22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质
人教版九年级上册
知识回顾
表（一）
解析式 开口方向 最值 增减性 顶点
对称轴
向上
最小值
向下
最大值
轴
当x<0,y随着x的增大而减小;当x>0,y随着x的增大而增大.
当x<0,y随着x的增大而增大;当x>0,y随着x的增大而减小.
教学目标
1．会用描点法画出二次函数 y=ax +k 的图象，概括出图象的特点．
2．掌握形如 y=ax +k 的二次函数图象的性质，并会应用．
3.理解 y=ax 与 y=ax +k 之间的联系.
新知导入
画出二次函数 y=2x ，y=2x2+1 ，y=2x2-1 的图象.
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … …
3.5
1
-0.5
1
-0.5
-1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
新知探究
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,1）
（0,-1）
y轴
y轴
抛物线y＝2x2＋1与y＝2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
y=2x2+1
y=2x2-1
新知探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么位置关系？
新知探究
解析式 开口方向 最值 增减性 顶点
对称轴
向上
最小值
向下
当 时, 随着 的增大而增大.
最大值
轴
当x<0,y随着x的增大而减小;当x>0,y随着x的增大而增大.
当x<0,y随着x的增大而增大;当x>0,y随着x的增大而减小.
1.请你完成下表
新知探究
2. 形如 的抛物线，对称轴一定是____,反之，对称轴是
的抛物线的解析式都是形如________的形式.
轴
轴
新知探究
3. 与 有何区别和联系？系数 和 分别起什么作用？
①y=ax2是y=ax2+k的特殊形式，即相当于k=0时的形式
②a决定开口方向和大小;
k决定平移的方向和距离.
新知探究
4.若 ，将抛物线 向上平移 个单位，那么它的解析式为____________,向下平移 个单位，那么它的解析式为_____________.
抛物线之间的平移规律：
抛物线
抛物线
向上平移
个单位
抛物线
向下平移
个单位
抛物线
新知小结
a，k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y轴（直线 x=0）
y轴（直线 x=0）
（0，k）
（0，k）
当 x<0 时，y 随 x 增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 增大而增大.
当 x<0 时，y 随 x 增大而增大；当 x> 0时，y 随 x 增大而减小.
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
新知小结
抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系：
函数解析式 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性
y＝ax2(a≠0) (0，0) y轴 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 ____ ；当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 _____ ，在对称轴右侧，y随x的增大而____.
y＝ax2＋k(a≠0) (0，k) 减小
增大
增大
减小
新知探究
例1
指出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值．
开口 方向 对称轴 顶点 坐标 最值
向上
向下
（0,4）
（0,-3）
y轴
y轴
当x＝0时，有最大值y＝4
当 x＝0时，有最小值y＝－3
新知练习
1.函数 的图象开口方向向 ，对称轴是 ，
顶点坐标是 ，当 ，y随x的增大而 .
下
（0，-1）
减小
轴
新知探究
（1）将抛物线 向上平移5个单位，得到的抛物线的解析式为_ ___________.
（3）将抛物线 向___平移___个单位，得到的抛物线的解析式为 .
2.填空：
上
4
下
12
(2) 将抛物线 向 平移 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=x2
新知典例
直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式：
(1)经过点(－3，2)；
(2)与 的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
例2
解：（1）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可；
（2）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为相反数解答即可；
（3）分别求出当x=0和x=2时，y的值，根据题意列出方程，解方程即可得到答案．
新知典例
直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式：
(1)经过点(－3，2)；
(2)与 的开口大小相同，方向相反；
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
例2
解：（1）由题意得，9a-1=2，
解得：
则函数解析式为：
（2）函数表达式为：
（3）当x=0时，y=-1，当x=2时，y=4a-1，
由题意得，-1-（4a-1）=4，解得a=-1，
则函数解析式为：y=-x2-1．
新知探究
3.写出一个顶点坐标是（0，-3），开口方向与抛物线
的方向相反，形状相同的抛物线解析式：__________.
y = x2-3
新知练习
4.将抛物线 向下平移多少个单位可以经过（3，-14）？并求出这时抛物线的解析式.
解：设向下平移后的抛物线解析式为y=-x2-k（k＞0）
由题可知，向下平移后的抛物线y=-x2-k（k＞0）经过点（3，-14）
∴将x=3,y=-14代入y=-x2-k得，-14=-9-k
∴k=5，即y=-x2-5
答：将抛物线y=-x2向下平移5个单位可以经过（3，-14），解析式为y=-x2-5
课堂总结
二次函数 y=ax2+k(a≠0) 的图象和性质
图象
性质
与 y=ax2 的关系
1.开口方向由 a 的符号决定；
2. k 决定顶点位置；
3.对称轴是 y 轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k 正向上平移；
k 负向下平移.
课堂练习
1.对于二次函数y＝－x2＋3，下列说法中错误的是(　　)
A．最大值为3　　　　　 　 　 　　　 B．图象与y轴没有交点
C．当x＜0时，y随x的增大而增大　　　D．其图象关于y轴对称
2．已知抛物线y＝4x2＋2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1＜y2　　 　B．y1＝y2　 　C．y1＞y2　　 D．无法确定
3．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位长度得到抛物线y＝－3x2＋2，则a＝____，c＝____．
－3
4
B
C
课堂练习
4.已知抛物线 y=2x2 3.
(1)它的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；
(2) 把抛物线 y=2x2 可得抛物线y=2x2 3；
(3)若点 ( 4，y1)，( 1，y2) 在抛物线 y=2x2 3 上，则y1 y2(填“>”“<”或“＝”).
上
y轴
向下平移 3 个单位长度
>
(0， 3)
谢谢
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