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数学
第九章 统计
9．2.2 总体百分位数的估计
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 1.数学抽象：理解百分位数的概念．
2．数学运算、数据分析：会用样本常用百分位数估计总体百分位数．
1．第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
p%
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按__________排列原始数据．
第2步，计算i＝__________．
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的________．
从小到大
n×p%
平均数
3．四分位数
第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．
1．班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？
提示：不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．
2．“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
提示：至少有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则其第75百分位数大于第25百分位数．( )
(2)若一组样本数据的第24百分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.( )
(3)在1～100这100个整数中，上四分位数是75.5.( )
√
√
√
2．下列一组数据的第25百分位数是( )
2．1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6.
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
√
3．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
√
探究点1 百分位数的计算
从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g，7.9 g．
计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
(1)排列，按照从小到大的顺序排列原始数据；
(2)计算i，计算i＝n×p%；
(3)定数，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
[提醒] 求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．
某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是________．
解析：将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.
答案：13.7，14.7，15.3
探究点2 频率分布直方图中的百分位数
下图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，求该班的模拟考试成绩的80%分位数．(结果保留两位小数)
【解】 由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，
分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100%＝92.5%，
因此，80%分位数一定位于[120，130)内．
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]，则频率分布直方图中a的值为________，该企业的职工对该部门评分的第80百分位数是________(结果保留两位小数).
答案：0.006 89.09
1．数据8，6，5，2，7，9，12，4，12的第40百分位数是( )
A．5 B．6
C．7.5 D．8
解析：把这组数据按照从小到大的顺序排列可得2，4，5，6，7，8，9，12，12，因为9×40%＝3.6，所以这组数据的第40百分位数是第4个数据6.
√
2．以下数据为参加某数学竞赛的15人的成绩：
78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是( )
A．90 B．90.5
C．91 D．91.5
√
3．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种，种植了25亩，所得亩产量数据(单位：千克)如下：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454.样本数据的30%分位数为________．
解析：将这25个数按从小到大排列为357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454.由30%×25＝7.5，所以样本数据的30%分位数为第8个数字，即399.
答案：399
4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示．
估计样本数据的50%分位数为________．
答案：62.5
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数学
第九章 统计
9．2 用样本估计总体
9．2.1 总体取值规律的估计
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性．
2．结合实例，能用样本估计总体的取值规律． 数据分析：利用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计
频率分布直方图的画法
极差
组距
左闭右开
差
合计
样本量
1
频率
1
1．为什么要对样本数据进行分组？
提示：不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征．
2．频数分布表与频率分布直方图有什么不同？
提示：频数分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)决定组距和组数时，组数越多越好．( )
(2)频率分布直方图的纵坐标是频率．( )
(3)频率分布直方图中各小矩形的面积之和可以不为1.( )
×
×
×
2．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为( )
A．10组 B．9组
C．8组 D．7组
解析：极差为140－51＝89，而组距为10，故应将样本数据分为9组．
√
3．把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到( )
A．79% B．80%
C．18% D．82%
√
4．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15，20]内的频数为( )
A．20 B．30
C．40 D．50
√
探究点1 频率分布直方图的绘制
从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：
[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图．
【解】 (1)频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 累积频率
[40，50) 2 0.04 0.04
[50，60) 3 0.06 0.1
[60，70) 10 0.2 0.3
[70，80) 15 0.3 0.6
[80，90) 12 0.24 0.84
[90，100] 8 0.16 1.00
合计 50 1.00
(2)频率分布直方图如图所示．
绘制频率分布直方图的注意事项
(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．
(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多．
(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．
(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．
(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．
为了了解学校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为60的样本(60名男生的身高)，分组情况如下(单位：cm)：
(1)求出表中a，m的值；
(2)画出频率分布直方图．
分组 [147.5，155．5) [155.5，163．5) [163.5，171．5) [171.5，179．5]
频数 6 21 27 m
频率 a 0.1
(2)作出频率分布直方图如图所示．
探究点2 频率分布直方图的应用
为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
1．(变设问)在本例条件下，求样本中不达标的学生人数是多少？
解：由(1)(2)知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12.
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18.
2．(变设问)在本例条件下，求第三小组的频数是多少？
(2021·武汉市期末)为了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了n名学生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间(单位：时)都在[10，50]内，其中锻炼时间在[30，50]内的学生有134人，频率分布直方图如图所示，则n＝( )
A．150 B．160
C．180 D．200
√
探究点3 统计图的应用
[问题探究]
常用的统计图有哪几种？这些统计图对于数据分析能够起到什么作用？
探究感悟：统计图有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图；从统计图中可以获取有用的数据信息，并能直观、准确地理解相关的结果．
随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了解他的好友的运动情况，随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日这天行走的情况分为四个类别：A(0～5 000步)(说明：“0～5 000”表示大于等于0，小于等于5 000，下同)，B(5 001～10 000步)，C(10 001～15 000步)，D(15 000步以上)，统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了多少位好友？
(2)已知A类别好友人数是D类别好友人数的5倍．
①请补全条形图①；
②扇形图②中，A类对应扇形的圆心角为多少？
③若小陈共调查了150人，请根据调查数据计算其中有多少位好友在6月1日这天行走的步数超过10 000步．
【解】 (1)本次调查的好友人数为6÷20%＝30.
条形图、扇形图和折线图的区别与联系
统计图 区别 联系
条形图 (1)直观反映数据分布的大致情况；
(2)清晰地表示各个区间的具体数目；
(3)会丢失数据的部分信息 在同一组数据的不同统计图表中，计算出相应组的频数、频率应该相等
扇形图 (1)清楚地看出数据分布的总体趋势及各部分所占总体的百分比；
(2)丢失了原来的具体数据
折线图 (1)表示数据的多少和数量增减变化情况；
(2)制作过程类似于函数图象的画法，侧重体现数据的变化规律
1．(多选)某网店2020年全年的月收支数据如图所示，则针对2020年这一年的收支情况，下列说法正确的是( )
A．月收入的极差为60万元
B．7月份的利润最大
C．这12个月利润的平均数在30万元以上
D．这一年的总利润超过400万元
√
√
√
2．如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3 000人，根据统计图计算该校共捐款________元．
解析：由题图，得高一人数为3 000×32%＝960，捐款数是960×15＝14 400(元)；
高二人数为3 000×33%＝990，捐款数是990×13＝12 870(元)；
高三人数为3 000×35%＝1 050，捐款数是1 050×10＝10 500(元).
所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元).
答案：37 770
1．关于频率分布表，下列叙述中正确的是( )
A．从频率分布表可以看出样本数据相对于平均数的波动大小
B．频数是指落在各个小组内的数据
C．每小组的频数与样本量之比是这个小组的频率
D．组数是样本平均数除以组距
√
解析：对于A选项，频率分布表使样本数据被妥善整理，从而以更简洁的数据形态呈现，无法通过频率分布表看出数据相对于平均数的波动情况；对于B选项，频数是指落在各个小组内的数据的个数；对于C选项，每小组的频数与样本量之比等于这个小组的频率，C正确；对于D选项，组数一般由样本数据的极差除以组距得到．
2．已知统计某校1 000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则频率分布直方图中实数a的值是( )
A．0.020 B．0.018
C．0.025 D．0.03
√
解析：由频率分布直方图得，10×(0.005＋0.015＋a＋0.035＋0.015＋0.010)＝1，解得a＝0.020.故选A.
3．(多选)某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等奖18元、二等奖8元、三等奖4元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法正确的是( )
A．获得参与奖的人数最多
B．各个奖项中参与奖的总费用最高
C．购买每件奖品费用的平均数为4元
D．购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍
√
√
√
解析：设全班人数为a.由扇形图可知，一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，则参与奖占55%，获得参与奖的人数最多，故A正确；各奖项的费用为一等奖5%a×18＝0.9a，二等奖10%a×8＝0.8a，三等奖30%a×4＝1.2a，参与奖55%a×2＝1.1a，可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故B错误；平均费用为5%×18＋10%×8＋30%×4＋55%×2＝4(元)，故C正确；一等奖奖品件数为5%a，二等奖奖品件数为10%a，三等奖奖品件数为30%a，故D正确．
4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，约有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的约有0.3×100＝30(根).
答案：30
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第九章 统计
9．2.4 总体离散程度的估计
01
预习案 自主学习
02
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03
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04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义． 1.数学抽象：辨析方差、标准差的含义．
2．数学运算、数据分析：利用标准差、方差估计总体离散程度．
1．极差与“平均距离”
(1)极差
一种简单的度量______________的方法就是用极差．极差越大，波动范围越大．
数据离散程度
平均数
2．方差和标准差
(1)一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为__________________＝________________，
标准差为 __________________．
(4)标准差的意义
标准差刻画了数据的__________或__________，标准差越大，数据的离散程度越____；标准差越小，数据的离散程度越____．
离散程度
波动幅度
大
小
标准差与数据的离散程度有何关系？
提示：标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度．标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
×
√
√
2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( )
A．平均数 B．中位数
C．方差 D．众数
√
3．(多选)下列说法中正确的是( )
A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
√
√
√
解析：由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，A，C，D正确．
√
√
方差和标准差的算法
√
探究点2 分层随机抽样的方差
甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
某市教育部门采用分层随机抽样的方法从甲、乙、丙三个学校选取了100名学生的某次考试数学成绩(单位：分)，并制成如下表格：
试估计这次考试数学成绩的平均数与方差．
学生数 平均数 方差
甲 40 98 10
乙 30 92 12
丙 30 95 15
可估这次考试数学成绩的平均数为95.3分，方差为18.31.
探究点3 数据的数字特征的综合应用
[问题探究]
对一组数据进行统计分析，应该从哪几个方面进行？
探究感悟：用平均数反映数据的平均水平，用众数反映数据的最大集中点，用中位数反映数据的集中趋势和一般水平，用标准差或方差反映数据的离散程度．
平均数及方差、标准差的作用
(1)平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度．
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为(单位：cm)：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
√
解析：由题表中数据可知，丙的平均成绩最高，且方差最小，说明技术稳定，且成绩好．
√
√
4．某校为了解高三年级学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，利用分层随机抽样分别抽取50名男生和30名女生，测量他们的身高，所得数据如下：
性别 人数 平均数(cm) 方差
男生 50 174 191
女生 30 162 110
试估计该校高三年级学生身高的平均数和方差．
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第九章 统计
9．2.3 总体集中趋势的估计
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数).
2．理解集中趋势参数的统计含义． 1.数学抽象：辨析众数、中位数、平均数的含义．
2．数学运算、数据分析：利用样本的数字特征估计总体的数字特征．
1．众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
2．众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大
1．中位数一定是样本数据中的一个数吗？
提示：不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则中间两个数据的平均数是中位数．
2．一组数据的众数一定唯一吗？
提示：不一定，数据的众数可能有一个，也可能有多个．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平均数不一定是原数据中的数．( )
(2)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．( )
√
×
2．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A．14，14 B．12，14
C．14，15.5 D．12，15.5
3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
答案：6
√
探究点1 众数、中位数、平均数的计算
在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
分别求这17名运动员成绩的众数、中位数与平均数．
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
【解】 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 m．题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70 m.
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
[提醒] 如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．
贵阳地铁1号线上某趟车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的众数、中位数、平均数的和为( )
A．170 B．165
C．160 D．150
解析：数据70，60，60，50，60，40，40，30，30，10的众数是60，中位数是45，平均数是45，故众数、中位数、平均数的和为150，故选D.
√
(2021·长沙市雨花区期中)据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数(众数)偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响较大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
高二(2)班有男生27名，女生21名，在一次物理测试中，男生的平均分是82分，中位数是75分，女生的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测试全班的平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少名；
(3)男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
(2)因为男生的中位数是75分，
所以至少有14人得分不超过75分．
又因为女生的中位数是80分，
所以至少有11人得分不超过80分．
所以全班至少有25人成绩在80分以下(含80分).
(3)男生的平均分与中位数的差别较大，说明男生成绩两极分化现象严重，高分的和低分相差较大．
探究点3 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
[问题探究]
在频率分布直方图中，如何确定众数和中位数？
探究感悟：在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据；中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
(2)设中位数为x，由于前三个小矩形的面积之和为(0.005＋0.015＋0.020)×10＝0.4，第四个小矩形的面积为0.030×10＝0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个小矩形内，得0.1＝0.030(x－70)，解得x≈73.3.故这次测试数学成绩的中位数为73.3.
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到的频率分布直方图如图，则：
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是______；
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为______；
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______.
解析：(1)在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13 (2)62.5 (3)64
1．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是( )
A．众数 B．中位数
C．平均数 D．都不会
解析：众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．
√
2．已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为( )
A．5 B．6
C．4 D．5.5
√
3．某班全体学生参加物理测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是( )
A．70分 B．75分
C．68分 D．66分
√
解析：平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标的和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).
5．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
请做：应用案 巩固提升
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