2022-2023学年人教版数学八年级上册 13.3.2 等边三角形 同步练习（含答案）

13.3.2 等边三角形 同步练习 2022-2023学年八年级上册人教版数学
一、单选题
1．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（　　）
A．15° B．225° C．30° D．45°
2．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE，相交于点P，交AC于点M，交AD于点N，连接AP.下列结论：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③PA平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD.其中一定正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在△ABC中，AB = AC，∠C = 30°，AB⊥AD，AD = 3 cm，则BC的（　　）
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．无法确定
5．如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作孤，交OA、OB于C、D两点，分别以C、D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（　　）
A．6 B．2 C．3 D．
6．如图，已知等边 ，点D在 上，点F在 的延长线上， 于点 于 交 于点P，则下列结论中：① ；② ；③ ；④ ．一定正确的是（　　）
A．① B．②④ C．①②③ D．①②④
7．如图，在中，，交于点D，，，则的长（　　）
A．8 B．10 C．11 D．12
8．如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则　 　．
10．如图，∠BAC＝30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD＝6，则△AMP的面积为　 　
11．如图，OP平分，，，，，垂足为D，则　 　．
12．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，则AD的长为 　 　．
13．如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为　 　．
三、解答题
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D，连接BD、CD．求∠CDA的度数．
15．已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD与AE交于点F，CD＝BE．求证：BD＝AE．
16．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE．
17．如图，点C在线段上，，，求证：是等边三角形．
18．如图，在中，交于点交于点.求证：是等边三角形.
参考答案：
1．C
2．C
3．B
4．B
5．C
6．D
7．D
8．D
9．
10．36
11．2
12．7
13．3
14．解：由作法得BD＝CD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵DB＝DC，AB＝AC，
∴AD垂直平分BC，
∵DB＝BC，
∴AD平分∠BDC，
∴∠CDA＝30°．
15．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠ABE=∠C=60°，
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE．
16．证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C= （180°-120°）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAC =∠C+∠DAC =90°，
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△ADE中，AD=2AE，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，
∴CE=AC-AE=4AE-AE=3AE，即CE=3AE．
17．证明：
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
18．证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形.