第三章 圆锥曲线的方程 测试-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 测试-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 929.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-18 06:50:27 | ||
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文档简介
2023学年第一学期圆锥曲线的方程测试卷
高二数学
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用签字笔把答题卡对应题目的答案填入，如需改动，涂改干净后，再填涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线一条渐近线为，下焦点到下顶点距离为1，则该双曲线方程为（ ）
3．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作于Q．则线段FQ的垂直平分线（ ）
A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
4．直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
5．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）
6．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（ ）m.
7．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D.4
8．已知离心率为的双曲线C：的左、右焦点分别为，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32 B．16 C．84 D.4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得10分，部分选对的得4分，有选错的得0分。
9．关于椭圆：，下列叙述正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．长轴长为4 C．离心率为 D．过点
10．已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（ ）
A．的准线为 B．的大小可能为
C．的最小值为8 D．
12．已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的最小值为
C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为
D．设的左焦点为，若的面积为，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为______.
14．已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为______
15．设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是______.
16．如图所示，某桥是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.水位下降后，水面宽为_____米；已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，则A，B两点间的距离|AB|=_____.
（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。
17．（10分）
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．
⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．
（12分）
如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．
(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．
（12分）
求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)准线方程为的抛物线的标准方程；
(3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.
20．（12分）
已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
21．（12分）
某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段关于坐标轴或原点对称，线段的方程为，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点测得汽笛声的时刻晚（设海面上声速为）．若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）
22．（12分）
已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的取值范围．试卷第1页，共3页
2023学年第一学期圆锥曲线的方程测试卷
高二数学 参考答案
选填
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 C A B C C B A B BC BC ACD ACD 3 10
解答题
17．解：⑴由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得
所以
又
18．（1）由题可设椭圆的方程为，
则，
∴，
所以椭圆的方程为，准线方程为；
（2）设，点，其中，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
由，可得，
所以，又，
因为，
所以直线与交于点M 在双曲线上.
19．（1）由已知，，，得：，，
从而.
所以椭圆的标准方程为.
（2）抛物线的准线方程为，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，
所求抛物线的标准方程为：
（3）设双曲线方程为，
由题设可得，故，故双曲线方程为.
20．（1）解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线是一个双曲线，除去左右顶点.
（2）解：联立消去整理得，
设，，则，
.
21．（1）设轮船所在的位置为，由题意可得．因为，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支．
设点的轨迹方程为，则
，
所以兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是.
（2）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾．
设直线的方程为．
当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，则
，
因为，
点在点的左侧，所以船不可能进入暗礁区．
当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，
则，
因为，所以，
所以在点的右侧，所以船不可能进入暗礁区．
综上所述，在轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾．
22．（1）依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去整理得，则，
的面积
，令，对勾函数在上单调递增，
则，即，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为．
试卷第1页，共3页
高二数学
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用签字笔把答题卡对应题目的答案填入，如需改动，涂改干净后，再填涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线一条渐近线为，下焦点到下顶点距离为1，则该双曲线方程为（ ）
3．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作于Q．则线段FQ的垂直平分线（ ）
A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
4．直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
5．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）
6．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（ ）m.
7．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D.4
8．已知离心率为的双曲线C：的左、右焦点分别为，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32 B．16 C．84 D.4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得10分，部分选对的得4分，有选错的得0分。
9．关于椭圆：，下列叙述正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．长轴长为4 C．离心率为 D．过点
10．已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（ ）
A．的准线为 B．的大小可能为
C．的最小值为8 D．
12．已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的最小值为
C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为
D．设的左焦点为，若的面积为，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为______.
14．已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为______
15．设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是______.
16．如图所示，某桥是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.水位下降后，水面宽为_____米；已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，则A，B两点间的距离|AB|=_____.
（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。
17．（10分）
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6．
⑴求椭圆C的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度．
（12分）
如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．
(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．
（12分）
求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)准线方程为的抛物线的标准方程；
(3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.
20．（12分）
已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
21．（12分）
某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段关于坐标轴或原点对称，线段的方程为，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行．有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点测得汽笛声的时刻晚（设海面上声速为）．若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积）
22．（12分）
已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的取值范围．试卷第1页，共3页
2023学年第一学期圆锥曲线的方程测试卷
高二数学 参考答案
选填
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 C A B C C B A B BC BC ACD ACD 3 10
解答题
17．解：⑴由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为②
把②代入①得化简并整理得
所以
又
18．（1）由题可设椭圆的方程为，
则，
∴，
所以椭圆的方程为，准线方程为；
（2）设，点，其中，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
由，可得，
所以，又，
因为，
所以直线与交于点M 在双曲线上.
19．（1）由已知，，，得：，，
从而.
所以椭圆的标准方程为.
（2）抛物线的准线方程为，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，
所求抛物线的标准方程为：
（3）设双曲线方程为，
由题设可得，故，故双曲线方程为.
20．（1）解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线是一个双曲线，除去左右顶点.
（2）解：联立消去整理得，
设，，则，
.
21．（1）设轮船所在的位置为，由题意可得．因为，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支．
设点的轨迹方程为，则
，
所以兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是.
（2）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾．
设直线的方程为．
当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，则
，
因为，
点在点的左侧，所以船不可能进入暗礁区．
当时，设与双曲线右支、直线分别交于点，
则，
因为，所以，
所以在点的右侧，所以船不可能进入暗礁区．
综上所述，在轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾．
22．（1）依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去整理得，则，
的面积
，令，对勾函数在上单调递增，
则，即，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为．
试卷第1页，共3页