21.2 二次函数的图象和性质-二次函数的增减性和对称性同步练习（含解析）2023-2024学年 沪科版九年级上册数学
文档属性
| 名称 | 21.2 二次函数的图象和性质-二次函数的增减性和对称性同步练习（含解析）2023-2024学年 沪科版九年级上册数学 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 211.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-18 17:26:55 | ||
图片预览
文档简介
21.2二次函数的图象和性质
二次函数的增减性和对称性同步练习
一．选择题（共14小题）
1．已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
2．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），顶点坐标为（m，n），若y1＞y2＞n，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣3 B．m＜1 C．m＞1且m≠5 D．m＞5
3．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m＞1
4．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．m≥1 D．m≤1
5．在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的两个点，其中x1＜x2，y1＜y2，且x1+x2＝4，抛物线的对称轴为直线x＝t，则t的取值范围是（ ）
A．t＞2 B．t＝2 C．t＜2 D．无法判断
6．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（ ）
A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0
C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0 D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜0
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y＝﹣ax+c，其中y2＝﹣+c．下列说法正确的是（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（ ）
A．b＞0时，m＞n B．b＜0时，m＜n C．b＞﹣1时，m＜n D．b＜1时，m＞n
11．已知点（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，若y1＞y2，则必有（ ）
A．x1＞x2＞1 B．x1＜x2＜1 C．|x1﹣1|＜|x2﹣1| D．|x1﹣1|＞|x2﹣1|
12．在平面直角坐标系中，当a＜﹣4时，抛物线y＝a（x﹣2）2+9和直线y＝3x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），若x1+x2+x3＞6总是成立，则m的值可以是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＞0）上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3，都有y1≠y2，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1或 B．
C．或 D．
14．已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1＜，则y1＞y2＞0 B．若＜x1＜2，则y2＞y1＞0
C．若x1＜，则y1＞0＞y2 D．若＜x1＜2，则y2＞0＞y1
二．多选题（共1小题）
（多选）15．已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1）．B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（ ）
A．若 x1+x2＞1，则y1＞y2 B．若 x1+x2＜1，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2 D．若 x1+x2＜﹣1，则y1＞y2
三．填空题（共5小题）
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是 ．
17．下列关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m+1（m为常数）的结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝m；②抛物线的顶点在直线y＝x+1上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2.其中正确结论的序号是 ．
18．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）（x3，m），则x1+x2+x3的结果是
19．已知点（a，m）与点（a+2，n）都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上，若m≥n，则a的取值范围为 ．
20．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，且过点A（1，n）和点B（2023，n），则＝ ．
四．解答题（共11小题）
21．设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．
（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．
（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0．
（1）若此函数图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；
（2）函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0），若（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，
①若x1+x2＝4，则y1＝y2，试求a的值；
②当x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．
23．已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．
（1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围；
（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
25．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）图象经过三个点（2，4），（1，m），（﹣1，n）．
（1）用含b的代数式表示c；
（2）求证：；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c在﹣1≤x≤1时，y随x增大而减小，求c的最小值．
26．已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数．
（1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式；
（2）当＜x≤时，y随x的增大而减小，求m的最小值；
（3）当﹣1＜x≤2时，若二次函数图象始终在直线y＝3的上方，请直接写出m的取值范围．
27．在平面直角坐标系xOy中，点M（t，3）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上．
（1）当t＝4时，求抛物线的对称轴；
（2）若点N（+1，2）在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答：
①当这个函数的最小值为2时，求二次函数的解析式；
②当t≤x≤t+1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围．
28．已知二次函数y＝x2+2x．
（1）写出该二次函数图象的对称轴．
（2）已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．
①当x1＝3n+4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．
②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
29．在平面直角坐标系中，点（1，m），（2，n）在函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象上．
（1）若m＝2，n＝3，求该函数的表达式．
（2）若n＝3m，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点（3，0），（﹣1，y1），（4，y2）在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
30．已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）证明：二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）若点P（，b）和点Q（+n，b）在该二次函数图象上，求（+b）2+n2的值．
（3）将该二次函数图象向下平移2个单位，令新函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2．证明：|x1﹣x2|＞2．
31．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）．
（1）若该二次函数图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）．
①求二次函数的表达式：
②当t≤x≤2﹣t时，函数最大值为M，最小值为N．若M﹣N＝3，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（3，y2），当m≤x1≤m+1时，如终有y1≥y2．求m的取值范围．
二次函数的增减性和对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】先求得抛物线的对称轴为x＝4，再抛物线开口向上，最后根据|m﹣h|＜|n﹣h|判断C离对称轴比较近，从而判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）均在此抛物线上，
∴h＝＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），
∵﹣7小于﹣5，
∴顶点（4，﹣7）只能是最低点，
∴a＞0，开口向上，
∵C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，
∴y1＜y2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
2．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），顶点坐标为（m，n），若y1＞y2＞n，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣3 B．m＜1 C．m＞1且m≠5 D．m＞5
【分析】根据二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征得出m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（m，n），
∴抛物线对称轴为x＝m，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），y1＞y2＞n，
∴＜m且m≠5，
∴m＞1且m≠5，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
3．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m＞1
【分析】利用对称轴公式求出对称轴，再根据开口方向和二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小，
∵当x＜m时，y随x的增大而减小，
∴m的取值范围是m≤1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．m≥1 D．m≤1
【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，x≤2时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．
【解答】解：∵点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧，
∴，
解得，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧是解决本题的关键．
5．在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的两个点，其中x1＜x2，y1＜y2，且x1+x2＝4，抛物线的对称轴为直线x＝t，则t的取值范围是（ ）
A．t＞2 B．t＝2 C．t＜2 D．无法判断
【分析】利用二次函数的对称性判断即可．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵x1+x2＝4，
∴＝2，
设x1，x3关于x＝t对称，
则＝t，
∵N距离x＝t更远，
∴x2＞x3，
∴＞，
∴t＜2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小；
故①正确；
②∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则
1＝a（0+1）（0﹣m），
得：1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，
故②错误；
③∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜，
∴若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，2022离对称轴近些，
∴yl＜y2；
故③正确；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∵该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得：1＜m≤，
故④正确；
∴①③④正确，②错误，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（ ）
A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0
C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0 D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜0
【分析】根据二次函数的性质，结合图象上点的坐标特征即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，
∴当时，y1＜y2，即x1+x2﹣2＞0时，y1﹣y2＜0，
当＜1时，y1＞y2，即x1+x2﹣2＜0时，y1﹣y2＞0，
∴（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0，
故A选项一定正确，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y＝﹣ax+c，其中y2＝﹣+c．下列说法正确的是（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝1，从而可得点B为顶点，由a＞0抛物线开口向上可判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，D．
【解答】解：∵y＝﹣ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝﹣ax+c得y＝﹣+c，
∴B（x2，y2）为抛物线顶点，x2＝1，
当a＞0时，抛物线开口向上，y2为函数最小值，
∴选项A，B错误．
若y1＞y3≥y2，则抛物线开口向上，距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|，选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【分析】点A、B的纵坐标相同，则函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，解得b＝m+3，而二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，即可求解．
【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．
10．已知M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（ ）
A．b＞0时，m＞n B．b＜0时，m＜n C．b＞﹣1时，m＜n D．b＜1时，m＞n
【分析】将点M，N的坐标代入解析式，分三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，
∴m＝b2﹣b2+c＝c，n＝（b+1）2﹣b（b+1）+c＝b+1+c，
当b+1＞0时，则b+1+c＞c，即b＞﹣1时，m＜n，
当b+1＝0时，则b+1+c＝c，即b＝﹣1时，n＝m，
当b+1＜0时，则b+1+c＜c，即b＜﹣1时，n＞m，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，利用分类思想解决问题是本题的关键．
11．已知点（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，若y1＞y2，则必有（ ）
A．x1＞x2＞1 B．x1＜x2＜1 C．|x1﹣1|＜|x2﹣1| D．|x1﹣1|＞|x2﹣1|
【分析】由抛物线的解析式得到开口向上，对称轴为直线x＝1，然后判断A、B两点到对称轴的距离即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），
∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，y1＞y2，
∴A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）到对称轴的距离，
∴|x1﹣1|＞|x2﹣1|．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
12．在平面直角坐标系中，当a＜﹣4时，抛物线y＝a（x﹣2）2+9和直线y＝3x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），若x1+x2+x3＞6总是成立，则m的值可以是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据题意在x1，x2，x3中有两个点在抛物线上，根据对称轴公式，求出这两个根的和，再x1+x2+x3＞6即可得出x3＞2，有m＝2x3+1，得出x3＝，即可得出关于m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）中有两个点在抛物线上，
不妨取A、B在抛物线上，
∴＝2，
∴x1+x2＝4，
∵x1+x2+x3＞6，
∴x3＞6﹣4＝2，
又∵m＝3x3+1，
∴x3＝，
∴＞2，
∴m＞7，
∵a＜﹣4，
∴抛物线开口向下，有最大值9，
∴m＜9，即7＜m＜9，
∴m的值可以是8，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＞0）上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3，都有y1≠y2，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1或 B．
C．或 D．
【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＞0），
∴二次函数图象的对称轴是直线，
∵P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3，都有y1≠y2，
∴P（x1，y1），Q（x2，y2）不关于对称轴对称，
∴x1+x2≠1恒成立，即x1+x2＞1成立或x1+x2＜1成立，
∴m+1+（m+3）≤1或m+（m+2）≥1，
解得或．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数性质列不等式．
14．已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1＜，则y1＞y2＞0 B．若＜x1＜2，则y2＞y1＞0
C．若x1＜，则y1＞0＞y2 D．若＜x1＜2，则y2＞0＞y1
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将x＝代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及x2﹣x1＝3求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
当x1＝时，x2＝3+＝，
∴＝2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y1＝y2，
将x＝代入y＝（x﹣2）2﹣1得y＝0，
当x1＜时，当x2＞时，y1＞0＞y2，
当x2＜时，y1＞y2＞0，故选项A，C不符合题意，
∵x2﹣x1＝3，
∴x2＝x1+3，
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴y1＝（x1﹣2）2﹣1，y2＝（x1+1）2﹣1，
当＜x1＜2时，﹣＜x1﹣2＜0，＜x1+1＜3，
∴﹣1＜（x1﹣2）2﹣1＜0，0＜（x1+1）2﹣1＜3，
∴y2＞0＞y1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
二．多选题（共1小题）
（多选）15．已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1）．B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（ ）
A．若 x1+x2＞1，则y1＞y2 B．若 x1+x2＜1，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2 D．若 x1+x2＜﹣1，则y1＞y2
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝及抛物线开口方向，再通过判断点A与点B到对称轴的距离求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，开口向下，
当x1+x2＝1时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，
∴当x1+x2＞1时，点A到抛物线对称轴的距离小于点B到抛物线对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故选：AD．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
三．填空题（共5小题）
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是 s＞1且s≠4 ．
【分析】由题意可得到该抛物线的开口向上，s＞且s≠4，然后即可得到s的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），y1＞y2＞t，
∴该抛物线的开口向上，s＞且s≠4，
∴s＞1且s≠4，
故答案为：s＞1且s≠4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．下列关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m+1（m为常数）的结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝m；②抛物线的顶点在直线y＝x+1上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2.其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
【分析】解析式画出顶点是即可得到开口向上，顶点坐标为（m，m+1），对称轴为直线x＝m，即可判断①；由顶点坐标即可判断②；求得抛物线与y轴的交点即可判断③；根据二次函数的性质即可判断④．
【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，
∴开口向上，顶点坐标为（m，m+1），对称轴为直线x＝m，故①正确；
∵顶点坐标为（m，m+1），
∴抛物线的顶点在直线y＝x+1上，故②正确；
当x＝0时，y＝m2+m+1＝（m+）2+＞0，
∴抛物线与y轴的交点在原点的上方，故③正确；
∵抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，x1+x2＞2m，
∴＞m，
∴B（x2，y2）到对称轴的距离大于点A（x1，y1）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）（x3，m），则x1+x2+x3的结果是 2
【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．
【解答】解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上，
∴m＝﹣x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝2m+2是关键．
19．已知点（a，m）与点（a+2，n）都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上，若m≥n，则a的取值范围为 a≥﹣2 ．
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：由二次函数y＝﹣x2﹣2x+3可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵点（a，m）与点（a+2，n）都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上，且m≥n，
∴a≥﹣1或﹣1﹣a≤a+2+1，
∴a≥﹣1或a≥﹣2．
故a的取值范围为a≥﹣2．
故答案为：a≥﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，且过点A（1，n）和点B（2023，n），则＝ ．
【分析】根据A、B点纵坐标相同求出对称轴，再根据二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，得Δ＝0，求出b、c数量关系，把（1，n）代入y＝x2+bx+c，求出n的值，进而求出．
【解答】解：∵二次函数过点A（1，n）和点B（2023，n），
∴﹣＝，
∴b＝﹣2024，
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
∴c＝，
把（1，n）代入y＝x2+bx+c，
得1+b+c＝n，
∴1﹣2024+10122＝n，
n＝（1012﹣1）2＝10112，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点个数、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
四．解答题（共11小题）
21．设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．
（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．
（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
【分析】（1）把a的值和已知点的坐标代入解析式中进行验证便可；
（2）代入已知点坐标求得a便可得解析式；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果．
【解答】解：（1）∵a＝2，
∴y＝（ax﹣1）（x﹣a）＝（2x﹣1）（x﹣2），
当x＝﹣0.5时，y＝5≠﹣5，
∴点（﹣，﹣5）不在该函数图象上；
（2）∵函数的图象经过点（1，﹣4），
∴（a﹣1）（1﹣a）＝﹣4，
解得，a＝﹣1或3，
∴该函数的表达式为：y＝（3x﹣1）（x﹣3）＝3x2﹣10x+3 或y＝（﹣x﹣1）（x+1）＝﹣x2﹣2x﹣1；
（3）∵二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a）的图象与x轴交于点（，0），（a，0），
∴函数图象的对称轴为直线x＝，
当a＞0时，函数图象开口向上，
∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，
∴≥+1，
∴a≤，
∴0＜a≤；
当a＜0时，函数图象开口向下，
∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，
∴≤﹣1，
∴a≥﹣，
∴﹣≤a＜0；
综上，﹣≤a＜0或0＜a≤．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出a的不等式．
22．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0．
（1）若此函数图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；
（2）函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0），若（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，
①若x1+x2＝4，则y1＝y2，试求a的值；
②当x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．
【分析】（1）直接将点（1，﹣3）代入即可；
（2）①利用题意，由﹣＝＝＝2，求解a；
②由已知当x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，则在x1＞x2≥﹣3时，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）∵函数图象过点（1，﹣3），
∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，
解得a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣x；
（2）①函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝﹣，
∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝4，则y1＝y2，
∴﹣＝＝＝2，
∴a＝﹣；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝﹣，
∵x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，
当a＞0，﹣≤﹣3时，0＜a≤；
∴0＜a≤；
当a＜0时，不符合题意舍去；
∴0＜a≤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
23．已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．
（1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围；
（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围．
【分析】（1）设（2，7）为点P，把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中，求得即可；
（2）求得对称轴为直线x＝，故当时取最小值，x＝﹣1时取最大值，据此即可求得y的取值范围；
（3）由题意3a≤3，即可得到5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，从而求得5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，根据二次函数图象上点的坐标特征求得x＝3a时，y最小为9﹣9a2，x＝5时，y最大为34﹣30a，即可得到34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+20，即可求得≤a≤1．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6ax+9＝（x﹣3a）2﹣9a2+9，
∴顶点为（3a，9﹣9a2），
把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中得：4﹣12a+9＝7，
解得：，
∴抛物线的顶点为（，）；
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝x2﹣3x+9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝，
∴当﹣1≤x＜3时函数在时取最小值为y＝﹣3×+9＝，
在x＝﹣1时取最大值为y＝1+3+9＝13，
故y的取值范围≤y≤13；
（3）由题意得，抛物线开口向上，
∵当x≥3，y随x的增大而增大，
∴对称轴x＝3a≤3，即a≤1，
∴5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，
∴x＝3a时，y最小为9﹣9a2，
x＝5时，y最大为34﹣30a，
所以34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+20，解得a≥，
综上所述≤a≤1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣1，1）和B（2，4）代入解析式得到，两式相减即可得到结论；
（2）由题意可知﹣≤﹣1，代入b＝1﹣a，解得a≤，即可得到a的取值范围是0＜a≤；
（3）由b＝1﹣a得到a2+b2＝2（a﹣）2+，即可根据二次函数的性质得到a2+b2的最值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4），
∴，
②﹣①得，3a+3b＝3，即a+b＝1，
∴b＝1﹣a；
（2）由题意可知﹣≤﹣1，
∵b＝1﹣a，
∴﹣≤﹣1，
∴a＞0，
∴1﹣a≥2a，
∴a≤，
∴a的取值范围是0＜a≤；
（3）∵函数图象与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0，即（1﹣a）2﹣4a（2﹣2a）＜0，
∴（1﹣a）（1﹣9a）＜0，
解得＜a＜1，
∵b＝1﹣a，
∴a2+b2
＝a2+（1﹣a）2
＝a2+a2﹣2a+1
＝2a2﹣2a+1
＝2（a﹣）2+，
∴当a＝时，a2+b2的最小值为，
当a＝1时，a2+b2的最大值为1，
∴≤a2+b2＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）图象经过三个点（2，4），（1，m），（﹣1，n）．
（1）用含b的代数式表示c；
（2）求证：；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c在﹣1≤x≤1时，y随x增大而减小，求c的最小值．
【分析】（1）把（2，4）代入y＝x2+bx+c（b，c为常数），即可求解；
（2）把（1，m），（﹣1，n）代入y＝x2+bx﹣2b，可以得到mn＝3b2﹣4b+1，于是可以解决问题；
（3）由二次函数图象的对称轴是直线x＝，得到≥1，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）图象经过点（2，4），
∴4+2b+c＝4，
∴c＝﹣2b；
（2）由（1）知二次函数解析式是y＝x2+bx﹣2b，
∵函数y＝x2+bx﹣2b图象经过点（1，m），（﹣1，n），
∴，
∴，
∴mn＝（1﹣b）（1﹣3b）＝3b2﹣4b+1＝3﹣，
∴mn≥﹣；
（3）∵b＝﹣，
∴y＝x2﹣x+c，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝，
∵二次函数y＝a2+bx+c在﹣1≤x≤1时，y随x增大而减小，
∴≥1，
∴c≥4，
∴c的最小值是4．
【点评】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数．
（1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式；
（2）当＜x≤时，y随x的增大而减小，求m的最小值；
（3）当﹣1＜x≤2时，若二次函数图象始终在直线y＝3的上方，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把（﹣1，8）代入函数解析求出m，进而求解．
（2）先求出抛物线对称轴方程x＝m+1，由抛物线开口向上得x≤m+1，进而求解．
（3）分类讨论直线x＝﹣1，x＝2与抛物线交点和顶点为最低点三种情况求解．
【解答】解：（1）把（﹣1，8）代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得：
1+2（m+1）+3﹣m＝8，
解得m＝2，
∴函数解析式为y＝x2﹣6x+1．
（2）由y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得抛物线对称轴为直线x＝m+1，
∵抛物线开口向上，
∴当x≤m+1时，y随x增大而减小，
∴，
解得m≥1，
∴m最小值为1．
（3）当2≤m+1时，即m≥1，
直线x＝2与抛物线交点为最低点，
把x＝2代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得y＝﹣5m+3，
∴﹣5m+3＞3，
解得m＜0，不满足题意．
当﹣1≥m+1时，即m≤﹣2，
直线x＝﹣1与抛物线交点为最低点，
把x＝﹣1代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得y＝m+6，
∴m+6≥3，
解得m≥﹣3，
∴﹣3≤m≤﹣2，
当﹣1＜m+1＜2时，即﹣2＜m＜1，
抛物线顶点为最低点，
把x＝m+1代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得y＝﹣m2﹣3m+2，
∴﹣m2﹣3m+2＞3，
解得＜m＜，
∴﹣2＜m＜，
综上所述，﹣3≤m＜满足题意．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，用分类讨论的方法求解．
27．在平面直角坐标系xOy中，点M（t，3）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上．
（1）当t＝4时，求抛物线的对称轴；
（2）若点N（+1，2）在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答：
①当这个函数的最小值为2时，求二次函数的解析式；
②当t≤x≤t+1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）把（4，3）代入y＝ax2+bx+3求出a与b的等量关系，再根据对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）①由函数最小值为2，N（+1，2）可得抛物线顶点坐标与开口方向，再由抛物线经过（0，3），（t，3）可得抛物线对称轴，进而求出t．再将M，N两点坐标代入解析式求解．②分类讨论抛物线开口方向，通过对称轴为直线x＝可得t的取值范围，再由抛物线经过点M，N可得t的取值范围，从而求解．
【解答】解：（1）把（4，3）代入y＝ax2+bx+3得3＝16a+4b+3，
∴b＝﹣4a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2．
（2）①∵函数最小值为2，
∴点N（+1，2）为抛物线顶点，且抛物线开口向上，
把x＝0代入y＝ax2+bx+3得y＝3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∵点M（t，3）在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∴+1＝，
解得t＝6，
把（6，3），（3，2）代入y＝ax2+bx+3得，
解得，
∴y＝x2﹣x+3．
②∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，
∴当a＜0时，x≤时y随x增大而增大，
即t+1≤，解得t≤﹣2，
∵M（t，3），N（+1，2）在抛物线上，
∴﹣t＜+1﹣，
解得t＞﹣3，
∴﹣3＜t≤﹣2．
当a＞0时，x≥时y随x增大而增大，
∴t≥，
解得t≥0，
∵M（t，3），N（+1，2）在抛物线上，
∴t﹣＞|+1﹣|，
当t≥6时，t﹣＞﹣+1，
解得t＞3．
∴t≥6．
当t＜6时，t﹣＞+1﹣，
解得t＞，
∴＜t＜6．
综上所述，﹣3＜t≤﹣2或t＞．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过分类讨论求解．
28．已知二次函数y＝x2+2x．
（1）写出该二次函数图象的对称轴．
（2）已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．
①当x1＝3n+4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．
②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）①由抛物线的对称性可得A，B两点关于对称轴对称，进而求解．②根据x＞﹣1时y随x增大而增大分类讨论x1＞x2与x1＜x2两种情况求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）①由抛物线的对称性可得当y1＝y2时，A，B两点关于对称轴对称，
∴＝﹣1，
解得n＝﹣1．
②∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而增大，
∴当x1＞x2时，y1＞y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
当x1＜x2时，y1＜y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
29．在平面直角坐标系中，点（1，m），（2，n）在函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象上．
（1）若m＝2，n＝3，求该函数的表达式．
（2）若n＝3m，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点（3，0），（﹣1，y1），（4，y2）在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把（1，m），（2，3m）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，解方程组得到抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，然后计算x＝时，y＝，从而可判断抛物线经过点（，）；
（3）如图，由于x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，抛物线经过点（3，0），则可判断抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，然后利用点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，从而得到y1＞y2．
【解答】（1）解：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）证明：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，
∵当x＝时，y＝+×（2m﹣3）+2﹣m＝，
∴抛物线经过点（，）；
（3）y1＞y2．
理由如下：
如图，
∵m＞0，n＜0，
∴x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，
∵抛物线经过点（3，0），
∴抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，
∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，
而抛物线开口向上，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
30．已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）证明：二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）若点P（，b）和点Q（+n，b）在该二次函数图象上，求（+b）2+n2的值．
（3）将该二次函数图象向下平移2个单位，令新函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2．证明：|x1﹣x2|＞2．
【分析】（1）计算出△，可以证明△大于等于0，即可说明图象与x轴总有交点；
（2）先求出抛物线对称轴，在根据P，Q关于对称轴对称求出n＝2，再把点P坐标代入抛物线求出b＝2﹣，再求出（+b）2+n2的值；
（3）求出平移后的新函数解析式，再由二次函数与方程的关系证明即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4a×4＝4a2+8a+4﹣16a＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2≥0，
∴二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）解：∵y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵点P（，b）和点Q（+n，b）关于对称轴对称，
∴＝1+，
∴n＝2，
把P（，b）代入函数解析式得：a×﹣2（a+1）×+4＝b，
解得b＝2﹣，
∴（+b）2+n2＝（+2﹣）2+22＝8；
（3）证明：∵将二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）的图象向下平移2个单位，
平移后的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+2，
∵平移后函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2，
∴ax2﹣2（a+1）x+2＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝＞＝2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质和二次函数与方程的关系．
31．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）．
（1）若该二次函数图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）．
①求二次函数的表达式：
②当t≤x≤2﹣t时，函数最大值为M，最小值为N．若M﹣N＝3，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（3，y2），当m≤x1≤m+1时，如终有y1≥y2．求m的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；
②利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），再利用t≤x≤2﹣t得t≤1，所以2﹣t≥1，根据二次函数的性质，当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，当x＝t或t＝2﹣t时，函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，则t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，然后解方程即可；
（2）先利用二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）得到b＝﹣2，则可求出抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，即|x1﹣1|≥|3﹣1|，解得x1≤﹣1或x1≥3，然后利用m≤x1≤m+1得到m+1≤﹣1或m≥3，从而得到m的范围．
【解答】解：（1）①把（2，c），（﹣1，0）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵t≤x≤2﹣t，
∴t≤2﹣t，
解得t≤1，
∴2﹣t≥1，
∴当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，即N＝﹣4，
当x＝t或t＝2﹣t时，函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，
∵M﹣N＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，
解得t1＝1+（舍去），t2＝1﹣，
∴t的值为1﹣；
（2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c），
∴4+2b+c＝c，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（x1，y1），B（3，y2）在抛物线上，且y1≥y2，
∴点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，
∴|x1﹣1|≥|3﹣1|，
∴x1≤﹣1或x1≥3，
∵m≤x1≤m+1，
∴m+1≤﹣1或m≥3，
解得m≤﹣2或m≥3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质。
二次函数的增减性和对称性同步练习
一．选择题（共14小题）
1．已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
2．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），顶点坐标为（m，n），若y1＞y2＞n，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣3 B．m＜1 C．m＞1且m≠5 D．m＞5
3．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m＞1
4．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．m≥1 D．m≤1
5．在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的两个点，其中x1＜x2，y1＜y2，且x1+x2＝4，抛物线的对称轴为直线x＝t，则t的取值范围是（ ）
A．t＞2 B．t＝2 C．t＜2 D．无法判断
6．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（ ）
A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0
C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0 D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜0
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y＝﹣ax+c，其中y2＝﹣+c．下列说法正确的是（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（ ）
A．b＞0时，m＞n B．b＜0时，m＜n C．b＞﹣1时，m＜n D．b＜1时，m＞n
11．已知点（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，若y1＞y2，则必有（ ）
A．x1＞x2＞1 B．x1＜x2＜1 C．|x1﹣1|＜|x2﹣1| D．|x1﹣1|＞|x2﹣1|
12．在平面直角坐标系中，当a＜﹣4时，抛物线y＝a（x﹣2）2+9和直线y＝3x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），若x1+x2+x3＞6总是成立，则m的值可以是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＞0）上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3，都有y1≠y2，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1或 B．
C．或 D．
14．已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1＜，则y1＞y2＞0 B．若＜x1＜2，则y2＞y1＞0
C．若x1＜，则y1＞0＞y2 D．若＜x1＜2，则y2＞0＞y1
二．多选题（共1小题）
（多选）15．已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1）．B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（ ）
A．若 x1+x2＞1，则y1＞y2 B．若 x1+x2＜1，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2 D．若 x1+x2＜﹣1，则y1＞y2
三．填空题（共5小题）
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是 ．
17．下列关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m+1（m为常数）的结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝m；②抛物线的顶点在直线y＝x+1上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2.其中正确结论的序号是 ．
18．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）（x3，m），则x1+x2+x3的结果是
19．已知点（a，m）与点（a+2，n）都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上，若m≥n，则a的取值范围为 ．
20．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，且过点A（1，n）和点B（2023，n），则＝ ．
四．解答题（共11小题）
21．设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．
（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．
（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0．
（1）若此函数图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；
（2）函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0），若（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，
①若x1+x2＝4，则y1＝y2，试求a的值；
②当x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．
23．已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．
（1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围；
（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
25．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）图象经过三个点（2，4），（1，m），（﹣1，n）．
（1）用含b的代数式表示c；
（2）求证：；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c在﹣1≤x≤1时，y随x增大而减小，求c的最小值．
26．已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数．
（1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式；
（2）当＜x≤时，y随x的增大而减小，求m的最小值；
（3）当﹣1＜x≤2时，若二次函数图象始终在直线y＝3的上方，请直接写出m的取值范围．
27．在平面直角坐标系xOy中，点M（t，3）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上．
（1）当t＝4时，求抛物线的对称轴；
（2）若点N（+1，2）在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答：
①当这个函数的最小值为2时，求二次函数的解析式；
②当t≤x≤t+1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围．
28．已知二次函数y＝x2+2x．
（1）写出该二次函数图象的对称轴．
（2）已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．
①当x1＝3n+4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．
②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
29．在平面直角坐标系中，点（1，m），（2，n）在函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象上．
（1）若m＝2，n＝3，求该函数的表达式．
（2）若n＝3m，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点（3，0），（﹣1，y1），（4，y2）在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
30．已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）证明：二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）若点P（，b）和点Q（+n，b）在该二次函数图象上，求（+b）2+n2的值．
（3）将该二次函数图象向下平移2个单位，令新函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2．证明：|x1﹣x2|＞2．
31．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）．
（1）若该二次函数图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）．
①求二次函数的表达式：
②当t≤x≤2﹣t时，函数最大值为M，最小值为N．若M﹣N＝3，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（3，y2），当m≤x1≤m+1时，如终有y1≥y2．求m的取值范围．
二次函数的增减性和对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．已知抛物线y＝a（x﹣h）2﹣7，点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】先求得抛物线的对称轴为x＝4，再抛物线开口向上，最后根据|m﹣h|＜|n﹣h|判断C离对称轴比较近，从而判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵点A（1，﹣5）、B（7，﹣5）均在此抛物线上，
∴h＝＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），
∵﹣7小于﹣5，
∴顶点（4，﹣7）只能是最低点，
∴a＞0，开口向上，
∵C（m，y1）、D（n，y2）均在此抛物线上，且|m﹣h|＜|n﹣h|，
∴y1＜y2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知对称点的坐标得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
2．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），顶点坐标为（m，n），若y1＞y2＞n，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣3 B．m＜1 C．m＞1且m≠5 D．m＞5
【分析】根据二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征得出m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（m，n），
∴抛物线对称轴为x＝m，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，y1）和（5，y2），y1＞y2＞n，
∴＜m且m≠5，
∴m＞1且m≠5，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
3．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m＞1
【分析】利用对称轴公式求出对称轴，再根据开口方向和二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小，
∵当x＜m时，y随x的增大而减小，
∴m的取值范围是m≤1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．m≥1 D．m≤1
【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，x≤2时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．
【解答】解：∵点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧，
∴，
解得，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线x＝2或在其右侧是解决本题的关键．
5．在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上的两个点，其中x1＜x2，y1＜y2，且x1+x2＝4，抛物线的对称轴为直线x＝t，则t的取值范围是（ ）
A．t＞2 B．t＝2 C．t＜2 D．无法判断
【分析】利用二次函数的对称性判断即可．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵x1+x2＝4，
∴＝2，
设x1，x3关于x＝t对称，
则＝t，
∵N距离x＝t更远，
∴x2＞x3，
∴＞，
∴t＜2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小；
故①正确；
②∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则
1＝a（0+1）（0﹣m），
得：1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，
故②错误；
③∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜，
∴若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，2022离对称轴近些，
∴yl＜y2；
故③正确；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∵该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得：1＜m≤，
故④正确；
∴①③④正确，②错误，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，则下列式子正确的是（ ）
A．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0 B．（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＞0
C．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＞0 D．（x1+x2+2）（y1﹣y2）＜0
【分析】根据二次函数的性质，结合图象上点的坐标特征即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是其图象上的两点，且x1＜x2，|x1﹣1|≠|x2﹣1|，
∴当时，y1＜y2，即x1+x2﹣2＞0时，y1﹣y2＜0，
当＜1时，y1＞y2，即x1+x2﹣2＜0时，y1﹣y2＞0，
∴（x1+x2﹣2）（y1﹣y2）＜0，
故A选项一定正确，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线y＝﹣ax+c，其中y2＝﹣+c．下列说法正确的是（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3|
D．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝1，从而可得点B为顶点，由a＞0抛物线开口向上可判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，D．
【解答】解：∵y＝﹣ax+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
把x＝1代入y＝﹣ax+c得y＝﹣+c，
∴B（x2，y2）为抛物线顶点，x2＝1，
当a＞0时，抛物线开口向上，y2为函数最小值，
∴选项A，B错误．
若y1＞y3≥y2，则抛物线开口向上，距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|，选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【分析】点A、B的纵坐标相同，则函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，解得b＝m+3，而二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，即可求解．
【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．
10．已知M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，则判断m和n的大小关系正确的是（ ）
A．b＞0时，m＞n B．b＜0时，m＜n C．b＞﹣1时，m＜n D．b＜1时，m＞n
【分析】将点M，N的坐标代入解析式，分三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵M（b，m）和N（b+1，n）是二次函数y＝x2﹣bx+c（其中b，c是常数）上不同的两点，
∴m＝b2﹣b2+c＝c，n＝（b+1）2﹣b（b+1）+c＝b+1+c，
当b+1＞0时，则b+1+c＞c，即b＞﹣1时，m＜n，
当b+1＝0时，则b+1+c＝c，即b＝﹣1时，n＝m，
当b+1＜0时，则b+1+c＜c，即b＜﹣1时，n＞m，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，利用分类思想解决问题是本题的关键．
11．已知点（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，若y1＞y2，则必有（ ）
A．x1＞x2＞1 B．x1＜x2＜1 C．|x1﹣1|＜|x2﹣1| D．|x1﹣1|＞|x2﹣1|
【分析】由抛物线的解析式得到开口向上，对称轴为直线x＝1，然后判断A、B两点到对称轴的距离即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），
∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，y1＞y2，
∴A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）到对称轴的距离，
∴|x1﹣1|＞|x2﹣1|．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
12．在平面直角坐标系中，当a＜﹣4时，抛物线y＝a（x﹣2）2+9和直线y＝3x+1上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），若x1+x2+x3＞6总是成立，则m的值可以是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】根据题意在x1，x2，x3中有两个点在抛物线上，根据对称轴公式，求出这两个根的和，再x1+x2+x3＞6即可得出x3＞2，有m＝2x3+1，得出x3＝，即可得出关于m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：∵点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m）中有两个点在抛物线上，
不妨取A、B在抛物线上，
∴＝2，
∴x1+x2＝4，
∵x1+x2+x3＞6，
∴x3＞6﹣4＝2，
又∵m＝3x3+1，
∴x3＝，
∴＞2，
∴m＞7，
∵a＜﹣4，
∴抛物线开口向下，有最大值9，
∴m＜9，即7＜m＜9，
∴m的值可以是8，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＞0）上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3，都有y1≠y2，则m的取值范围是（ ）
A．m≤﹣1或 B．
C．或 D．
【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣ax+2（a＞0），
∴二次函数图象的对称轴是直线，
∵P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3，都有y1≠y2，
∴P（x1，y1），Q（x2，y2）不关于对称轴对称，
∴x1+x2≠1恒成立，即x1+x2＞1成立或x1+x2＜1成立，
∴m+1+（m+3）≤1或m+（m+2）≥1，
解得或．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数性质列不等式．
14．已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1＜，则y1＞y2＞0 B．若＜x1＜2，则y2＞y1＞0
C．若x1＜，则y1＞0＞y2 D．若＜x1＜2，则y2＞0＞y1
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将x＝代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及x2﹣x1＝3求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
当x1＝时，x2＝3+＝，
∴＝2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y1＝y2，
将x＝代入y＝（x﹣2）2﹣1得y＝0，
当x1＜时，当x2＞时，y1＞0＞y2，
当x2＜时，y1＞y2＞0，故选项A，C不符合题意，
∵x2﹣x1＝3，
∴x2＝x1+3，
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴y1＝（x1﹣2）2﹣1，y2＝（x1+1）2﹣1，
当＜x1＜2时，﹣＜x1﹣2＜0，＜x1+1＜3，
∴﹣1＜（x1﹣2）2﹣1＜0，0＜（x1+1）2﹣1＜3，
∴y2＞0＞y1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
二．多选题（共1小题）
（多选）15．已知二次函数y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1）．B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列说法正确的是（ ）
A．若 x1+x2＞1，则y1＞y2 B．若 x1+x2＜1，则y1＞y2
C．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2 D．若 x1+x2＜﹣1，则y1＞y2
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝及抛物线开口方向，再通过判断点A与点B到对称轴的距离求解．
【解答】解：∵y＝﹣（x+m﹣1）（x﹣m）+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝，开口向下，
当x1+x2＝1时，点A（x1，y1），B（x2，y2）关于抛物线对称轴对称，即y1＝y2，
∴当x1+x2＞1时，点A到抛物线对称轴的距离小于点B到抛物线对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故选：AD．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
三．填空题（共5小题）
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是 s＞1且s≠4 ．
【分析】由题意可得到该抛物线的开口向上，s＞且s≠4，然后即可得到s的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），y1＞y2＞t，
∴该抛物线的开口向上，s＞且s≠4，
∴s＞1且s≠4，
故答案为：s＞1且s≠4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．下列关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m+1（m为常数）的结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝m；②抛物线的顶点在直线y＝x+1上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2.其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
【分析】解析式画出顶点是即可得到开口向上，顶点坐标为（m，m+1），对称轴为直线x＝m，即可判断①；由顶点坐标即可判断②；求得抛物线与y轴的交点即可判断③；根据二次函数的性质即可判断④．
【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，
∴开口向上，顶点坐标为（m，m+1），对称轴为直线x＝m，故①正确；
∵顶点坐标为（m，m+1），
∴抛物线的顶点在直线y＝x+1上，故②正确；
当x＝0时，y＝m2+m+1＝（m+）2+＞0，
∴抛物线与y轴的交点在原点的上方，故③正确；
∵抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，x1+x2＞2m，
∴＞m，
∴B（x2，y2）到对称轴的距离大于点A（x1，y1）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）（x3，m），则x1+x2+x3的结果是 2
【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．
【解答】解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上，
∴m＝﹣x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝2m+2是关键．
19．已知点（a，m）与点（a+2，n）都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上，若m≥n，则a的取值范围为 a≥﹣2 ．
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：由二次函数y＝﹣x2﹣2x+3可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵点（a，m）与点（a+2，n）都在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象上，且m≥n，
∴a≥﹣1或﹣1﹣a≤a+2+1，
∴a≥﹣1或a≥﹣2．
故a的取值范围为a≥﹣2．
故答案为：a≥﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，且过点A（1，n）和点B（2023，n），则＝ ．
【分析】根据A、B点纵坐标相同求出对称轴，再根据二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，得Δ＝0，求出b、c数量关系，把（1，n）代入y＝x2+bx+c，求出n的值，进而求出．
【解答】解：∵二次函数过点A（1，n）和点B（2023，n），
∴﹣＝，
∴b＝﹣2024，
∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴恰有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
∴c＝，
把（1，n）代入y＝x2+bx+c，
得1+b+c＝n，
∴1﹣2024+10122＝n，
n＝（1012﹣1）2＝10112，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点个数、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
四．解答题（共11小题）
21．设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．
（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．
（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．
（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
【分析】（1）把a的值和已知点的坐标代入解析式中进行验证便可；
（2）代入已知点坐标求得a便可得解析式；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果．
【解答】解：（1）∵a＝2，
∴y＝（ax﹣1）（x﹣a）＝（2x﹣1）（x﹣2），
当x＝﹣0.5时，y＝5≠﹣5，
∴点（﹣，﹣5）不在该函数图象上；
（2）∵函数的图象经过点（1，﹣4），
∴（a﹣1）（1﹣a）＝﹣4，
解得，a＝﹣1或3，
∴该函数的表达式为：y＝（3x﹣1）（x﹣3）＝3x2﹣10x+3 或y＝（﹣x﹣1）（x+1）＝﹣x2﹣2x﹣1；
（3）∵二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a）的图象与x轴交于点（，0），（a，0），
∴函数图象的对称轴为直线x＝，
当a＞0时，函数图象开口向上，
∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，
∴≥+1，
∴a≤，
∴0＜a≤；
当a＜0时，函数图象开口向下，
∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，
∴≤﹣1，
∴a≥﹣，
∴﹣≤a＜0；
综上，﹣≤a＜0或0＜a≤．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法，关键是根据题意正确列出a的不等式．
22．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0．
（1）若此函数图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；
（2）函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0），若（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，
①若x1+x2＝4，则y1＝y2，试求a的值；
②当x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围．
【分析】（1）直接将点（1，﹣3）代入即可；
（2）①利用题意，由﹣＝＝＝2，求解a；
②由已知当x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，则在x1＞x2≥﹣3时，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）∵函数图象过点（1，﹣3），
∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，
解得a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣x；
（2）①函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝﹣，
∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝4，则y1＝y2，
∴﹣＝＝＝2，
∴a＝﹣；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝﹣，
∵x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，
当a＞0，﹣≤﹣3时，0＜a≤；
∴0＜a≤；
当a＜0时，不符合题意舍去；
∴0＜a≤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
23．已知二次函数y＝x2﹣6ax+9（a为常数）．
（1）若该函数图象过点（2，7），求a的值和图象顶点坐标；
（2）在（1）的情况下，当﹣1≤x＜3时，求y的取值范围；
（3）当x≥3，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两个点，对任意的3a﹣2≤x1≤5，3a﹣2≤x2≤5，y1，y2总满足y1﹣y2≤9a2+20，求a的取值范围．
【分析】（1）设（2，7）为点P，把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中，求得即可；
（2）求得对称轴为直线x＝，故当时取最小值，x＝﹣1时取最大值，据此即可求得y的取值范围；
（3）由题意3a≤3，即可得到5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，从而求得5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，根据二次函数图象上点的坐标特征求得x＝3a时，y最小为9﹣9a2，x＝5时，y最大为34﹣30a，即可得到34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+20，即可求得≤a≤1．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6ax+9＝（x﹣3a）2﹣9a2+9，
∴顶点为（3a，9﹣9a2），
把点P（2，7）代入y＝x2﹣6ax+9中得：4﹣12a+9＝7，
解得：，
∴抛物线的顶点为（，）；
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝x2﹣3x+9，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝，
∴当﹣1≤x＜3时函数在时取最小值为y＝﹣3×+9＝，
在x＝﹣1时取最大值为y＝1+3+9＝13，
故y的取值范围≤y≤13；
（3）由题意得，抛物线开口向上，
∵当x≥3，y随x的增大而增大，
∴对称轴x＝3a≤3，即a≤1，
∴5﹣3a≥2，3a﹣（3a﹣2）＝2，
∴x＝3a时，y最小为9﹣9a2，
x＝5时，y最大为34﹣30a，
所以34﹣30a﹣（9﹣9a2）≤9a2+20，解得a≥，
综上所述≤a≤1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣1，1）和B（2，4）代入解析式得到，两式相减即可得到结论；
（2）由题意可知﹣≤﹣1，代入b＝1﹣a，解得a≤，即可得到a的取值范围是0＜a≤；
（3）由b＝1﹣a得到a2+b2＝2（a﹣）2+，即可根据二次函数的性质得到a2+b2的最值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4），
∴，
②﹣①得，3a+3b＝3，即a+b＝1，
∴b＝1﹣a；
（2）由题意可知﹣≤﹣1，
∵b＝1﹣a，
∴﹣≤﹣1，
∴a＞0，
∴1﹣a≥2a，
∴a≤，
∴a的取值范围是0＜a≤；
（3）∵函数图象与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0，即（1﹣a）2﹣4a（2﹣2a）＜0，
∴（1﹣a）（1﹣9a）＜0，
解得＜a＜1，
∵b＝1﹣a，
∴a2+b2
＝a2+（1﹣a）2
＝a2+a2﹣2a+1
＝2a2﹣2a+1
＝2（a﹣）2+，
∴当a＝时，a2+b2的最小值为，
当a＝1时，a2+b2的最大值为1，
∴≤a2+b2＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）图象经过三个点（2，4），（1，m），（﹣1，n）．
（1）用含b的代数式表示c；
（2）求证：；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c在﹣1≤x≤1时，y随x增大而减小，求c的最小值．
【分析】（1）把（2，4）代入y＝x2+bx+c（b，c为常数），即可求解；
（2）把（1，m），（﹣1，n）代入y＝x2+bx﹣2b，可以得到mn＝3b2﹣4b+1，于是可以解决问题；
（3）由二次函数图象的对称轴是直线x＝，得到≥1，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）图象经过点（2，4），
∴4+2b+c＝4，
∴c＝﹣2b；
（2）由（1）知二次函数解析式是y＝x2+bx﹣2b，
∵函数y＝x2+bx﹣2b图象经过点（1，m），（﹣1，n），
∴，
∴，
∴mn＝（1﹣b）（1﹣3b）＝3b2﹣4b+1＝3﹣，
∴mn≥﹣；
（3）∵b＝﹣，
∴y＝x2﹣x+c，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝，
∵二次函数y＝a2+bx+c在﹣1≤x≤1时，y随x增大而减小，
∴≥1，
∴c≥4，
∴c的最小值是4．
【点评】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数．
（1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式；
（2）当＜x≤时，y随x的增大而减小，求m的最小值；
（3）当﹣1＜x≤2时，若二次函数图象始终在直线y＝3的上方，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把（﹣1，8）代入函数解析求出m，进而求解．
（2）先求出抛物线对称轴方程x＝m+1，由抛物线开口向上得x≤m+1，进而求解．
（3）分类讨论直线x＝﹣1，x＝2与抛物线交点和顶点为最低点三种情况求解．
【解答】解：（1）把（﹣1，8）代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得：
1+2（m+1）+3﹣m＝8，
解得m＝2，
∴函数解析式为y＝x2﹣6x+1．
（2）由y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得抛物线对称轴为直线x＝m+1，
∵抛物线开口向上，
∴当x≤m+1时，y随x增大而减小，
∴，
解得m≥1，
∴m最小值为1．
（3）当2≤m+1时，即m≥1，
直线x＝2与抛物线交点为最低点，
把x＝2代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得y＝﹣5m+3，
∴﹣5m+3＞3，
解得m＜0，不满足题意．
当﹣1≥m+1时，即m≤﹣2，
直线x＝﹣1与抛物线交点为最低点，
把x＝﹣1代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得y＝m+6，
∴m+6≥3，
解得m≥﹣3，
∴﹣3≤m≤﹣2，
当﹣1＜m+1＜2时，即﹣2＜m＜1，
抛物线顶点为最低点，
把x＝m+1代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得y＝﹣m2﹣3m+2，
∴﹣m2﹣3m+2＞3，
解得＜m＜，
∴﹣2＜m＜，
综上所述，﹣3≤m＜满足题意．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，用分类讨论的方法求解．
27．在平面直角坐标系xOy中，点M（t，3）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+3的图象上．
（1）当t＝4时，求抛物线的对称轴；
（2）若点N（+1，2）在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答：
①当这个函数的最小值为2时，求二次函数的解析式；
②当t≤x≤t+1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）把（4，3）代入y＝ax2+bx+3求出a与b的等量关系，再根据对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）①由函数最小值为2，N（+1，2）可得抛物线顶点坐标与开口方向，再由抛物线经过（0，3），（t，3）可得抛物线对称轴，进而求出t．再将M，N两点坐标代入解析式求解．②分类讨论抛物线开口方向，通过对称轴为直线x＝可得t的取值范围，再由抛物线经过点M，N可得t的取值范围，从而求解．
【解答】解：（1）把（4，3）代入y＝ax2+bx+3得3＝16a+4b+3，
∴b＝﹣4a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2．
（2）①∵函数最小值为2，
∴点N（+1，2）为抛物线顶点，且抛物线开口向上，
把x＝0代入y＝ax2+bx+3得y＝3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∵点M（t，3）在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∴+1＝，
解得t＝6，
把（6，3），（3，2）代入y＝ax2+bx+3得，
解得，
∴y＝x2﹣x+3．
②∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，
∴当a＜0时，x≤时y随x增大而增大，
即t+1≤，解得t≤﹣2，
∵M（t，3），N（+1，2）在抛物线上，
∴﹣t＜+1﹣，
解得t＞﹣3，
∴﹣3＜t≤﹣2．
当a＞0时，x≥时y随x增大而增大，
∴t≥，
解得t≥0，
∵M（t，3），N（+1，2）在抛物线上，
∴t﹣＞|+1﹣|，
当t≥6时，t﹣＞﹣+1，
解得t＞3．
∴t≥6．
当t＜6时，t﹣＞+1﹣，
解得t＞，
∴＜t＜6．
综上所述，﹣3＜t≤﹣2或t＞．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过分类讨论求解．
28．已知二次函数y＝x2+2x．
（1）写出该二次函数图象的对称轴．
（2）已知该函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点．
①当x1＝3n+4，x2＝2n﹣1，且y1＝y2时，求n的值．
②当x1＞﹣1，x2＞﹣1时，求证：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）①由抛物线的对称性可得A，B两点关于对称轴对称，进而求解．②根据x＞﹣1时y随x增大而增大分类讨论x1＞x2与x1＜x2两种情况求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）①由抛物线的对称性可得当y1＝y2时，A，B两点关于对称轴对称，
∴＝﹣1，
解得n＝﹣1．
②∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而增大，
∴当x1＞x2时，y1＞y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
当x1＜x2时，y1＜y2，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
29．在平面直角坐标系中，点（1，m），（2，n）在函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象上．
（1）若m＝2，n＝3，求该函数的表达式．
（2）若n＝3m，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点（3，0），（﹣1，y1），（4，y2）在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
【分析】（1）把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把（1，m），（2，3m）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，解方程组得到抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，然后计算x＝时，y＝，从而可判断抛物线经过点（，）；
（3）如图，由于x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，抛物线经过点（3，0），则可判断抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，然后利用点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，从而得到y1＞y2．
【解答】（1）解：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）证明：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，
∵当x＝时，y＝+×（2m﹣3）+2﹣m＝，
∴抛物线经过点（，）；
（3）y1＞y2．
理由如下：
如图，
∵m＞0，n＜0，
∴x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，
∵抛物线经过点（3，0），
∴抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，
∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，
而抛物线开口向上，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
30．已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）证明：二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）若点P（，b）和点Q（+n，b）在该二次函数图象上，求（+b）2+n2的值．
（3）将该二次函数图象向下平移2个单位，令新函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2．证明：|x1﹣x2|＞2．
【分析】（1）计算出△，可以证明△大于等于0，即可说明图象与x轴总有交点；
（2）先求出抛物线对称轴，在根据P，Q关于对称轴对称求出n＝2，再把点P坐标代入抛物线求出b＝2﹣，再求出（+b）2+n2的值；
（3）求出平移后的新函数解析式，再由二次函数与方程的关系证明即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4a×4＝4a2+8a+4﹣16a＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2≥0，
∴二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）解：∵y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∵点P（，b）和点Q（+n，b）关于对称轴对称，
∴＝1+，
∴n＝2，
把P（，b）代入函数解析式得：a×﹣2（a+1）×+4＝b，
解得b＝2﹣，
∴（+b）2+n2＝（+2﹣）2+22＝8；
（3）证明：∵将二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）的图象向下平移2个单位，
平移后的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+2，
∵平移后函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2，
∴ax2﹣2（a+1）x+2＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝＞＝2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质和二次函数与方程的关系．
31．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）．
（1）若该二次函数图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）．
①求二次函数的表达式：
②当t≤x≤2﹣t时，函数最大值为M，最小值为N．若M﹣N＝3，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（3，y2），当m≤x1≤m+1时，如终有y1≥y2．求m的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；
②利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），再利用t≤x≤2﹣t得t≤1，所以2﹣t≥1，根据二次函数的性质，当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，当x＝t或t＝2﹣t时，函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，则t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，然后解方程即可；
（2）先利用二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）得到b＝﹣2，则可求出抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，即|x1﹣1|≥|3﹣1|，解得x1≤﹣1或x1≥3，然后利用m≤x1≤m+1得到m+1≤﹣1或m≥3，从而得到m的范围．
【解答】解：（1）①把（2，c），（﹣1，0）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵t≤x≤2﹣t，
∴t≤2﹣t，
解得t≤1，
∴2﹣t≥1，
∴当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，即N＝﹣4，
当x＝t或t＝2﹣t时，函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，
∵M﹣N＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，
解得t1＝1+（舍去），t2＝1﹣，
∴t的值为1﹣；
（2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c），
∴4+2b+c＝c，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（x1，y1），B（3，y2）在抛物线上，且y1≥y2，
∴点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，
∴|x1﹣1|≥|3﹣1|，
∴x1≤﹣1或x1≥3，
∵m≤x1≤m+1，
∴m+1≤﹣1或m≥3，
解得m≤﹣2或m≥3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质。