2023-2024学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》同步测试题(附答案)
一、单选题(满分32分)
1.对于抛物线的说法不正确的是( )
A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标是(1,2)
C.抛物线的对称轴是直线 D.当时,y的最小值是2
2.已知点,,在函数的图象上,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中,若抛物线的顶点在坐标轴上,则m的值为( )
A. B.4 C.8 D.
4.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知抛物线经过和两点,则n的值为( )
A. B. C.2 D.4
6.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,将抛物线向上平移m个单位长度后,点A,B在新抛物线上的对应点分别为点C,D,若图中阴影部分的面积为6,则平移后新抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
7.如图为抛物线的一部分,其对称轴为直线,若其与x轴的一交点为,则由图象可知,不等式的解集是( )
A. B. C.或 D.
8.如图,抛物线与轴的一个交点坐标为,抛物线的对称轴为直线,下列结论:①;②;③方程的两根是,;④.其中结论正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(满分32分)
9.如果函数是二次函数,那么的值为 .
10.二次函数的顶点坐标为 .
11.把抛物线向右平移5个单位,再向下平移2个单位,则所得抛物线的解析式是 .
12.如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥,当水面宽时,拱顶(拱桥洞的最高点)距离水面,当水面下降时,水面的宽度为 .
13.在平面直角坐标系中,将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后,所得新函数的图象如图所示(实线部分).若直线与新函数的图象有4个公共点,则的取值范围是 .
14.若二次函数有最大值6,则的最小值为 .
15.如图所示为抛物线的图象,则一元二次方程的两根为 .
16.如图,抛物线与直线的两个交点坐标分别为,,则关于的不等式的解集为 .
三、解答题(满分56分)
17.直角三角形的一条直角边长为,两条直角边的和为,面积为,写出变量y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围,并说明这个函数是不是二次函数.
18.已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.求抛物线的解析式.
19.如图,喷泉的喷头喷出的水珠在空中形成抛物线,在抛物线各个位置上水珠的竖直高度y(单位:m)与它喷头的水平距离x(单位:m)满足函数关系式.
(1)求水珠运动过程中距离地面的最大高度;
(2)观赏的人站在距离喷头水平距离的地方,会不会恰好被喷泉喷出的水打湿?请说明理由.
20.如图,已知抛物线与y轴相交于点A,其对称轴与抛物线相交于点B,与x轴相交于点C.
(1)求的长;
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为P.若新抛物线经过原点O,且,求新抛物线对应的函数表达式.
21.苍溪独特的土壤、水分、气候组成的生态系统,成为猕猴桃的乐土,被国家誉为“红心猕猴桃第一县、红心猕猴桃之乡”.某水果店销售红心猕猴桃,平均每天可售出120箱,每箱盈利60元,春节临近,为了扩大销售,水果店决定采取适当的降价措施,经调查发现,每箱红心猕猴桃每降价5元,水果店平均每天可多售出20箱.设每箱红心猕猴桃降价x元.
(1)当时,求销售该红心猕猴桃的总利润;
(2)设每天销售该红心猕猴桃的总利润为w元.
①求w与x之间的函数解析式;
②试判断总利润能否达到8200元,如果能达到,求出此时x的值;如果达不到,求出w的最大值.
22.如图1,抛物线过点,点,与y轴交于点C.在x轴上有一动点 ,过点E作直线轴,交抛物线于点M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当时,点D是直线上的点且在第一象限内,若是以为斜边的直角三角形,求点D的坐标;
(3)如图2,连接,与交于点F,连接,和的面积分别为和,当时,求点E坐标.
参考答案
1.解:,
,开口向下,A选项正确,不符合题意;
抛物线的顶点为(1,2),B选项正确,不符合题意;
抛物线的对称轴是直线,C选项正确,不符合题意;
当时,y的最大值是2,D选项错误,符合题意;
故选:D
2.解:∵抛物线解析式为,
∴抛物线对称轴为直线,开口向上,
∴离对称轴越远函数值越大,
∵,
∴,
故选B.
3.解:由题意,抛物线与x轴只有一个公共点,
∴,
则,
故选:D.
4.解:.由抛物线开口方向可知,,由直线与轴交点可知,,故本选项不符合题意;
B.由抛物线开口方向可知,,由直线与轴交点可知,,故本选项不符合题意;
C.由抛物线开口方向可知,,由直线与轴交点可知,,故本选项符合题意;
D.由抛物线开口方向可知,,由直线与轴交点可知,,故本选项不符合题意.
故选:C.
5.解:∵抛物线经过和两点,且它们是对称点,
∴,
解得,
∴抛物线解析式为,
∴,
故选D.
6.解:当时,有,
解得:,
∴.
∵,
∴,
∴平移后新抛物线的解析式为.
故选:C.
7.解:∵抛物线的对称轴为直线,与x轴的一交点为,
∴抛物线与x轴的另一交点为,
∵当时,抛物线图象位于x轴的上方,
∴不等式的解集是.
故选:D
8.解:根据函数的对称性,抛物线与轴的另外一个交点的坐标为;
①函数对称轴在轴右侧,则,而,故,
故①正确,符合题意;
②,即,
而时,,即,
,
.
②正确,符合题意;
③由图象知,当时,的取值范围是,
③正确,符合题意;
④抛物线与轴的一个交点坐标为,抛物线的对称轴为直线,
抛物线与轴的另一个交点坐标为,
∴当时, ,
故④正确,符合题意;
故正确的有4个,
故选:D.
9.解:函数是二次函数,
,,
解得:或,
解得:,
,
故答案为:.
10.解:∵,
把二次函数化为顶点式为:;
∴顶点坐标为:;
故答案为:.
11.解:抛物线向右平移5个单位,再向下平移2个单位,则所得抛物线的解析式是,
故答案为:.
12.解:建立如图所示的平面直角坐标系,
设该抛物线的解析式为,
由题意可得,该抛物线过点,
,
解得,
该抛物线的解析式为,
当时,,
解得,,
当水面下降时,水面的宽度为,
答:当水面下降米时,水面的宽度为.
故答案为:.
13.解:原二次函数,
∴顶点,
翻折后点C对应的点为,如图,
∴当直线与新函数的图象有4个公共点,则的取值范围是,
故答案为:.
14.解:∵二次函数有最大值6,
∴设二次函数的顶点坐标为,
∵向左平移1个单位得到,
∴的顶点坐标为,
∵与关于轴对称
∴的顶点坐标为,且开口向上,
∵向上平移4个单位得到:
此时顶点坐标为,则最小值为
故答案为:
15.解∶抛物线的对称轴为∶,
由图象可知,抛物线与轴的一个交点坐标为,
抛物线与轴的另一个交点坐标为,
一元二次方程的两根为,,
故答穼为∶,
16.解:∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为,
∴抛物线在直线图象上方所对应的x的取值范围或,
即为不等式的解集.
故答案为:或.
17.解:由题意得:,
∵两条直角边的和为,
∴.
∴,
∴这个函数是二次函数.
18.解:设
把,,三点代入得:
解得:,
19.解:(1)∵,
∴顶点坐标为,
∴y的最大值为8,
∴水珠运动过程中距离地面的最大高度为8;
(2)当时,
∴不会恰好被喷泉喷出的水打湿.
20.解:(1)令,则,
∴,
∵,
∴,
∴;
(2)∵,顶点,
∴①抛物线向上平移1个单位经过原点,此时四边形是平行四边形,,
此时新抛物线对应的函数表达式为;
②抛物线关于y轴对称的抛物线为,图象经过原点,.
综上,新抛物线对应的函数表达式为或.
21.(1)解:根据题意,可知:当每箱水果降价10元时,每箱利润为(元),平均每天可售出(箱),
∴总利润为:(元);
(2)解:①由题意得:w与x之间的函数解析式为
;
②w不能达到8200元,理由如下:
,
∵,
∴当时,w取到最大值,最大值为8100,
∵,
∴w不能达到8200元,w的最大值是8100.
22.(1)解:将点,点代入得,解得,
∴抛物线的解析式为
(2)解:设点D坐标为,连接,,过点C作于H,
据勾股定理得,
在中,;
在中,,
在中,
∴,解得,,
∴点D坐标为或;
(3)解:设直线解析式为,将点代入得,解得,
∴直线解析式为,
∵,
∴ ,,,
∴ ,
∴,
∴
∵
∴整理得
解得(不合题意,舍去)
因此,点E坐标为.