3.5探索与表达规律　同步练习题　2023-2024学年北师大版七年级数学上册（含答案）

2023-2024学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．观察点阵图的规律，第100个图的小黑点的个数应该是（　　）
A．399 B．400 C．401 D．402
2．如图各“品”字形自左至右按序按规律摆放，每个“品”字形的三个数之间均具有相同的规律，如图，当“品”字形中最上面的数是11时，a的值为（　　）
A．23 B．75 C．77 D．139
3．一组连续整数99，100，101，102，…，2020前分别添加“+”和“﹣”，并运算，则所得最小非负整数是（　　）
A．1 B．0 C．199 D．99
4．将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（4，2）表示的数为8，则正整数2020可以用下列哪一个有序数对来表示（　　）
A．（64，4） B．（64，60） C．（63，3） D．（63，60）
二．填空题
5．阅读材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1；排在第二 位的数称为这个数列的第2项，记作a2；…；排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3…，an一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．如：数列1，4，7，10…为等差数列，其中a1＝1，a2＝4，公差为d＝3．根据以上材料，则等差数列﹣5，﹣7，﹣9，﹣11…的公差d为 　 　，第2021项是 　 　．
6．如图是一些全部由相同的小正方体拼成的“幻方组合体”的俯视图．它们每行、每列、每条对角线上的小正方体块数都相同．若将A，B，C…视为不同的组合体，则要把组合体A变成其他的“幻方组合体”，至少要移动 　 　块小正方体．
7．观察：∵＝×（1﹣），＝×（），＝×（﹣），…＝×（﹣），
∴+++…+＝×（1﹣+﹣+…﹣）＝．
请用你发现的规律计算求值：+++…+　 　．
8．黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物体甚至是光，被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意取一个数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是 　 　．
9．观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1＝25＝52；
2×3×4×5+1＝121＝112：
3×4×5×6+1＝361＝192；…
根据以上结果，猜想研究n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝　 　．
10．观察下列各式：
13+23＝9＝×4×9＝×22×32
13+23+33＝36＝×9×16＝×32×42
13+23+33+43＝100＝×16×25＝×42×52
若n为正整数，试猜想13+23+33+…+n3等于　 　．（注：最终结果保留带括号的形式即可）
11．观察等式：2+22＝23﹣2：2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100，若250＝a，则用含a的式子表示这组数的和是　 　．
12．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是，已知a1＝3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，以此类推，则a2020＝　 　．
13．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为　 　．
14．按一定规律排列的一列数依次为，﹣，，﹣，，…，若按此规律排列下去，则这列数中第7个数是　 　．
三．解答题
15．在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题﹣1+2﹣3+4+……﹣2017+2018的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为+1009．根据这个思路学生改编了下列几题：
（1）计算：①1﹣2+3﹣4+……+2023﹣2024＝　 　
②1﹣3+5﹣7+……+2023﹣2025＝　 　
（2）蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？
16．观察以下等式，寻找等式中的规律：
（1）等式1：2×4+1＝9＝32；等式2：6×8+1＝49＝72；等式3：10×12+1＝121＝112……
①请写出第4个等式：　 　．②请写出第n个等式：　 　．
（2）第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：……
③请写出第6个等式：　 　．④请写出第n个等式：　 　．
17．问题提出：
如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动1个金属片；
（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
把n个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？
问题探究：
为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
探究一：当n＝1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（1，3）表示，共移动了1次．
探究二：当n＝2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：
（1）把第1个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；
（3）把第1个金属片从2号针移到3号针．
用符号表示为：（1，2），（1，3），（2，3）．共移动了3次．
探究三：当n＝3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n＝2的情形，移动的顺序是：
（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第3个金属片从1号针移到3号针；
（3）把上面两个金属片从2号针移到3号针．
其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为：（1，3），（1，2），（3，2），（1，3），（2，1），（2，3），（1，3）．共移动了7次．
探究四：请仿照前面步骤进行解答：
当n＝4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：
探究五：根据上面的规律你可以发现当n＝5时，需要移动 　 　次．
探究六：把n个金属片从1号针移到3号针，最少移动 　 　次．
探究七：如果我们把n个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为an，当n≥2时如果我们把n﹣1个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为an﹣1，那么an与an﹣1的关系是an＝　 　．
18．观察有规律的整数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…按照如图所示的方式排成的数阵．
（1）按照该数阵呈现的规律排下去，那么第n行共有　 　个数，其中最左侧的一个是　 　，最右侧的一个是　 　（用含有n的代数式表示）；
（2）按照该数阵呈现的规律排下去，那么第10行从左数第9个数是　 　；
（3）第n行所有数字之和是　 　（用含有n的代数式表示）．
19．观察：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；72﹣52＝8×3；92﹣72＝8×4……
观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律，并用这个规律计算20232﹣20212的值．
20．观察下列式子：
①1×3+1＝4，
②3×5+1＝16，
③5×7+1＝36，…
（1）第④个等式为：　 　；
（2）写出第n个等式，并说明其正确性．
参考答案
一．选择题
1．解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1＝5个，
第2个图形中小黑点个数为1+4×2＝9个，
第3个图形中小黑点个数为1+4×3＝13个，
…
∴第100个图形中小黑点个数为1+4×100＝401个，
故选：C．
2．解：由图中的数据可得，
最上面的数字是一些连续的奇数，左下角的数字是2的n次方，其中n的值与对应的第几个品字的数值一样，右下角的数字等于上面的数据加左下角的数字，
故当“品”字形中最上面的数是11时，b＝26＝64，a＝11+64＝75，
故选：B．
3．解：∵一组连续整数99，100，101，102，…，2020，
∴这组数据一共有2020﹣99+1＝1922个数，
∴99﹣100﹣101+102+103﹣104﹣105+106+…+2015﹣2016﹣2017+2018+2020﹣2019
＝（99﹣100﹣101+102）+（103﹣104﹣105+106）+…+（2015﹣2016﹣2017+2018）+（2020﹣2019）
＝0+0+…+0+1
＝1，
即这些数分别添加“+”和“﹣”，并运算，所得最小非负整数是1，
故选：A．
4．解：∵第一行的最后一个数是1，
第二行最后一个数是3＝1+2，
第三行最后一个数是6＝1+2+3，
第四行最后一个数是10＝1+2+3+4，
∴第五行最后一个数是1+2+3+4+5＝15．
∴第n行最后一个数是1+2+3+4+ +n＝．
∵，
∴第63行的最后一个数是2016．
∴2020在第64行的第四个数的位置．
∴正整数2020可以用（64，4）有序数对来表示．
故选：A．
二．填空题
5．解：∵﹣7﹣（﹣5）＝﹣2，
∴公差为﹣2，
∵﹣5＝﹣（2×1+3），
﹣7＝﹣（2×2+3），
﹣9＝﹣（2×3+3），
…，
∴an＝﹣（2n+3），
∴第2021项是﹣（2×2021+3）＝﹣4045，
故答案为：﹣2，﹣4045．
6．解：根据观察，可知正中间数为5，行列对角线上的三个数之和均为15，
令两数8与2固定，设左下角为x则可填数如图所示：
由各数大于0且互不相等，
可知x可取4，6，
x取4时，即为A组合体，
x取6时，A需要移动6块小正方体．
故答案为：6．
7．解：∵，
＝，
∴+…+
＝+++…+
＝×（+…+）
＝
＝
＝．
故答案为：．
8．解：取一个数为243，
第一次运算结果为213，
第二次运算结果为123，
第三次运算结果为123，
...，
∴最后得到的循环不变的数字是123，
故答案为：123．
9．解：等号右边的底数分别为
5＝1+3+1
11＝22+2×3+1
19＝32+3×3+1
下一个为等号左边为：4×5×6×7+1
等号右边为：42+3×4+1＝29，
…
则第n个式子为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2．
10．解：根据题意得，13+23+33+4+…+n3＝n2（n+1）2．
故答案为n2（n+1）2．
11．解：∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249）
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣250，
∵250＝a，
∴2101＝（250）2 2＝2a2，
∴原式＝2a2﹣a．
故答案为：2a2﹣a．
12．解：∵a1＝3，
∴a2＝＝﹣，
a3＝＝，
a4＝＝3，
…
∵2020÷3＝673…1．
∴a2020与a1相同，为3．
故答案为：3．
13．解：a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，
a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，
a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，
…，
所以，n是奇数时，an＝﹣（n﹣1），n是偶数时，an＝﹣，
∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．
故答案为：﹣1009．
14．解：观察一系列等式得：第n个数为（﹣1）n+1 ，
当n＝7时，（﹣1）7+1 ＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
15．解：（1）①1﹣2+3﹣4+……+2023﹣2024＝﹣1×1012＝﹣1012；
②1﹣3+5﹣7+……+2023﹣2025＝﹣2×508＝﹣1016；
故答案为：﹣1012、﹣1016；
（2）根据题意知第1024次爬行后蚂蚁在数轴上的
1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+……+1021+1022﹣1023﹣1024＝﹣4×256＝﹣1024．
16．解：（1）∵等式1：2×4+1＝9＝32，整理得：（4×1﹣2）×（4×1）+1＝（4×1﹣1）2；
等式2：6×8+1＝49＝72，整理得：（4×2﹣2）×（4×2）+1＝（4×2﹣1）2；
等式3：10×12+1＝121＝112，整理得：（4×3﹣2）×（4×3）+1＝（4×1﹣1）2；
…，
∴第n个等式为：（4n﹣2） （4n）+1＝（4n﹣1）2；
∴第4个等式为：（4×4﹣2）×（4×4）+1＝（4×4﹣1）2，
即14×16+1＝152，
故答案为：14×16+1＝152；（4n﹣2） （4n）+1＝（4n﹣1）2；
（2）∵第1个等式：，整理得：；
第2个等式：，整理得：；
第3个等式：，整理得：；
…，
∴第n个等式为：，
∴第6个等式为：，
即．
故答案为：；．
17．解：探究四：
当n＝4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：
（1，2），（1，3），（2，3），（1，2），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3），（2，1），（3，1），（2，3），（1，2），（1，3），（2，3）．
探究五：
设f（n） 是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数，
n＝1时，f（1）＝1；
n＝2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即f（2）＝3＝22﹣1，
n＝3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小盘从3柱→2柱，大盘从1柱→3柱，小盘从2柱→1柱，中盘从2柱→3柱，小盘从1柱→3柱，完成．
[用f（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用f（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，
∴f（3）＝2f（2）+1＝3×2+1＝7＝23﹣1，
f（4）＝2f（3）+1＝7×2+1＝15＝24﹣1，
f（5）＝2f（4）+1＝15×2+1＝31＝25﹣1，
故答案为：31；
探究六：
由（2）知：f（n）＝2f（n﹣1）+1＝2n﹣1，
故答案为：2n﹣1；
探究七：
∵an＝2n﹣1，an﹣1＝2n﹣1﹣1，
∴an＝2×2n﹣1，2n﹣1＝an﹣1+1，
∴an＝2（an﹣1+1）﹣1，
∴an＝2an﹣1+1，
故答案为：an＝2an﹣1+1．
18．解：观察数阵可知：
（1）第1行共有1个数，其中最左侧的一个是﹣1，最右侧的一个是﹣1；
第2行共有3个数，其中最左侧的一个是（﹣1）2[（2﹣1）2+1]，最右侧的一个是（﹣1）2×22；
第3行共有5个数，其中最左侧的一个是 （﹣1）3[（3﹣1）2+1]，最右侧的一个是（﹣1）3×32；
…
所以第n行共有（2n﹣1）个数，
其中最左侧的一个是（﹣1）n[（n﹣1）2+1]
最右侧的一个是（﹣1）nn2；
故答案为：（2n﹣1），（﹣1）n[（n﹣1）2+1]，（﹣1）nn2；
（2）根据（1）所得结论可知：
第10行从左数第1个数是82，
第10行从左数第9个数是90；
故答案为90；
（3）∵第2行所有数字之和是：2﹣3+4＝3＝（﹣1）2×（1×2+1）；
第3行所有数字之和是：﹣5+6﹣7+8﹣9＝﹣7＝（﹣1）3×（2×3+1）；
第4行所有数字之和是：10﹣11+12﹣13+14﹣15+16＝13＝（﹣1）4×（3×4+1）；
…
∴第n行所有数字之和是：（﹣1）n（n（n﹣1）+1]＝（﹣1）n（n2﹣n+1）．
故答案为：（﹣1）n（n2﹣n+1）．
19．解：由所给一系列等式，可知：
相邻两个奇数的平方差等于8的倍数；
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n（n是正整数），
∴20232﹣20212＝（2×1011+1）2﹣（2×1011﹣1）2＝8×1011＝8088．
20．解：（1）7×9+1＝64，
故答案为64；
（2）第n个等式为：（2n﹣1）（2n+1）+1＝4n2（n≥1的整数），
左边＝4n2﹣1+1＝右边．