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11.1.1《三角形的边》
重难点题型专项练习
考查题型一 三角形的概念
典例1．（2020秋·浙江宁波·八年级校考期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。
变式1-1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，得出正确选项．
【详解】解：因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，
所以A，C，D错误，只有B符合，
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是三角形的定义，解题关键是准确理解掌握三角形定义．
变式1-2．一位同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】三角形是由三条线段首位顺次连接而成的图形.
【详解】解：根据三角形的定义，
A选项不符合三角形的定义；
B选项符合三角形的定义；
C选项不符合三角形的定义；
D选项不符合三角形的定义；
故选B.
【点睛】本题主要考查三角形的定义，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的定义.
变式1-3．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的定义判断即可．
【详解】三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义考查，准确理解是解题的关键．
考查题型二 判断三角形的个数
典例2．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第四中学校考期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以AB为边的三角形．
【详解】解：以AB为边的三角形的有△ABC，△ABD，△ABF，△ABE，一共有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．
变式2-1．如图，图中的三角形共有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形及三角形的定义查找即可，注意以一条边为基础依次查找．
【详解】根据图形依次查找可得：△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△DCE，共5个三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；熟练掌握定义是解题关键．
变式2-2．（2021秋·福建福州·八年级统考期中）如图，以线段为边的三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据三角形的定义(由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形)找出图中的三角形．
【详解】解：以BC为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的定义.注意:题目要求找“图中以BC为边的三角形的个数”,而不是找“图中三角形的个数”．
变式2-3．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据三角形的定义可直接进行解答．
【详解】解：由图可得：
三角形有：△ABC、△ABD、△ADC，所以三角形的个数为3个；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键．
考查题型三 三角形的分类
典例3．（2022秋·河北邢台·八年级校考期中）如图表示三角形的分类，则表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
【答案】D
【分析】根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键．
变式3-1．（2020秋·贵州六盘水·八年级统考期中）将一个直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
【答案】B
【分析】因为直角三角形三边扩大同样的倍数，而角的度数不会变，所以得到的新的三角形还是直角三角形．
【详解】解：因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形还是直角三角形；
故选B．
【点睛】本题主要考查“角的度数和它的两边的长短无关”的知识点．
变式3-2．（2021秋·河北沧州·八年级统考期中）下图是钝角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，依次进行判断即可．
【详解】解：依据钝角三角形的定义：有一个角是钝角的三角形为钝角三角形，
选项中只有B选项中的三角形含有钝角，
∴B为钝角三角形，
故选：B．
【点睛】题目主要考查钝角三角形的定义，理解定义是解题关键．
变式3-3．（2020秋·江西南昌·八年级统考期中）中，已知：，，则中按角分类是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可求得∠C的度数，再判断△ABC的分类．
【详解】∵∠A＝40°，∠B＝45°，
∴∠C＝180° 40° 45°＝95°，
∴△ABC为钝角三角形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
考查题型四 构成三角形的条件
典例4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）下列各组长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．3，4，7
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系判断即可．
【详解】A. ，能组成三角形；
B. ，不能组成三角形；
C. ，不能组成三角形；
D．，不能组成三角形；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，一般判断三条线段能否组成一个三角形只需要看两条短线段的和是否大于最长线段．
变式4-1．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）若下列各组值都代表线段的长度，则三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（ ）
A．3，3，4 B．4，9，5 C．5，18，8 D．9，15，3
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、，所以能构成三角形，故符合题意；
B、，所以不能构成三角形，故不符合题意；
C、，所以不能构成三角形，故不符合题意
D、，所以不能构成三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．
变式4-2．（2023秋·河南商丘·八年级统考期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，6，10 C．1，1，3 D．3，4，9
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：A、，能组成三角形，故本选项符合题意；
B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
变式4-3．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．3，3，6 C．2，3，14 D．1，2，3
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断即可．
【详解】A、，能构成三角形，符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，不能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，注意用两条较短的线段之和与最长的线段作比较，如果大于最长的线段就能组成三角形．
考查题型五 确定第三边的取值范围
典例5．（2022秋·广东惠州·八年级统考期中）已知三角形的两边长分别是2和5，则第三边长c的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是2和5，
∴第三边长c的取值范围是，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．
变式5-1．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知三角形的两边为2和3，则第三边a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
变式5-2．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）已知三角形的三边长分别是7、10、x，则x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边可得答案．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
变式5-3．（2023秋·福建莆田·八年级期末）三角形三边长为6、8、x，则x的取值范围是_____．
【答案】/
【分析】已知三角形的两边长分别为6和8，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围．
【详解】解：由三角形三边关系定理得，
即．
的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了已知的两条边求第三边的范围，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系．
考查题型六 三角形三边关系的应用
典例6．（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，得出，，再利用绝对值的性质化简即可；
（2）将数据代入求值即可．
【详解】（1）解：∵a，b，c为三角形的三边长，
∴，，
∴
；
（2）解：当时，原式．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 ．
变式6-1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期中）已知，的三边长为．
(1)求△ABC的周长的取值范围；
(2)当△ABC的周长为偶数时，求x．
【答案】(1)的周长
(2)或
【分析】（1）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得到x的取值范围，再由周长定义得到周长的范围．
（2）根据周长的范围结合周长为偶数，得到周长的值，进而得到x的值．
【详解】（1）三角形的三边长分别为，
，即，
的周长，
即：的周长；
（2）的周长是偶数，由结果得的周长可以是或，
的值为或
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，自然数的奇偶性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
变式6-2．（2022秋·山东德州·八年级校联考期中）如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为cm．
(1)求第三边的范围；
(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
【答案】(1)7(2)20cm
【分析】（1）根据三角形的三边关系得到有关第三边的取值范围即可；
（2）根据（1）得到的取值范围确定第三边的值，从而确定三角形的周长．
【详解】（1）由三角形的三边关系得：，
即；
（2）∵第三边长的范围为，且第三边长为奇数，
∴第三边长为9，
则三角形的周长为：
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关的取值范围，难度不大．
变式6-3．（2022秋·广西崇左·八年级统考期中）已知为的三条边，则化简：．
【答案】
【分析】要化简式子的值，就要知道它们的绝对值里的数是正数还是负数，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知．
【详解】解：，，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键，难度适中．
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11.1.1《三角形的边》
重难点题型专项练习
考查题型一 三角形的概念
典例1．（2020秋·浙江宁波·八年级校考期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1-1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1-2．一位同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1-3．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
考查题型二 判断三角形的个数
典例2．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第四中学校考期中）如图，以AB为边的三角形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
变式2-1．如图，图中的三角形共有（ ）个．
A． B． C． D．
变式2-2．（2021秋·福建福州·八年级统考期中）如图，以线段为边的三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
变式2-3．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考查题型三 三角形的分类
典例3．（2022秋·河北邢台·八年级校考期中）如图表示三角形的分类，则表示的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．三边都不相等的三角形
变式3-1．（2020秋·贵州六盘水·八年级统考期中）将一个直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
变式3-2．（2021秋·河北沧州·八年级统考期中）下图是钝角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
变式3-3．（2020秋·江西南昌·八年级统考期中）中，已知：，，则中按角分类是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形
考查题型四 构成三角形的条件
典例4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）下列各组长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．3，4，7
变式4-1．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）若下列各组值都代表线段的长度，则三条线段首尾顺次相接能构成三角形的是（ ）
A．3，3，4 B．4，9，5 C．5，18，8 D．9，15，3
变式4-2．（2023秋·河南商丘·八年级统考期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，6，10 C．1，1，3 D．3，4，9
变式4-3．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．3，3，6 C．2，3，14 D．1，2，3
考查题型五 确定第三边的取值范围
典例5．（2022秋·广东惠州·八年级统考期中）已知三角形的两边长分别是2和5，则第三边长c的取值范围是___________．
变式5-1．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知三角形的两边为2和3，则第三边a的取值范围是______．
变式5-2．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）已知三角形的三边长分别是7、10、x，则x的取值范围是______．
变式5-3．（2023秋·福建莆田·八年级期末）三角形三边长为6、8、x，则x的取值范围是_____．
考查题型六 三角形三边关系的应用
典例6．（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
变式6-1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期中）已知，的三边长为．
(1)求△ABC的周长的取值范围；
(2)当△ABC的周长为偶数时，求x．
变式6-2．（2022秋·山东德州·八年级校联考期中）如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为cm．
(1)求第三边的范围；
(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
变式6-3．（2022秋·广西崇左·八年级统考期中）已知为的三条边，则化简：．
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