第六章 平面向量及其应用 单元通关卷-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

第六章平面向量及其应用单元通关卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．的内角，，所对的边分别为，，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则为（ ）
A．3 B．24 C．21 D．4
4．已知的内角，，对边分别为，，，，，.则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，若，则点的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
6．在△ABC中，D为AC的中点，，，则( )
A．， B．，
C．， D．，
7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，则与．
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，设D是BC边的中点，且△ABC的面积为．则（ ）
A．2 B． C．－2 D．
10．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
11．下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量 共线，则必在同一直线上
B．若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反
C．若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°
D．平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量
12．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．向量在向量方向上的投影向量为
C．
D．若，则
三、填空题
13．已知向量，，若向量，则实数为______．
14．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________．
15．已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．
16．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的取值范围为______.
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B的大小；
(2)若，，解这个三角形．
18．已知的内角，，的对边分别为，，，且的外接圆半径为2.若，
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
19．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答问题.
在中，内角、、的对边分别为、、，且 _________ .
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
20．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.D是AB的中点，，.
(1)求∠A的大小；
(2)求a的值.
21．在锐角中，角的对边分别为，满足．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的值；
（3）若函数，求的取值范围．
22．分别为的内角的对边.已知.
(1)若的周长为，求；
(2)若，证明：.
参考答案：
1．B
【分析】根据数量积的坐标运算，求出，进而根据模长公式求解.
【详解】，，解得，.
故选：B.
2．D
【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程来求得.
【详解】，，即，
，
，则
故选：D
3．B
【分析】先求出的坐标，由向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】因为，，
所以，
所以，
故选：B
4．B
【分析】利用余弦定理计算可得；
【详解】解：依题意由余弦定理，
即，所以；
故选：B
5．D
【分析】设，根据平面向量的坐标运算得出，再根据，列出方程组可求出，从而得出点的坐标.
【详解】解：设，则，，
根据，得，
即，解得：，
所以点的坐标为.
故选：D.
6．B
【分析】根据几何关系和向量的线性运算即可求出m和n的值．
【详解】，
故，﹒
故选：B﹒
7．A
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由，得，
所以．
故选：A.
8．D
【详解】∵，，
∴，
∴与平行且反向．故选D．
9．C
【分析】由正弦定理可以求得，利用面积公式可求得，再根据向量的运算法则和向量的数量积公式即可求解.
【详解】依题知，
因为，
所以由正弦定理得：，
因为，所以，
所以，
所以或（舍），
解得：，所以的夹角为：.
由面积公式，
解得：，即
因为D是BC边的中点，所以,
所以，
.
故选：C.
10．A
【分析】先求出，然后利用正弦定理求出，在中，求出即可.
【详解】解：由题意可知，，
在中，由正弦定理可知：
，即.
则.
在中，，
所以.
故选：A.
11．CD
【分析】根据平面向量平行的概念和夹角的概念依次判断选项即可.
【详解】对选项A，若两个非零向量 共线，则与平行或在一条直线上，故A错误.
对选项B，若，与不平行，则满足向量与平行，与平行，故B错误.
对选项C，若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°，故C正确.
对选项D，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确.
故选：CD
12．ABD
【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项
【详解】由图可得，
对于A，，故A正确；
对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；
对于C，，
所以，故C不正确；
对于D，因为，，所以，故，故D正确.
故选：ABD
13．
【分析】根据平面向量共线向量的坐标表示，列关于的方程，解出即可.
【详解】，，且，则有，解得.
故答案为：.
【点睛】考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系，解题的关键就是根据共线向量的坐标表示列方程求解，考查运算求解能力，属于基础题.
14．24:25
【分析】设三角形三边的边长分别为，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.
【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中，
设三角形三边的边长分别为，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积，
如图，将延长到，则，所以，又到的距离即为到的距离，
所以三角形的面积等于三角形的面积，即，
所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积，
所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为.
故答案为：24:25.
15．
【分析】根据条件,可知BC为圆O的直径,因而由直径所对圆心角为可知,.
【详解】由，故三点共线，且是线段中点，
故是圆的直径，从而，
因此与的夹角为
所以答案为
【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.
16．
【分析】由利用三角函数恒等变换公式结合已知条件可求得，然后画出图形，由于为锐角三角形，从而可C在线段上，且不包含，，进而可求出面积的取值范围
【详解】由题，即，，
因为锐角，故，.
故由，，画图，如图所示，，.
因为锐角，故C在线段上，且不包含，，
又，，，
故，即，
故，
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．
（2）由（1）可求出C，利用两角和正弦公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．
【详解】（1）由正弦定理，得
由余弦定理，得.
故，又，因此；
（2）由（1）知，，
，
由正弦定理，得，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）边角互换结合余弦定理可得；
（2）由外接圆半径和正弦定理求出c，再由余弦定理和重要不等式可得ab的最大值，然后可解.
(1)
由正弦定理可知，即
所以，由，所以.
(2)
由于三角形外接圆的半径为2
则，
∴（时取等）
∴
.
19．(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，由正弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；选②，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；选③，利用正弦定理以及余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）求出角的取值范围，根据正弦定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果.
(1)
解：选①，由及正弦定理可得，
、，则，所以，，故；
选②，由及正弦定理可得，
因为，则，所以，，故；
选③，由及正弦定理可得，
由余弦定理可得，因为，故.
(2)
解：因为为锐角三角形，且，则，可得，，
由正弦定理，则，
所以，.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理得，进而求得A；
（2）在和中分别使用余弦定理，计算a的值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，因为，所以，
得，因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得：，
即，解得：(负值舍去)，则，
在中，由余弦定理得：，所以.
所以.
21．（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)由题意结合正弦定理可得；
(2)由题意得到关于b+c的方程，解方程可得的值为7；
(3)化简三角函数式，结合角的范围可得的取值范围是.
【详解】（1）根据正弦定理得：
，∵，∴，
∴，∵，∴，
（2）∵，∴，
∵，
，∵，∴，
（3）
，∴，
∵为锐角三角形，∴，又，∴，
∴，∴，∴的取值范围为.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）用正弦定理由得，再由周长为求得；
（2）由条件求得，由余弦定理求得，从而有，根据的范围可得.
【详解】（1）因为，所以，
又因为的周长为，所以
所以.
（2）证明：因为，所以，
则，
，
因为，
所以，
又，所以均为锐角，
所以为锐角，所以.