2023-2024学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定 同步练习题 (含答案)

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（附答案）
一、选择题
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　）
A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm
2．如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
3．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
4．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为（　　）
A．16 B．12 C．24 D．20
5．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB＝2，则C′D的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．12 B．24 C．12 D．16
7．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
8．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC＝70°，则∠MPC的度数为何？（　　）
A．20 B．35 C．40 D．55
9．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．5cm2 D．cm2
二、填空题
10．如图，若将四根木条钉成的矩形ABCD变形为 FBCE的形状，EF交CD于点H，已知AB＝20cm，BC＝30cm，当矩形ABCD的面积是 FBCE面积的2倍时，四边形FBCH的面积为　 　．
11．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 　 　．
12．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为　 　．
13．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB＝　 　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若＝，则＝　 　用含k的代数式表示）．
三、解答题
16．如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
17．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
18．在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．
19．如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF，DE交于点O．求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）△AOD是等腰三角形．
20．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F；求证：DF＝DC．
21．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE．
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
22．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
参考答案
一、选择题
1．解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，
又∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2cm．
故选：C．
2．解：在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOD＝60°，
∴∠OCD＝∠AOD＝×60°＝30°，
又∵∠ADC＝90°，
∴AC＝2AD＝2×2＝4．
故选：B．
3．解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选：B．
4．解：
∵四边形ABCD是矩形，AC＝8，
∴AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AO＝BO＝4，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
∴△ABO的周长是4+4+4＝12，
故选：B．
5．解：在矩形ABCD中，CD＝AB，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，
∴C′D＝CD，
∴C′D＝AB，
∵AB＝2，
∴C′D＝2．
故选：B．
6．解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，
由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．
在Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，
∴B′E＝4，
∴A′B′＝2，即AB＝2，
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB AD＝2×8＝16．
故选：D．
7．解：矩形ABCD的面积S＝2S△ABC，而S△ABC＝S矩形AEFC，即S1＝S2，
故选：B．
8．解：∵分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，
∴BP＝BC，MP＝MC，
∵∠PBC＝70°，
∴∠BCP＝（180°﹣∠PBC）＝（180°﹣70°）＝55°，
在长方形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴∠MCP＝90°﹣∠BCP＝90°﹣55°＝35°，
∴∠MPC＝∠MCP＝35°．
故选：B．
9．方法一：
解：设矩形ABCD的面积为S＝20cm2，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，
∴平行四边形AOC1B的面积＝S，
∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，
∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，
∴平行四边形AO1C2B的面积＝×S＝，
…，
依此类推，平行四边形AO4C5B的面积＝＝＝（cm2）．
故选：B．
方法二：
q＝，a1＝10，
∴an＝10 ，∴a5＝10 ＝．
二、填空题
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，
∵ FBCE中，EF∥BC，
∴DC⊥EF，
根据题意得：AB＝CD＝BF＝CE，AD＝BC＝EF， FBCE面积＝BC CH＝BC AB，
∴CH＝AB，
∵CE＝BF＝AB，
∴CH＝CE，
∴∠E＝30°，
∴EH＝10cm，
∴FH＝EF﹣HE＝30﹣10，
∴四边形FBCH的面积＝（FH+BC） CH＝（30﹣10+30） 10＝（300﹣50）cm2，
故答案为（300﹣50）cm2．
11．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM＝CD＝AB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC＝＝13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO＝AC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
12．解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积＝×矩形的面积，
∵AB＝2，BC＝2，
∴阴影部分的面积＝×2×2＝2．
故答案为：2．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）答：四边形MENF是菱形．
证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，
∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
（3）解：当四边形MENF是正方形正方形时，则∠EMF＝90°，
∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝AB，
∴AD＝2AB，
当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
故答案为：2：1．
14．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
15．解：∵点E是边CD的中点，
∴DE＝CE，
∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴CE＝EF，
连接EG，
在Rt△ECG和Rt△EFG中，
，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝a，
∵＝，
∴GB＝ka，
∴BC＝CG+BG＝a+ka＝a（k+1），
在矩形ABCD中，AD＝BC＝a（k+1），
∴AF＝a（k+1），
AG＝AF+FG＝a（k+1）+a＝a（k+2），
在Rt△ABG中，AB＝＝＝2a，
∴＝＝．
故答案为：．
三、解答题
16．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝EC．
∴在△ABD与△BEC中，
，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
17．证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴ BECD是矩形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质可得：∠ABE＝∠EBD＝∠ABD，∠CDF＝∠CDB，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
解法二：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴EB∥DF，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
（2）解：∵四边形BFDE为菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE＝＝，BE＝2AE＝，
∴BC＝AD＝AE+ED＝AE+BE＝+＝2．
19．证明：（1）在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
∵BE＝CF，BF＝BC﹣FC，CE＝BC﹣BE，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠BAF＝∠EDC，
∵∠DAF＝90°﹣∠BAF，∠EDA＝90°﹣∠EDC，
∴∠DAF＝∠EDA，
∴△AOD是等腰三角形．
20．证明：连接DE．
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE．
∵有矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠C＝90°．
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝∠C＝90°．
∵DE＝DE，
∴△DFE≌△DCE．
∴DF＝DC．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
又∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴BE＝DF，
∵在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（SAS）．
（2）由（1）得，CE＝AF，AD＝BC，
故可得四边形AECF是平行四边形．
22．（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO＝90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA＝OB＝OC，
∴∠BAC＝∠ABO，
又∵∠BEF＝2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC＝90°，
解得∠BAC＝30°，
∵BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝＝＝6．