案为：①④．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于，两点．若，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】与轴只有一个交点，
，对称轴为直线，
抛物线与平行于轴的直线交于，两点，
，两点的纵坐标相同，设为，
则时，，
解得：，
点A的横坐标是，点的横坐标是，
，
，
解得：；
故答案为：．
三、解答题
19．已知二次函数y（x﹣1）2
（1）完成下表；
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … …
（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
【解析】（1）完成表格如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣2 0 ﹣2 …
（2）描点，画出该二次函数图象如下：
20．抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
【解析】（1）∵抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0），
∴-h=-2，
∴h=2，
抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，
∴a=-3，
则该抛物线的函数表达式是y=-3（x+2）2；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为．
21．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求S△AOB；
（3）求对称轴方程；
（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？
【解析】（1）当x＝0时，y＝22＝4，即B点坐标是 （0，4），
当y＝0时，（x+2）2＝0，解得x＝﹣2，即A点坐标是（﹣2，0）；
（2）如图，连接AB，
S△AOB|AO| |BO||﹣2|×|4|＝4；
（3）y＝（x+2）2的对称轴是x＝﹣2；
（4）对称轴上存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
当P点坐标是（﹣2，4）时，AP∥OB，AP＝OB，四边形PAOB是平行四边形；
当P点坐标是（﹣2，﹣4）时，AP∥OB，AP＝0B，四边形PABO是平行四边形．
22．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．
【解析】（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，函数值随着的增大而减小．
23．已知函数.
（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？
【解析】（1）由函数，
∵，，，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是（-1,-8）.
（2）令，即，
解得，.
∴图象与x轴交于（1,0），（-3,0）.
令，即，
∴图象与y轴交于（0,-6）.
（3）由二次函数的性质，得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
（4）由顶点坐标，得：当时，y有最小值，最小值是-8.
24．如图1，将抛物线P1：y1＝x2﹣3右移m个单位长度得到新抛物线P2：y2＝a（x+h）2+k，抛物线P1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线P2与x轴交于A1，B1两点，与y轴交于点C1．
（1）当m＝1时，a＝ ，h＝ ，k＝ ；
（2）在（1）的条件下，当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；
（3）如图2，过点C1作y轴的垂线，分别交抛物线P1，P2于D、E两点，当四边形A1DEB是矩形时，求m的值．
【解析】（1）∵抛物线P1：y1＝x2﹣3右移m个单位长度得到新抛物线解析式为：y2＝（x﹣m）2﹣3
∴y2＝a（x+h）2+k＝（x﹣m）2﹣3
又∵m＝1
∴h＝﹣m＝﹣1
故答案为；﹣1，﹣3
（2）∵当y2＝（x﹣1）2﹣3＝0时，
解得：x1＝﹣2，x2＝4
∴由图象可知，当﹣2＜x＜4时，y2＜0
当y1＝y2时， x2﹣3＝（x﹣1）2﹣3
解得：x＝，
∴由图象可知，当x＜时，y1＜y2
∴当y1＜y2＜0时，x的取值范围是﹣2＜x＜
（3）当y1＝x2﹣3＝0时，解得：x＝±3
∴A（﹣3，0），OA＝3
根据平移性质得：AA1＝DC1＝m
∵四边形A1DEB是矩形
∴∠A1DE＝∠DA1B＝90°
∴四边形A1DC1O是矩形
∴OA1＝DC1＝m
∴OA＝AA1+OA1＝2m＝3
∴m＝
25．已知抛物线（a，h，是常数，a≠0），与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
(1)若，点C的坐标为，求h的值；
(2)若，当时，对应函数值y的最小值是，求此时抛物线的解析式；
(3)直线经过点M，且与抛物线交于另一点D．当轴时，求抛物线的解析式．
【解析】（1）解：把，点代入函数，得
，
解得：．
（2）解：∵，
∴抛物线为，抛物线开口向上，对称轴为．
∵当时，对应函数值y的最小值是，
∴分三种情况讨论：
①若对称轴，则在对称轴的左边，y随x的增大而减小．
∴，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴抛物线的解析式为：．
②若对称轴，则在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
∴，，
∴
解得：（舍去）或
∴抛物线的解析式为：．
③若，则为抛物线在顶点处取得最小值，即当时，函数最小值为，不合题意，舍去．
综上所述，抛物线的解析式为：或．
（3）解：∵抛物线的顶点为，直线经过点M，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：．
当时，，
∴点C的坐标为，
∵轴，
∴点D的纵坐标为为，
把代入抛物线中，得
，
解得或，
∴点D的坐标为．
∵直线经过点D，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数y3的顶点坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．开口向下
C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小
3．已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3
4．下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
7．已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且pA．﹣1 B．﹣ C．0 D．
8．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
9．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过点A（m，y1），B（m+2，y2），若点A在抛物线对称轴的左侧，且1＜y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．0＜m＜2 C．1＜m＜2 D．m＜2
10．已知二次函数y＝﹣2（x﹣m）2+4，当x＜﹣2时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随增大而减小，且m满足m2﹣2m﹣3＝0，则当x＝0时，y的值为（ ）
A．2 B．4 C．1 D．1士
二、填空题
11．抛物线的开口向_______，顶点坐标是_______，对称轴是直线________．
12．已知二次函数的图象开口向上，则m的值为 ．
13．二次函数y＝（x＋1）2﹣3最小值为_____．
14．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为______．
15．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 象限．
16．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝时，函数值为 _____．
17．已知一条抛物线y＝2（x﹣3）2+1，以下说法：①对称轴为x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大；②y最大值＝1；③顶点坐标为（﹣3，1）；④开口向上．其中正确的是 ．（只填序号）
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于，两点．若，则点到直线的距离为 ．
三、解答题
19．已知二次函数y（x﹣1）2
（1）完成下表；
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … …
（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
20．抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
21．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求S△AOB；
（3）求对称轴方程；
（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？
22．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．
(1)求抛物线解析式；
(2)求抛物线与轴的交点坐标；
(3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．
23．已知函数.
（1）写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求出图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？并求出最大（或小）值？
24．如图1，将抛物线P1：y1＝x2﹣3右移m个单位长度得到新抛物线P2：y2＝a（x+h）2+k，抛物线P1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线P2与x轴交于A1，B1两点，与y轴交于点C1．
（1）当m＝1时，a＝ ，h＝ ，k＝ ；
（2）在（1）的条件下，当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；
（3）如图2，过点C1作y轴的垂线，分别交抛物线P1，P2于D、E两点，当四边形A1DEB是矩形时，求m的值．
25．已知抛物线（a，h，是常数，a≠0），与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
(1)若，点C的坐标为，求h的值；
(2)若，当时，对应函数值y的最小值是，求此时抛物线的解析式；
(3)直线经过点M，且与抛物线交于另一点D．当轴时，求抛物线的解析式．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
