第七章 复数 通关卷-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

第七章复数通关卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．的实部为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．在复平面内，由对应的三个点确定圆，则以下点在圆上的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．2i B． C．2 D．
6．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．在复平面内，复数z＋3－i与对应的点关于直线x＝1对称，i为虚数单位，则复数z＝（ ）
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
8．复数的平方根是（ ）
A．或 B． C． D．
9．已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
10．已知，，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
二、多选题
11．已知，则以下关系成立的有
A． B． C． D．
12．若复数满足，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．为纯虚数
三、填空题
13．已知复数满足（为虚数单位），则的模为______
14．若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________
15．设为虚数单位，则复数对应的复平面内的点的坐标为___________.
16．已知复数满足，若，则的值为___________.
四、解答题
17．已知复数，，．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若不等式成立，求实数的值．
18．实数取怎样的值时，复数是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
19．已知复数，（i为虚数单位）．
(1)当时，求复数的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
20．分别写出“复数z对应的点在实轴上”与“复数z对应的点在虚轴上”的一个充要条件．
21．已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.
(1)求实数a的值；
(2)若，求复数的模.
22．（1）已知，求复数；
（2）已知复数满足为纯虚数，且，求复数．
参考答案：
1．C
【分析】根据复数除法的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据复数的运算法则，可得.
故选：C.
2．A
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的概念求解.
【详解】由得，所以
故选：A
3．D
【分析】根据复数乘法的运算法则，结合复数实部的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以的实部为2，
故选：D
4．C
【分析】根据题意，由条件可得对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，即可得到结果.
【详解】因为，，，
即，所以对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
且只有选项C中，所以其在圆上，
故选：C
5．C
【分析】利用复数的四则运算求出，进而得出虚部即可.
【详解】因为，所以，
所以复数的虚部为.
故选：C.
6．A
【解析】由题,利用除法法则整理为的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可
【详解】由题,,所以在复平面内对应的点为,
故选:A
【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用
7．C
【分析】设，表示出和，因为复数z＋3－i与对应的点关于直线x＝1对称，所以解方程可求出，即可求出复数z.
【详解】设，则，，依题意得解得所以z＝－1＋i.
故选：C．
8．A
【分析】设的平方根为，则，化简后根据复数相等列方程组求解即可.
【详解】设的平方根为，则，即，
从而解得或
所以复数的平方根是或，
故选：A
9．A
【分析】设先分析出点(x,y)在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上.利用几何法求出的最小值.
【详解】设（是虚数单位）.则.
因为，所以表示点(x,y)在以（-4，-2）为圆心，1为半径的圆上.
而表示圆上任意一点到（0，1）的距离.
由几何法可知：的最小值为（0，1）到圆心（-4，-2）减去圆的半径，即为.
故选：A
10．B
【分析】利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得.
【详解】设，则，.
依题意得：，
.
所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.
11．ABD
【分析】结合各选项进行代入验证．
【详解】，则，
所以，A正确；
，∴，B正确；
，C错；
，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查复数的运算，掌握复数的运算法则和共轭复数的概念是解题基础．
12．BD
【分析】由，求得，结合共轭复数的概念，复数的模及几何意义，复数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，
所以，所以A不正确；
由，所以B正确；
由在复平面内对应点为，位于第二象限，所以C不正确；
由，则为纯虚数，所以D正确．
故选：BD
13．
【分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果.
【详解】
本题正确结果：
【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.
14．1
【分析】利用实系数方程虚根成对定理，转化求解即可．
【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以也是方程的根，
由根与系数的关系可知：，所以，．
所以
故答案为：1．
15．
【分析】将复数运用除法运算法则进行化简，进而得出结果.
【详解】解：复数，
则在复平面内的对应点的坐标为.
故答案为：.
16．2或
【分析】先由求出，再由列方程可求出的值
【详解】由，得，
因为，
所以，解得或，
故答案为：2或
17．（1）；（2）．
【分析】（1）实部为0，虚部不为0，列出等式和不等式即可求解；（2）虚部都为0，由实部列不等式求解.
【详解】（1）由题意得，且
解得
（2）若不等式，则，
解得
18．（1）或；（2）且；（3）.
【分析】根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数.
【详解】（1）若，则为实数，此时或者.
（2）若，则为虚数，此时且.
（3）若 ，则为纯虚数，此时.
【点睛】对于复数，（1）若，则为实数；（2）若，则为虚数，特别地，如果，则为纯虚数，解题中注意合理分类．
19．(1)29
(2)
【分析】（1）代入，根据复数的乘法求解即可；
（2）根据第二象限实部为负，虚部为正求解不等式即可
（1）
当时，，故
（2）
若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则即，解得，故m的取值范围为
20．、且分别是“复数z对应的点在实轴上”、“复数z对应的点在虚轴上”的充要条件，证明见解析．
【分析】根据复数的几何意义确定题设结论的充要条件，结合充分、必要性的定义证明所给的充要条件即可.
【详解】若复数且，对应坐标为，
1、“复数z对应的点在实轴上” 的充要条件为.
充分性：复数z的虚部，则在实轴上，得证；
必要性：复数z对应的点在实轴上，则对应点纵坐标为0，则复数z的虚部，得证.
综上，是“复数z对应的点在实轴上” 的一个充要条件.
2、“复数z对应的点在虚轴上”的充要条件为且.
充分性：复数z的实部且虚部，则在虚轴上，得证；
必要性：：复数z对应的点在虚轴上，则对应点横坐标为0而纵坐标不为0，则且，得证.
综上，且是“复数z对应的点在虚轴上”的一个充要条件.
21．(1)
(2)
【分析】（1）先求得，再根据是纯虚数建立方程即可求出；
（2）根据复数除法运算法则求出，即可求出.
【详解】（1）由已知得：，且是纯虚数
，∵，∴.
（2）由（1）得：，∴
∴.
22．（1）；（2）或或.
【分析】（1）设复数，根据复数的运算法则和复数相等得出关于、的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数；
（2）设复数，根据为纯虚数和列出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出复数.
【详解】（1）设复数，由，得，
根据复数相等得，解得，因此，；
（2）设复数，
则，
由题意可得，.
，得，
所以有，解得或.
因此，或或.
【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.