山西省浑源中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

山西省浑源中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2、设函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数a取值范围为( )
A. B. C. D.
4、已知平面向量，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5、在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为( )
A. B. C.3 D.4
6、三面角是立体几何的重要概念之一.三面角是指由有公共端点P且不共面的三条射线PA，PB，PC以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面APC与平面BPC所成夹角为，则.现已知三棱锥，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7、已知函数在处取得极大值10，则的值为( )
A. B.或2 C.2 D.
8、设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P,Q两点．若，则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
9、若函数的最小值是-1，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、已知椭圆的左右焦点分别为，，点M是椭圆C上任意一点，且的取值范围为，当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为( )
A.1 B. C. D.
11、设随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
12、三位同学获得本年度数学竞赛前三名，老师告知他们如下信息：
①甲是第三名；
②乙不是第一名；
③丙不是第三名，并告知他们以上3条信息有且只有1条是正确信息，则该三位同学的数学竞赛成绩从高到低的排序为( )
A.甲,乙,丙 B.丙,乙,甲 C.乙,丙,甲 D.乙,甲,丙
二、填空题
13、已知具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程，则_______.
x 3 4 5 6
y 2.5 m 4 4.5
14、有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是_________.
15、如图，已知双曲线与过其焦点的圆相交于A，B，C，D四个点，直线AD与x轴交于点E，直线CE与双曲线交于点F，记直线AC，AF的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为_______.
16、设双曲线的左.右焦点分别为，，P为双曲线右支上一点，且，则的大小为______.
三、解答题
17、已知函数.
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间.
18、已知四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，是斜边为AP的等腰直角三角形.
(1)若时，求证：平面平面ABCD；
(2)若时，求直线PD与平面ABCD所成的角的正弦值.
19、在数列中，，.
（1）证明是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和.
20、根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：
月份x 1 2 3 4 5
不戴头盔人数y 120 100 90 75 65
（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的回归直线方程；
（2）交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系得到下表，从表中数据能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？
不戴头盔 戴头盔
伤亡 15 10
不伤亡 25 50
参考数据和公式:，，
0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
21、某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：每人从装有质地均匀.大小相同的4个黄球.4个红球的箱子中一次性地随机摸出3个球，若恰有1个红球可获得50元优惠券，恰有2个红球可获得100元优惠券，3个都是红球可获得200元优惠券，其他情况无优惠券.小王参加了公司的抽奖活动.
（1）求小王恰好摸出1个黄球的概率；
（2）设小王获得的优惠券金额为X，求X的分布列与期望.
22、已知
（1）若，求的极值；
（2）若，，，且，其中，，求证：.
参考答案
1、答案：C
解析：因为集合 ,所以. 故选: C.
2、答案：A
解析：因为 在上单调递 增,
所以由复合函数的单调性可知,,所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3、答案：D
解析：
4、答案：A
解析：由 知:
, 可得,
所以 在上的投影向量为.
故选: A.
5、答案：A
解析：
6、答案：B
解析：由题知, ,，,
平面APC与平面BPC所成夹角为,
作，平面APC,则,
由题意得 ,
，，
，
，
所以
要使三棱锥 的体积最大,则最大,
在中,由余弦定理得,
整理得,,，
即，
当且仅当，时,等号成立,
则，，
因为$
解得,
所以,
,
即，，
所以补全三棱锥成棱柱,如下图,
则四边形BCPD是菱形,
点O为其外接球的球心，即AD中点，
所以,
所以外接球半径为3,
即三棱锥外接球的表面积为.
故选:B.
7、答案：A
解析：
8、答案：A
解析：设双曲线C的焦距为, 则 则线段OF的中点为,
.
则以OF为直径的圆的圆心为,半径为,
所以以OF为直径的圆的方程为
即,
联立,消去二次项得
直线PQ的方程为,
圆圆心为O,半径为a,
因为O到直线PQ的距离,
所以
所以,
所以,
所以,
所以,
则,
所以双曲线的离心率为.
故选:A.
9、答案：A
解析：当 时,,
,
，，单调递减,
，，单调递
增,,
因为 的最小值为-1 ,所以当
时,,
当时,.
①若，在上单调递减, ，
,得;
②若，在上单调递减,在上单调递增,,舍去.
综上,实数m的取值范围是.
故选: B.
10、答案：B
解析：
11、答案：D
解析：因为，,所以,
即, 解得,即, 所以,
故选D.
12、答案：A
解析：若①正确，②③不正确，即甲是第三名，乙是第一名，丙是第三名，则甲丙都是第三名，矛盾；若②
正确①③不正确，即甲不是第三名，乙不是第一名，丙是第三名，则甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名；
若③正确，①②不正确，即甲不是第三名，乙是第一名，丙不是第三名，此时没有人是第三名，不符合题意
综上，甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名.故选A.
13、答案：3
解析：,所以样本中心点为:.
因为回归方程, 样本中心点在回归方程上,
所以,解得:.
故答案为:3.
14、答案：
解析：由，且，
则
，当且仅当，时等号成立且满足题 设.
故答案为:
15、答案：
解析：
16、答案：
解析：因为双曲线 ，则，，
所以，
因为P为双曲线右支上一点，所以，
又，
所以，
又 ，
由余弦定理，
即，
解得,
又，
所以.
故答案为:
17、答案：（1）
（2）的单调递增区间为，，的单调递减区间为
解析：（1）因为所以.
所以，所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为：
（2）由函数在处取得极值可知：
，即，解得：
此时，，，
当时，，
当时，，
所以符合题意.
综上，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）因，，，则有，即有，
又，且，AB,平面ABCD，
于是得平面ABCD，而平面PBC，
所以平面平面ABCD.
（2）在平面ABCD内，过B作直线垂直于AB，交直线CD于E，有，，
如图，
则为二面角的平面角，平面EBC，，于是得，
中，，则，在中，，，，
由余弦定理得，则有，
显然平面平面EBP，在平面EBP内过B作，则平面ABP，
以B为原点，分别以射线BA,BP,Bz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，,,,,，，
设平面ABCD的法向量，则，
令，得
而，设PD与平面ABCD所成的角为，
所以PD与平面ABCD所成的角的正弦值为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）答案见解析
解析：（1）由已知可得，
∴.
所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，因此，，
.
20、答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由题意知，
，，
，
所以，回归直线方程为
（2）
故有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.
21、答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：（1）记事件A：小王恰好摸出1个黄球，则
（2）由题意，得X的可能取值为0，50，100，200，
，，，
所以X的分布列为
X 0 50 100 200
P
所以.
22、答案：（1）当时，取得极大值，极大值为；无极小值
（2）证明见解析
解析：（1）由题：，，
令，解得，列表如图：
x 3
0
单调递增 单调递减
故当时，取得极大值，
极大值为；无极小值.
（2）若，则，结论成立；
若，，令，得，当时，，
故在单调递增.
要证，只需证，又，，且在单调递增，故只需证明，又因为，
故只需证明，
由，
故只需证明：
令，只需证，
，在单调递增，.证毕.