2023—2024学年人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数同步测试题（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.3实际问题与二次函数》同步测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，一张边长为、的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形(如图2)，可以取得的最小整数是( )
A． B． C． D．3
4．如图四边形中，，若，则四边形的面积最大值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　）
A．2 B．4 C．2或 D．4成
6．某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为( )
A．
B．池底所在抛物线的解析式为
C．池塘最深处到水面的距离为
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的
7．如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论：①无论取何值，恒小于0：②将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；③当时，随着的增大，的值先增大后减小；④四边形的面积为18．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知等腰直角的斜边 ，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是(　　)
B．C．D．
二、填空题（满分40分）
9．一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是 ．
10．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成I区、II区两块矩形劳动实践基地（如图所示）．要使围成的两块矩形总种植面积最大，则应设计为 m．
11．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为 ．
12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽 ．
13．已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为 ．
14．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量（瓶）与每瓶销售价（元）之间满足函数关系式．当销售价格定为每瓶 元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）．
15．如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米．
16．如图，在中，．动点P从A点开始沿向B点以的速度运动（不与B点重合），动点Q从B点开始沿以的速度向C点运动（不与C重合）．如果P、Q同时出发，四边形的面积最小时，要经过 秒．
三、解答题（满分48分）
17．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？

18．为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．

(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为，求的值；
(3)为何值时，有最大值？最大值是多少？
19．一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以看作一次函数．若小球到达的最高点的坐标为．

(1)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由；
(2)求小球在飞行的过程中离斜坡的最大铅直距离．
20．小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为的点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为．弹跳球落到倾斜角为的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线的．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若斜面被坐标平面截得的截图与轴的交点的坐标为，求抛物线的对称轴．
21．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量件是售价元件的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润元的三组对应值如下表：
售价元件
周销售量件
周销售利润元
注：周销售利润周销售量售价进价
(1)求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
(2)求该商品的进价和周销售的最大利润；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是元，求的值．
参考答案
1．解：设两次的平均降价率为x，根据题意得，
，
故选：C．
2．解：根据题意得：当时，，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴足球到达距离地面最大高度时的时间t为．
故选：D
3．解：根据题意得：，
，
．
，且，
当时，随的增大而增大，
当时，可以取得最小整数，此时．
故选：B．
4．解：如图，设、交于点M，
设，
，
，
由题意，得：四边形的面积为，
即四边形的面积，
∴当时，四边形的面积最大，最大为8．
故选：C．
5．解：由可得其对称轴为：，
根据，
可知：当时，，
即有：，
解得：，
故选：C．
6．解：设解析式为，抛物线上点，，，带入抛物线解析式中得，解得，解析式为．
选项A中，，故选项A错误；
选项B中，解析式为，故选项B错误；
选项C中，池塘水深最深处为点，水面，，所以水深最深处为点P到水面的距离为3.2米，故选项C正确；
选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于轴对称可知，抛物线上点横坐标，带入解析式算得，即到水面距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误．
故选C．
7．解：① ，
，
无论取何值时，恒小于0，
故①正确；
②把代入中，
得，
解得：，
抛物线的表达式为： ，
抛物线顶点为，
的顶点为，
先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到．
故②正确；
③
，
时，的值随值的增大而减小，
故③错误；
④如图，
令，即，
解得：，
，
由 可知对称轴为直线，
当时，，
，
，即，
解得：，
，
由 ，可得对称轴为直线，
当时，，
，
，即
解得：，
，
，，
轴，轴轴，
轴，即，
，
故④正确；
综上，正确的有①②④三个，
故选：C．
8．解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；
②当时，如图，
设交于，则 ，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
故只有选项C符合题意．
故选：C．
9．解：依题意，令中，，
即，
整理得：
解得：（舍去），
∴这名男生抛实心球的成绩是，
故答案为：．
10．解：设，则，总种植面积为，根据题意得：
，
根据题意得：，
解得：，
∵，
∴当时，S随x的增大而减小，
∴当时，最大，
故答案为：4．
11．解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，
则设抛物线的解析式为：
，
代入求得：．
将值代入得到抛物线的解析式为：，
令，则．
故水管长度为．
故答案为：．
12．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和长为的一半，为2米，
抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度为米
故答案是：
13．解：当时，，解得，
由题意可知，，
当时，，
∴，
如图所示，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线与y轴的交点为点D ,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点D的坐标是，
设直线的解析式为，把 代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，，
解得或,
即点P的坐标是，
∴点P的横坐标的值为．
故答案为：
14．解：设总利润为元，每瓶销售价为元，则每瓶利润为元，
根据题意，可得 ，
∵，
∴当时，可有元．
即当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大．
故答案为：13．
15．解：建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题意得：，，，
设抛物线解析式为，
把代入解析式，得，
解得，
所以抛物线的解析式为，
当时，，
．
所以通过隧道车辆的高度限制应为米．
故答案为：．
16．解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为，则有：
．
∴当时，S取得最小值．
故答案为3．
17．解：如图，连接，分别交于点，交于点，

，
，
米，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形和四边形都是矩形，
米，，
和都是等腰直角三角形，
，
，
设矩形的面积为平方米，米，则米，米，
米，
米，
，
又，与之间的距离为2米，米，
，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米．
18．（1）解：根据题意得：,
∵，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
即，
解得，，
∵，
∴不符合题意，故舍去，
∴；
（3）解：由（1）知，
化成顶点式：，
因为开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且，
∴当时，y有最大值，且为，
此时，符合题意．
19．（1）解：小球到达的最高点的坐标为
设抛物线的表达式为，
将代入，得：，
，
抛物线的表达式为，
点的横坐标为2，
将代入中，得：，
将代入中，得：，
，
小球M能飞过这棵树；
（2）小球M在飞行的过程中离斜坡的高度
小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
20．（1）解：设抛物线的解析式为 ．
由题意得，该抛物线的顶点坐标是，
．
该抛物线经过点，
解之，得 ．
（2）由题意，设解析式为，将点代入，
，
解得：,
∴
令，
解之，得 舍去，
反弹点的坐标为．
由题意，设抛物线的解析式为
将代入抛物线的解析式，得舍去或
即抛物线的对称轴为直线
21．解：（1）依题意设，
则有
解得：
关于的函数解析式为；
（2）该商品进价是；
由题意得，
每周获得利润，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，；
即该商品的进价是元，周销售的最大利润为元；
（3）根据题意得，
，
，
对称轴，
，
抛物线的开口向下，
，
，
随的增大而增大，
当时，最大值为，
即，
解得：，
答：的值为．