第十章 《概率》章末测试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.以下事件是随机事件的是( )
A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大
2.某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（ ）
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
3.甲、乙两人同时参加某次外语考试,若甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,且两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A.0.42 B.0.12 C.0.18 D.0.28
4.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是( )
A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
5.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
6.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P()＝( )
A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8
7.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
8.若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，则x＋y的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列是古典概型的是( )
A.从6名同学中，随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀地骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
10.下列命题正确的是( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A∩B为不可能事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
11.下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
12. 若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的值可以是( )
A. B. C. D.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
年降水量(mm) (100，150) (150，200) (200，250) (250，300)
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是________.
14.一只袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个球，若取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________，至少取得一个红球的概率为________.
15.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为，则p的值为________.
16.三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：
“两个点数之和是5”；
“两个点数相等”；
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
18.射手小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率．
19. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高 气温 [10， 15) [15， 20) [20， 25) [25， 30) [30， 35) [35， 40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
20.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
21.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一 类 第二 类 第三 类 第四 类 第五 类 第六 类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)
22.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？第十章 《概率》章末测试（答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.以下事件是随机事件的是( C )
A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大
2.某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（ D ）
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
3.甲、乙两人同时参加某次外语考试,若甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,且两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( B )
A.0.42 B.0.12 C.0.18 D.0.28
4.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是( D )
A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
解: A中，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；
B中，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；
C中，A∪B与C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪B)＋P(C∪D)＝1，故C错误；
D中，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确.
5.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( A )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
解: 由题意知“2张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又1－＝，故“至多有一张移动卡”的概率是.
6.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则P()＝( A )
A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8
解: ∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，∴P()＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.
7.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( A )
A. B. C. D.
解：从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝.故选A.
8.若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，则x＋y的最小值为( C )
A.7 B.8 C.9 D.10
解：由题意知＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝5＋≥9，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列是古典概型的是( ABD )
A.从6名同学中，随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀地骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解: ABD为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不适合等可能性，故不为古典概型.
10.下列命题正确的是( AB )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A∩B为不可能事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C.若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D.事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
解: 由对立事件的定义可知A正确；由于A∩B为不可能事件，所以A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即B正确；事件A，B，C两两互斥，并不代表A∪B∪C是必然事件，故C不正确；D中，设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，故D不正确.
11.下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( CD )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
解: 在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；
在B中，M，N不是相互独立事件；
在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件；
在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.
12. 若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的值可以是( CD )
A. B. C. D.
解: 由题意可知
即即
解得＜a≤.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：
年降水量(mm) (100，150) (150，200) (200，250) (250，300)
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是___0.25_____.
14.一只袋子中装有7个红球，3个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个球，若取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________，至少取得一个红球的概率为________.
解: 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，则要取得两个同颜色的球，只需两个互斥事件中有一个事件发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率P＝＋＝.
记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，事件A与事件B是对立事件，则至少取得一个红球的概率P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
15.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为，则p的值为________.
解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p.依题意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝.
16.三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为____0.09____.
解：设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：
第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；
第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；
第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；
第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5.
因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：
“两个点数之和是5”；
“两个点数相等”；
“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，
其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
（2）因为，所以，从而；
因为，所以，从而；
因为，
所以，从而.
18.射手小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率．
解：（1）∵射手小张在一次射击中射中10环和在一次射击中射中9环为互斥事件，
∴这个射手在一次射击中射中10环或9环的概率：
P1=0.24+0.28=0.52．
（2）这个射手在一次射击中至少射中7环的对立事件为在一次射击中射中7环以下，
所以这个射手在一次射击中至少射中7环的概率为：
P2=1–0.13=0.87．
19. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高 气温 [10， 15) [15， 20) [20， 25) [25， 30) [30， 35) [35， 40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6，
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
20.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解 (1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券中奖的概率为.
(2)设“1张奖券既不中特等奖也不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－＝.
故1张奖券既不中特等奖也不中一等奖的概率为.
21.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一 类 第二 类 第三 类 第四 类 第五 类 第六 类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)
解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
22.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
解 (1)分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况.
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是.
(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.
因此＜，所以此游戏不公平.
