2023年高中数学第一章测试题（二）
考试时间：120分钟 满分：150分
命题人：
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（本题5分）已知命题函数与x轴有两个交点；恒成立．若p和均为真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题5分）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题5分）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．或
4．（本题5分）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（本题5分）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题5分）设集合，且，则（ ）
A． B． C．2 D．4
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
9．（本题5分）若“，或”为真命题，“”为假命题，则集合M可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题5分）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．（本题5分）下列说法正确的是（ ）
A．“万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条件
B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件
C．方程有唯一解的充要条件是
D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件
12．（本题5分）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若且则至少有一个大于 B．
C．的充要条件是 D．至少有一个实数，使得
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（本题5分）若，则实数的一个取值为__________.
14．（本题5分）己知集合．
（1）若，则实数a的取值范围是__________．（1分）
（2）若，则实数a的取值范围是__________．（2分）
（3）若，则实数a的取值范围是__________．（2分）
15．（本题5分）已知.若，则实数m的取值范围为________.
16．（本题5分）非空集合关于运算满足：（1）对任意的，，都有；（2）存在，都有，则称关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①{非负整数}，为整数的加法；
②{偶数}，为整数的乘法；
③{平面向量}，为平面向量的加法；
④{二次三项式}，为多项式的加法．
其中关于运算为“融洽集”的是________．（写出所有“融洽集”的序号）
解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17．（本题10分）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若命题P：“，”是真命题，求实数a的取值范围．
18．（本题12分）已知命题p：；q：，使
(1)若命题p是假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题p是假命题，命题q是真命题，求实数的取值范围．
19．（本题12分）设．
(1)命题，使得成立．若为假命题，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
20．（本题12分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．
（1）求图中阴影部分表示的集合C；
（2）若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D （A∪B），求实数a的取值范围．
21．（本题12分）设全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
22．（本题12分）若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证:若，，则；
(3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题：若，，则必有；
命题：若，，且，则必有.2023年高中数学第一章测试题（二）
参考答案
1．C
【分析】先求出命题或和或，再利用p和均为真命题即可求出结果.
【详解】因为与x轴有两个交点，所以，得到或，故或，
又恒成立，所以，整理得到，得到，
所以或，
又因为p和均为真命题，故或，得到或.
故选：C.
2．C
【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可.
【详解】若“，使成立”的否定是：
“，使”为真命题，
即；令，
由，得，所以，
所以，
故选：C.
3．C
【分析】求出满足题意的充要条件为，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】因为不等式的解集为，
所以应有，
解得.
选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足.
故选：C.
4．D
【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.
【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，
只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，
所以单独参加数学的有人，
单独参加物理的有人，单独参加化学的有，
故参赛人数共有人，
没有参加任何竞赛的学生共有人.
故选：D.
5．B
【分析】求出集合再求交集即可.
【详解】，，
则.
故选：B.
6．C
【分析】分别解集合,再用集合的交集运算即可得出答案
【详解】集合,解得,
,即,解得,故,
所以
故选：C
7．D
【分析】利用集合的交并补的定义，结合图即可求解.
【详解】因为或，或，
所以或或或，
或或或.
由题意可知阴影部分对于的集合为，
所以，
或.
故选：D.
8．B
【分析】解一元二次不等式、一元一次不等式求集合A、B，根据交集的结果求参数a即可.
【详解】由，可得，即，而，
∵，
∴，可得.
故选：B.
9．BD
【分析】根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M满足的条件.
【详解】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，可得，
命题“，或”为真命题，则或，
所以或 或，显然，B，D选项中的区间为的子集．
故选：BD．
10．AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
11．AB
【分析】根据充分条件和必要条件的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件，故A正确；
对于B，若是的必要不充分条件，则，；
若是充要条件，则，；
则有，，即是的充分不必要条件，故B正确；
对于C，当时，方程可化为，也满足唯一解的条件，故C错误；
对于D，依题意，得，，所以“”“”，即充分性成立；
反之不成立，如，，，不能推出“”，即必要性不成立，故D错误．
故选：AB．
12．ABD
【分析】假设，中没有一个大于得，与矛盾可判断A；可判断B；取时可判断C；取可判断D.
【详解】对于A，假设，中没有一个大于2，即，，则，与矛盾，故A正确；
对于B，由即，则，故在上恒成立，故B正确；
对于C，当时，，推不出，必要性不成立，故C错误；
对于D，当，此时，所以至少有一个实数，
使得，故D正确.
故选：ABD.
13．（答案不唯一）
【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式的解集为的子集即可满足题意.
【详解】因为，
且当时，即时，，
当时，即时，才有可能使得，
当的两根刚好是时，即，此时的解集为刚好满足，
所以，所以实数的一个取值可以为.
故答案为:
14.
【分析】利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】（1）若，得，
所以实数a的取值范围是.
（2），即，所以，
所以实数a的取值范围是.
（3）若，即，所以，
则实数a的取值范围是.
故答案为：；；.
15．或.
【分析】根据，分和两种情况讨论求解.
【详解】已知集合，且，
或
当时，，解得，符合题意；
当时，且，
则或，解得，
综上：实数的取值范围为或.
故答案为：或.
16．①③
【分析】对新定义“融洽集”需要满足的两个条件进行验证，只有都满足时才是G关于运算为“融洽集”，依次判断即可.
【详解】对于①，{非负整数}，为整数的加法；
当，都为非负整数时，，通过加法运算还是非负整数，满足条件（1），
且存在一整数有，满足条件（2），
所以①为“融洽集”；
对于② ，{偶数}，为整数的乘法，
由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件（1），
但不存在偶数,使得一个偶数与的积仍是此偶数，故不满足条件（2），
故不满足“融洽集”的定义；
对于③，{平面向量}，为平面向量的加法，
若，为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，满足条件（1），
且存在零向量通过向量加法，满足条件（2），
所以③为“融洽集”；
对于④，{二次三项式}，为多项式的加法，
由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如与的和为 ，不满足条件（1），
故不满足“融洽集”的定义；
故答案为：①③
17．(1)
(2)或
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及集合的补集和交集的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及真命题的定义，结合子集的定义即可求解.
【详解】（1）当时，
，则 .
（2）由（1）知，，，
由命题P：“，”是真命题可知：
故或，解得：或
实数a的取值范围为或．
18．(1)；(2).
【分析】（1）先求出p是真命题时的取值范围，进而求出p是假命题，实数的取值范围；
（2）求出q是真命题的取值范围，结合（1），即可求解.
【详解】（1）若命题p是真命题，即在上恒成立.
当时，，不能恒成立；
当时，只需即，．
若命题p是假命题，则．
即实数的范围为.
（2）若命题q为真命题，即，使，即在上的最大值大于等于0.
因为为开口向上的二次函数，对称轴为，故当2时取得最大值，即
属于当p假q真时，只需且，即．
即实数的范围为.
19．(1)(2)答案见解析
【分析】（1）分析可知，恒成立，即为恒成立，分、两种情况讨论，综合可得出实数的取值范围；
（2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式或一次不等式的解法解原不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】（1）解：若为假命题，则，恒成立，即为恒成立，
当时，，不合题意；
当，则，即，解得或，
又因为，则.综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：不等式等价于，
不等式可化为，
当时，则，解原不等式可得；
当时，则，原不等式即为，解得；
当时，则，解原不等式可得或；
当时，则，解原不等式可得或；
当时，原不等式即为，解得.
综上所述，当时，原不等式的解集为或
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
20．（1）{x|1≤x≤2}（2）{a|2＜a≤3}
【分析】（1）根据题意，分析可得C=A∩（ UB），进而由补集的定义求出 UB，再由交集的定义可得A∩（ UB），即可得出答案；（2）根据题意，先求出集合A∪B，结合集合子集的定义可得，解出的范围，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，分析可得：C=A∩（ UB），
B={x|2＜x＜4}，则 UB={x|x≤2或x≥4}，而A={x|1≤x≤3}，
则C=A∩（ UB）={x|1≤x≤2}；
（2）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．则A∪B={x|1≤x＜4}，
若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D （A∪B），
则有，解可得2＜a≤3，
即实数a的取值范围是{a|2＜a≤3}．
【点睛】本题考查集合间包含关系的运用，涉及venn图表示集合的关系，（2）中注意D为非空集合．
21．(1) (2)
【分析】（1）化简集合，根据集合的运算法则求，
（2）由条件列不等式求的取值范围．
【详解】（1）由，解得，
∴ ，
当时， ，
∴
（2）“”是“”的充分条件
∴，又集合，∴，解得 ∴实数的取值范围为.
22．
(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)命题、均为真命题，理由见解析
【分析】（1）按照新定义，判断、是否符合条件即可；
（2）根据条件进行推导，先判断，进而可证；
（3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可.
【详解】（1）（1）集合不是“好集”.
理由：假设集合是“好集”.
因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”.
有理数集是“好集”.
理由：
因为，，
对任意的，，有，且时，，
所以有理数集是“好集”.
（2）证明:因为集合是“好集”，
所以，
若，，则，即.
所以，即.
（3）命题、均为真命题，理由如下：
对任意一个“好集”，任取，，
若，中有0或1时，显然.
若，均不为0，1，由定义可知，，，
所以，即，所以.
由（2）可得，即.
同理可得.
若或，则.
若且，则.
所以，所以.
由（2）可得，所以.
综上可知，，即命题为真命题.
若，，且，则，所以，即命题q为真命题.
