2023年中考数学专题：全等三角形辅助线（截长补短、倍长中线）（无答案）

2024年中考数学专题：全等三角形辅助线（截长补短、倍长中线）
类型一：截长补短
1．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠ABC的平分线，BD＝BE．求证：
（1）△CED是等腰三角形；
（2）BD+AD＝BC．
2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
3．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，满足AD＝CD，延长CD交直线AB于点E，过点A作AF⊥AD交CD延长线于点F．
（1）如图1，若CD平分∠ACB，EF＝1，求CD的长；
（2）如图2，延长AD交BC于点G，若AG＝AF，求证：AD＝DG+EF；
（3）如图3，以CD为边构造等边三角形△CDM，若AB＝2，连接BM，当BM最小时，直接写出△BCM的面积．
4．如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接DE交AC于点M．
（1）如图1，若AB＝2，∠C＝30°，AD⊥BC，求CD的长；
（2）如图2，若∠ADB＝45°，点N为ME上一点，MN＝BC，求证：AN＝EN+CD；
（3）如图3，若∠C＝30°，点D为直线BC上一动点，直线DE与直线AC交于点M，当△ADM为等腰三角形时，请直接写出此时∠CDM的度数．
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABD＝90°，AB＝BD，在BC上截取BE，使BE＝BA，过点B作BF⊥BC于B，交AD于点F．连接AE，交BD于点G，交BF于点H．
（1）已知AD＝，CD＝2，求sin∠BCD的值；
（2）求证：BH+CD＝BC．
6．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D．
（1）如图1，连接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的长；
（2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC＝DE+DF．
类型二：倍长中线
7．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．
（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；
（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．
8．已知△ABC，△DEC为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，CD＝BC，连接AE，点M是AE的中点．
（1）如图1，若点D在BC边上，连接CM，当CM＝4时，求AB的长；
（2）如图2，若点D在△ABC内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MN＝AE．
（3）如图3，若点D在AC边上，连接BD，点N是BD中点，连接MN，直接写出的值．
9．如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．
（1）如图1，若tanC＝，AE＝，AB＝EB＝2，求S△CED；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DE＝BE；
（3）如图3，在（1）的条件下，M为AB边的中点，G为AC边上一个动点，连接MG，将△AMG沿MG翻折，得到△A'MG，连接A'D，以A'D为斜边向右作等腰直角三角A'DN，连接CN，求CN的最小值．
10．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，连接AD，AD＝DC，点E为AC中点，连接BE交AD于点N，BN＝NE．
（1）如图1，若∠ANE＝90°，AE＝4，求DC的长；
（2）如图2，延长BA至点M，连接ME，AN＝ME，若∠ABC＝45°，求证：AM+NE＝AN；
（3）如图3，延长BA至点M，连接ME，ME＝3，∠ADC＝∠MEB＝90°，点N为AB中点，连接NE，将△BNE沿NE翻折得到△B′NE，点F，G分别为NE，EB′上的动点（不与端点重合），连接AF，FG，连接MG交直线AE于点H，当AF+FG取得最小值时，直接写出的值．
11．如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．
（1）如图1，若，求S△AED；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DE＝BE；
（3）如图3，在（1）的条件下，M为AB边的中点，G为AC边上一个动点，连接MG，将△AMG沿MG翻折，得到△A'MG，连接A'D，以A'D为斜边向右作等腰直角三角A'DN，连接CN，求CN的最小值．
12．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC．△CDE中，∠CDE＝90°，DC＝DE．
（1）图1中，点D是AB上一点，AB＝BC＝4，BD＝1，求CE的长；
（2）图2中，点D是AB上一点，点F是CE的中点，求证：；
（3）图3中，AB＝BC＝4，点M是BC的中点，点D是平面内一个动点，BD＝1，当∠AME的度数最大时，直接写出ME的长度．
13．如图，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC边上一点，连接BE，过E作ED⊥AC，交BC边于点D．
（1）如图1，连接AD，若CE＝2，BD＝3，∠C＝45°，求△ADE的面积；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线交AC于点F，连接DF，若∠BDE＝∠CDF，求证：AE+DE＝BE；
（3）如图3，若∠C＝30°，将△BCE沿BE折叠，得到△BEF，且BF与AC交于点G，连接AD，DF，点E在AC边上运动的过程中，当BF⊥AC时，直接写出的值．
14．如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H．
（1）如图a，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F，求证：FA＝DE；
（2）如图b，若∠ACB＝120°时，求证：DE+AD＝2CH．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD．将AD绕点A逆时针旋转，得到AE，满足∠DAE＝∠BAC，并连接CE．
（1）如图1，∠BAC＝120°，BD＝3，CD＝9，求AD的长；
（2）如图2，∠BAC＝120°，连接BE，F为BE中点，G为CD中点，连接FG，猜想FG和CE存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）如图3，∠BAC＝135°，BC＝m，连接BE，F为BE中点，连接AF，当AF取最小值时，直接用含m的式子表示△BCE的面积．