辽宁省沈阳市2023年中考数学试卷
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2 分，共20分)
1．（2022·十堰）2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
2．（2023·沈阳）如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·沈阳）我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·沈阳）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022七下·定远期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·沈阳）某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据：
容量
人数
则双肩包容量的众数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·沈阳）下列说法正确的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
8．（2023·沈阳）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．（2023·沈阳）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2023·沈阳）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2016·平房模拟）因式分解：a3+2a2+a= ．
12．（2023·沈阳）当时，代数式的值为 ．
13．（2023·沈阳）若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
14．（2023·沈阳）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
⑴点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
⑵分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
⑶作射线交直线于点；若，则 度．
15．（2023·沈阳）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．
16．（2023·沈阳）如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．
三、解答题
17．（2023·沈阳）计算：．
18．（2023·沈阳）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用，，依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有，，的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
19．（2023·沈阳）如图，在中，，是边上的中线，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，连接、，求证：四边形是菱形．
20．（2023·沈阳）“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查问卷设置了五种选项：“艺术类”，“文学类”，“科普类”，“体育类”，“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是 度；
（4）据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜爱“科普类”图书．
21．（2023·沈阳）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．
22．（2023·沈阳）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，则的长为 ．
23．（2023·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）以线段，为邻边作 ，直线与轴交于点．
①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
24．（2023·沈阳）如图，在纸片中，，，，点为边上的一点（点不与点重合），连接，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为、，射线与射线交于点．
（1）求证：；
（2）如图，当时，的长为 ；
（3）如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接、，求的面积．
25．（2023·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设．
连接，当与相似时，求的值；
当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2的相反数是-2.
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为：.
故答案为：A.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：250000=2.5×105.
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a8÷a2=a6，故错误；
B、5ab-2ab=3ab，故错误；
C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故错误；
D、(-ab3)2=a2b6，故正确.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据完全平方公式可判断C；积的乘方，先将每一项进行乘方，然后将结果相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵x≥1，
∴1处是实心原点，且折线向右．
故答案为：A．
【分析】根据直接在数轴上画出解集即可。
6．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表格中数据可得：29L出现了21次，出现的次数最多，故众数是29L.
故答案为：C.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
7．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；随机事件；方差；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故错误；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故错误；
C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故错误；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2，S乙2=2.5，则甲组数据较稳定，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据必然事件的概念可判断A、B；根据抽样调查与普查适宜的条件可判断C；方差越小，数据越稳定，据此判断D.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可得k>0，b<0.
故答案为：A.
【分析】由图象可得：y随x的增大而增大，与y轴的交点在负半轴，据此判断.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故错误；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故错误；
C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故错误；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2，S乙2=2.5，则甲组数据较稳定，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据必然事件的概念可判断A、B；根据抽样调查与普查适宜的条件可判断C；方差越小，数据越稳定，据此判断D.
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120°，
∴∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∴==2π.
故答案为：C.
【分析】由圆内接四边形的性质可得∠B+∠D=180°，结合∠D的度数可得∠B的度数，由圆周角定理可得∠AOC=2∠B，然后利用弧长公式进行计算.
11．【答案】a（a+1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3+2a2+a，
=a（a2+2a+1），…（提取公因式）
=a（a+1）2．…（完全平方公式）
故答案为：a（a+1）2．
【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
12．【答案】2
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：2(a+2b)-(3a+5b)+5=2a+4b-3a-5b+5=-a-b+5=-(a+b)+5=-3+5=2.
故答案为：2.
【分析】首先去括号，然后合并同类项可得原式=-(a+b)+5，接下来将a+b=3代入计算即可.
13．【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵-2<-1，
∴y1>y2.
故答案为：>.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
14．【答案】58
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG.
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGF=29°，
∴∠BEF=2∠BEG=58°.
故答案为：58.
【分析】由作图可得：EG平分∠BEF，则∠BEF=2∠BEG，根据平行线的性质可得∠BEG=∠EGF=29°，据此求解.
15．【答案】15
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，面积为S，由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450，
∴当x=15时，羊圈的面积最大.
故答案为：15.
【分析】设AB=x，面积为S，则BC=(60-2x)，根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x)，然后根据二次函数的性质进行解答.
16．【答案】或
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当点D在线段AC上时，连接OC，过O作ON⊥BC，
∵AD=1，AC=BC=3，
∴CD=AC-AD=2，
∴BD==.
∵点O是线段BD的中点，
∴OC=OB=OD=BD=.
∵ON⊥BC，
∴CN=BN=BC=.
∵DE∥AB，
∴∠COE=∠A，∠CBA=∠CED=45°，
∴CE=CD=2，
∴NE=2-=.
∵ON==1，
∴OE==.
当点D在CA的延长线上时，则CD=AD+AC=4，
∵O是BD的中点，∠BCD=90°，
∴OC=OB=OD=BD.
∵ON⊥BC，
∴CN=BN=BC=.
∵OB=OD，
∴ON=CD=2.
∵DE∥AB，
∴∠CBA=∠CED=45°，∠CAB=∠COE，
∴CE=CD=4，
∴NE=4-=，
∴OE==.
故答案为：或.
【分析】当点D在线段AC上时，连接OC，过O作ON⊥BC，由已知条件可得CD=AC-AD=2，根据勾股定理可得BD的值，由直角三角形斜边上中线的性质可得OC=OB=OD=BD=，根据等腰三角形的性质可得CN=BN=BC=，由平行线的性质可得∠COE=∠A，∠CBA=∠CED=45°，则CE=CD=2，然后求出NE、利用勾股定理可得ON、OE；当点D在CA的延长线上时，同理进行解答.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值可得原式=1+2+9-4×，然后计算乘法，再根据有理数的加减法法则进行计算.
18．【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有种，
所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】画出树状图，找出总情况数以及小明和小梅抽到同一类比赛内容的情况数，然后根据概率公式进行计算.
19．【答案】证明：，是边上的中线，
垂直平分，
，，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由题意可得AD垂直平分BC，则EB=EC，FB=FC，BD=CD，由平行线的性质可得∠BED=∠CFD，∠EBD=∠FCD，利用AAS证明△EBD≌△FCD，得到BE=FC，进而推出EB=BF=FC=EC，然后根据菱形的判定定理进行证明.
20．【答案】（1）100
（2）类的人数为：名，
补全条形统计图如下：
；
（3）36
（4）（名），
答：估计该校名学生中，大约有名学生最喜爱“科普类”图书．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）20÷20%=100.
故答案为：100.
（3）10÷100×360°=36°.
故答案为：36.
【分析】（1）利用B的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数可求出D类的人数，据此可补全条形统计图；
（3）利用A类的人数除以总人数，然后乘以360°即可；
（4）利用C类的人数除以调查的总人数，然后乘以1800即可.
21．【答案】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：乙每小时加工个这种零件．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设乙每小时加工x个这种零件，则甲每小时加工(x+2)个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间为，乙加工20个这种零件所用的时间为，然后根据时间相等建立方程，求解即可.
22．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
为的直径，
是的切线；
（2）8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）∵tanE=，
∴.
设DB=x，则BE=2x，
∴BC=BE=2x，AD=AB-BD=10-x.
∵AC=AD，
∴AC=10-x.
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴(10-x)2+(2x)2=102，
解得x=0（舍去）或x=4，
∴BE=2x=8.
故答案为：8.
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ACD=∠ADC，由对顶角的性质可得∠ADC=∠BDE，则∠ACD=∠BDE，由等腰三角形的性质可得∠BCD=∠E，结合∠ACD+∠BCD=90°可得∠BDE+∠E=90°，利用内角和定理求出∠DBE的度数，据此证明；
（2）根据三角函数的概念可设DB=x，则BE=2x，BC=BE=2x，AC=AD=10-x，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，代入求解可得x的值，进而可得BE.
23．【答案】（1）点在直线上，
，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）①点在直线上，且的横坐标为，
的纵坐标为：，
点在直线上，且点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
，
点，线段的长度为，
，
，
，
即；
②的面积为，
，
即，
解得，
由①知，，
，
解得，
即的值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）将C（6，a）代入y=x-中求出a的值，得到点C的坐标，然后将A、C的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线AB的解析式；
（2）①由题意可得M（m，m+6），N（m，m-），表示出MN，易得|CQ|=l+，然后根据MN=CQ就可得到l与m的关系式；
②由三角形的面积公式可得EQ的值，然后代入①的关系式中求解可得m的值.
24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠性质可知，，
，
，
，
；
（2）
（3）解：如图，作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
在中，，，
，
在中，，
由（1）可知：，
，
，
又纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：（2）作AG⊥GB，交CB的延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABG=∠DAB=60°，∠FEG=180°-∠F=90°，
∴AG=AB·sin∠ABG=10×=，四边形AGEF为矩形.
由（1）得AF=EF，
∴矩形AGEF为正方形，
∴AF=AG=，
∴DF=AF-AD=-6.
故答案为：-6.
【分析】（1）由平行四边形以及平行线的性质可得∠FAE+∠AEC=180°，由折叠可得∠AEC′=∠AEC，则∠FAE+∠AEC′=180°，由邻补角的性质可得∠AEF+∠AEC′=180°，则∠FAE=∠AEF，据此证明；
（2）作AG⊥GB，交CB的延长线于点G，由平行四边形以及平行线的性质可得∠ABG=∠DAB=60°，∠FEG=180°-∠F=90°，由三角函数的概念可得AG的值，由（1）得AF=EF，推出四边形AGEF为正方形，得到AF=AG，然后根据DF=AF-AD进行计算；
（3） 作AQ⊥CB，交CB的延长线于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延长线于G，作HR⊥MT于R，由平行四边形的性质可得AB=CD=10，AD=BC=6，AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ABQ=∠DAB=60°，由三角函数的概念可得BQ、AQ，然后求出EQ、AE，由（1）可得AE=EF，结合等腰三角形的性质可得AM=EM=AE=，由折叠可得HM=MN，由平行线的性质可得∠DAE=∠AEQ，结合三角函数的概念可得AT、MT，然后求出DT， 同理可得GT、MG、GR的值，易得∠FMT=∠AEQ，结合三角函数的概念可设HR=k，RM=9k，由GR+RM=MG可得k的值，据此可得HR，然后求出MN，再根据三角形的面积公式进行计算.
25．【答案】（1）二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，
解得：
此抛物线的解析式为
（2）令，则
解得：或，
∴
．
∵，
∴
四边形为矩形，
∴
∴
∴
Ⅰ当时，
∴
∴
∴
Ⅱ当时，
∴
∴
∴
综上，当与相似时，的值为或；
点与点重合，
∴
∴
∴
四边形为平行四边形，
在和中，
Ⅰ、当 所在直线与 垂直时，如图，
，，三点在一条直线上，
过点 作 轴于点 ， 则
∴此时点 的横坐标为
Ⅱ当所在直线与垂直时，如图，
，
，
设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，．
，
，
．
，
．
，
，
此时点的横坐标为；
Ⅲ当所在直线与垂直时，如图，
，，
，
，，三点在一条直线上，则，
过点作，交的延长线于点，
，
此时点的横坐标为．
综上，当的边与线段垂直时，点的横坐标为或或．
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将A（0，2）、B（，0）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）①令y=0，求出x的值，可得点C的坐标，然后求出OC的值，由题意可得OG=2a，OD=a，根据矩形的性质可得EF=OD=a，FD=OE=a，表示出点E、D、F、G的坐标，然后求出CD，接下来分△GOD∽△FDC、△GOD∽△CDF，利用相似三角形的性质就可求出a的值；
②由题意可得OD=OC=，则OEDO=2，OG=2OE=4，EF=OD=，DF=OE=2，EG=OE=2，EG=DF=2，推出四边形GEDF为平行四边形，得到FG=DE=4，易得∠OGD=∠FGH，利用SAS证明△GOD≌△GFH，得到FH=OD=，∠GOD=∠GFH=90°，由勾股定理可得GH，当G′F 所在直线与DE垂直时，由平行线的性质可得∠GFH=∠G′FH′=90°，过点H′作H′K⊥y轴于点K， 则 ∠KH′G=∠EFG=30°，利用三角函数的概念可得H′K，据此解答；当G′H′所在直线与DE垂直时，设GF的延长线交G′H′于点M，过点M作MP⊥EF，交EF的延长线于点P，过点H′作H′N⊥MP，交PM的延长线于点N，由等面积法可得FM，利用三角函数的概念可得FP，然后求出PE、H′M、H′N，进而可得点H′的横坐标；当FH所在直线与DE垂直时，过点H′作H′L⊥DF，交FD的延长线于点L，由三角函数的概念可得H′L，据此可得点H′的横坐标.
1 / 1辽宁省沈阳市2023年中考数学试卷
一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2 分，共20分)
1．（2022·十堰）2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2的相反数是-2.
故答案为：B.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可.
2．（2023·沈阳）如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图为：.
故答案为：A.
【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.
3．（2023·沈阳）我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：250000=2.5×105.
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．（2023·沈阳）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a8÷a2=a6，故错误；
B、5ab-2ab=3ab，故错误；
C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故错误；
D、(-ab3)2=a2b6，故正确.
故答案为：D.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据完全平方公式可判断C；积的乘方，先将每一项进行乘方，然后将结果相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断D.
5．（2022七下·定远期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵x≥1，
∴1处是实心原点，且折线向右．
故答案为：A．
【分析】根据直接在数轴上画出解集即可。
6．（2023·沈阳）某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据：
容量
人数
则双肩包容量的众数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表格中数据可得：29L出现了21次，出现的次数最多，故众数是29L.
故答案为：C.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
7．（2023·沈阳）下列说法正确的是（ ）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B．抛出的篮球会下落是随机事件
C．了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；随机事件；方差；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故错误；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故错误；
C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故错误；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2，S乙2=2.5，则甲组数据较稳定，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据必然事件的概念可判断A、B；根据抽样调查与普查适宜的条件可判断C；方差越小，数据越稳定，据此判断D.
8．（2023·沈阳）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可得k>0，b<0.
故答案为：A.
【分析】由图象可得：y随x的增大而增大，与y轴的交点在负半轴，据此判断.
9．（2023·沈阳）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故错误；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故错误；
C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故错误；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲2=2，S乙2=2.5，则甲组数据较稳定，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据必然事件的概念可判断A、B；根据抽样调查与普查适宜的条件可判断C；方差越小，数据越稳定，据此判断D.
10．（2023·沈阳）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120°，
∴∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∴==2π.
故答案为：C.
【分析】由圆内接四边形的性质可得∠B+∠D=180°，结合∠D的度数可得∠B的度数，由圆周角定理可得∠AOC=2∠B，然后利用弧长公式进行计算.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2016·平房模拟）因式分解：a3+2a2+a= ．
【答案】a（a+1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3+2a2+a，
=a（a2+2a+1），…（提取公因式）
=a（a+1）2．…（完全平方公式）
故答案为：a（a+1）2．
【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
12．（2023·沈阳）当时，代数式的值为 ．
【答案】2
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：2(a+2b)-(3a+5b)+5=2a+4b-3a-5b+5=-a-b+5=-(a+b)+5=-3+5=2.
故答案为：2.
【分析】首先去括号，然后合并同类项可得原式=-(a+b)+5，接下来将a+b=3代入计算即可.
13．（2023·沈阳）若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空）
【答案】＞
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小.
∵-2<-1，
∴y1>y2.
故答案为：>.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
14．（2023·沈阳）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
⑴点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
⑵分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
⑶作射线交直线于点；若，则 度．
【答案】58
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG.
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGF=29°，
∴∠BEF=2∠BEG=58°.
故答案为：58.
【分析】由作图可得：EG平分∠BEF，则∠BEF=2∠BEG，根据平行线的性质可得∠BEG=∠EGF=29°，据此求解.
15．（2023·沈阳）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．
【答案】15
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，面积为S，由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450，
∴当x=15时，羊圈的面积最大.
故答案为：15.
【分析】设AB=x，面积为S，则BC=(60-2x)，根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x)，然后根据二次函数的性质进行解答.
16．（2023·沈阳）如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．
【答案】或
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当点D在线段AC上时，连接OC，过O作ON⊥BC，
∵AD=1，AC=BC=3，
∴CD=AC-AD=2，
∴BD==.
∵点O是线段BD的中点，
∴OC=OB=OD=BD=.
∵ON⊥BC，
∴CN=BN=BC=.
∵DE∥AB，
∴∠COE=∠A，∠CBA=∠CED=45°，
∴CE=CD=2，
∴NE=2-=.
∵ON==1，
∴OE==.
当点D在CA的延长线上时，则CD=AD+AC=4，
∵O是BD的中点，∠BCD=90°，
∴OC=OB=OD=BD.
∵ON⊥BC，
∴CN=BN=BC=.
∵OB=OD，
∴ON=CD=2.
∵DE∥AB，
∴∠CBA=∠CED=45°，∠CAB=∠COE，
∴CE=CD=4，
∴NE=4-=，
∴OE==.
故答案为：或.
【分析】当点D在线段AC上时，连接OC，过O作ON⊥BC，由已知条件可得CD=AC-AD=2，根据勾股定理可得BD的值，由直角三角形斜边上中线的性质可得OC=OB=OD=BD=，根据等腰三角形的性质可得CN=BN=BC=，由平行线的性质可得∠COE=∠A，∠CBA=∠CED=45°，则CE=CD=2，然后求出NE、利用勾股定理可得ON、OE；当点D在CA的延长线上时，同理进行解答.
三、解答题
17．（2023·沈阳）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值可得原式=1+2+9-4×，然后计算乘法，再根据有理数的加减法法则进行计算.
18．（2023·沈阳）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用，，依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有，，的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有种，
所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】画出树状图，找出总情况数以及小明和小梅抽到同一类比赛内容的情况数，然后根据概率公式进行计算.
19．（2023·沈阳）如图，在中，，是边上的中线，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，连接、，求证：四边形是菱形．
【答案】证明：，是边上的中线，
垂直平分，
，，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由题意可得AD垂直平分BC，则EB=EC，FB=FC，BD=CD，由平行线的性质可得∠BED=∠CFD，∠EBD=∠FCD，利用AAS证明△EBD≌△FCD，得到BE=FC，进而推出EB=BF=FC=EC，然后根据菱形的判定定理进行证明.
20．（2023·沈阳）“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查问卷设置了五种选项：“艺术类”，“文学类”，“科普类”，“体育类”，“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是 度；
（4）据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜爱“科普类”图书．
【答案】（1）100
（2）类的人数为：名，
补全条形统计图如下：
；
（3）36
（4）（名），
答：估计该校名学生中，大约有名学生最喜爱“科普类”图书．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）20÷20%=100.
故答案为：100.
（3）10÷100×360°=36°.
故答案为：36.
【分析】（1）利用B的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数可求出D类的人数，据此可补全条形统计图；
（3）利用A类的人数除以总人数，然后乘以360°即可；
（4）利用C类的人数除以调查的总人数，然后乘以1800即可.
21．（2023·沈阳）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．
【答案】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：乙每小时加工个这种零件．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设乙每小时加工x个这种零件，则甲每小时加工(x+2)个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间为，乙加工20个这种零件所用的时间为，然后根据时间相等建立方程，求解即可.
22．（2023·沈阳）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，则的长为 ．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
为的直径，
是的切线；
（2）8
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）∵tanE=，
∴.
设DB=x，则BE=2x，
∴BC=BE=2x，AD=AB-BD=10-x.
∵AC=AD，
∴AC=10-x.
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴(10-x)2+(2x)2=102，
解得x=0（舍去）或x=4，
∴BE=2x=8.
故答案为：8.
【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ACD=∠ADC，由对顶角的性质可得∠ADC=∠BDE，则∠ACD=∠BDE，由等腰三角形的性质可得∠BCD=∠E，结合∠ACD+∠BCD=90°可得∠BDE+∠E=90°，利用内角和定理求出∠DBE的度数，据此证明；
（2）根据三角函数的概念可设DB=x，则BE=2x，BC=BE=2x，AC=AD=10-x，由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2，代入求解可得x的值，进而可得BE.
23．（2023·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）以线段，为邻边作 ，直线与轴交于点．
①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
【答案】（1）点在直线上，
，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）①点在直线上，且的横坐标为，
的纵坐标为：，
点在直线上，且点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
，
点，线段的长度为，
，
，
，
即；
②的面积为，
，
即，
解得，
由①知，，
，
解得，
即的值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）将C（6，a）代入y=x-中求出a的值，得到点C的坐标，然后将A、C的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线AB的解析式；
（2）①由题意可得M（m，m+6），N（m，m-），表示出MN，易得|CQ|=l+，然后根据MN=CQ就可得到l与m的关系式；
②由三角形的面积公式可得EQ的值，然后代入①的关系式中求解可得m的值.
24．（2023·沈阳）如图，在纸片中，，，，点为边上的一点（点不与点重合），连接，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为、，射线与射线交于点．
（1）求证：；
（2）如图，当时，的长为 ；
（3）如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接、，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠性质可知，，
，
，
，
；
（2）
（3）解：如图，作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
在中，，，
，
在中，，
由（1）可知：，
，
，
又纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：（2）作AG⊥GB，交CB的延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABG=∠DAB=60°，∠FEG=180°-∠F=90°，
∴AG=AB·sin∠ABG=10×=，四边形AGEF为矩形.
由（1）得AF=EF，
∴矩形AGEF为正方形，
∴AF=AG=，
∴DF=AF-AD=-6.
故答案为：-6.
【分析】（1）由平行四边形以及平行线的性质可得∠FAE+∠AEC=180°，由折叠可得∠AEC′=∠AEC，则∠FAE+∠AEC′=180°，由邻补角的性质可得∠AEF+∠AEC′=180°，则∠FAE=∠AEF，据此证明；
（2）作AG⊥GB，交CB的延长线于点G，由平行四边形以及平行线的性质可得∠ABG=∠DAB=60°，∠FEG=180°-∠F=90°，由三角函数的概念可得AG的值，由（1）得AF=EF，推出四边形AGEF为正方形，得到AF=AG，然后根据DF=AF-AD进行计算；
（3） 作AQ⊥CB，交CB的延长线于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延长线于G，作HR⊥MT于R，由平行四边形的性质可得AB=CD=10，AD=BC=6，AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ABQ=∠DAB=60°，由三角函数的概念可得BQ、AQ，然后求出EQ、AE，由（1）可得AE=EF，结合等腰三角形的性质可得AM=EM=AE=，由折叠可得HM=MN，由平行线的性质可得∠DAE=∠AEQ，结合三角函数的概念可得AT、MT，然后求出DT， 同理可得GT、MG、GR的值，易得∠FMT=∠AEQ，结合三角函数的概念可设HR=k，RM=9k，由GR+RM=MG可得k的值，据此可得HR，然后求出MN，再根据三角形的面积公式进行计算.
25．（2023·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设．
连接，当与相似时，求的值；
当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标．
【答案】（1）二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，
解得：
此抛物线的解析式为
（2）令，则
解得：或，
∴
．
∵，
∴
四边形为矩形，
∴
∴
∴
Ⅰ当时，
∴
∴
∴
Ⅱ当时，
∴
∴
∴
综上，当与相似时，的值为或；
点与点重合，
∴
∴
∴
四边形为平行四边形，
在和中，
Ⅰ、当 所在直线与 垂直时，如图，
，，三点在一条直线上，
过点 作 轴于点 ， 则
∴此时点 的横坐标为
Ⅱ当所在直线与垂直时，如图，
，
，
设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，．
，
，
．
，
．
，
，
此时点的横坐标为；
Ⅲ当所在直线与垂直时，如图，
，，
，
，，三点在一条直线上，则，
过点作，交的延长线于点，
，
此时点的横坐标为．
综上，当的边与线段垂直时，点的横坐标为或或．
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将A（0，2）、B（，0）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得二次函数的表达式；
（2）①令y=0，求出x的值，可得点C的坐标，然后求出OC的值，由题意可得OG=2a，OD=a，根据矩形的性质可得EF=OD=a，FD=OE=a，表示出点E、D、F、G的坐标，然后求出CD，接下来分△GOD∽△FDC、△GOD∽△CDF，利用相似三角形的性质就可求出a的值；
②由题意可得OD=OC=，则OEDO=2，OG=2OE=4，EF=OD=，DF=OE=2，EG=OE=2，EG=DF=2，推出四边形GEDF为平行四边形，得到FG=DE=4，易得∠OGD=∠FGH，利用SAS证明△GOD≌△GFH，得到FH=OD=，∠GOD=∠GFH=90°，由勾股定理可得GH，当G′F 所在直线与DE垂直时，由平行线的性质可得∠GFH=∠G′FH′=90°，过点H′作H′K⊥y轴于点K， 则 ∠KH′G=∠EFG=30°，利用三角函数的概念可得H′K，据此解答；当G′H′所在直线与DE垂直时，设GF的延长线交G′H′于点M，过点M作MP⊥EF，交EF的延长线于点P，过点H′作H′N⊥MP，交PM的延长线于点N，由等面积法可得FM，利用三角函数的概念可得FP，然后求出PE、H′M、H′N，进而可得点H′的横坐标；当FH所在直线与DE垂直时，过点H′作H′L⊥DF，交FD的延长线于点L，由三角函数的概念可得H′L，据此可得点H′的横坐标.
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