中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第四章
课标要求 一、函数通过简单的实例，了解常量、变量的意义。能结合实例，了解函数的概念和函数的三种表现形式，能举出函数的实例。能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。尝试对变量的变化规律初步预测。能确定简单的整式、分式和简单实际问题中函数的自变量的取值范围，并会求函数值。5、能用恰当的函数表示实际问题中变量之间的关系。一次函数结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定函数的表达式。会画一次函数的图像，根据图像和解析式探索其图像的性质及图像的变化规律。理解正比例函数、一次函数的性质。根据函数的图像和解析式解决实际问题。
内容分析 函数学习是中学数学中占据重要地位，既是教学的重点，也是教学的难点。本章学生第一次接触函数，是后续学习反比例函数、二次函数的基础。对函数的概念和函数的图像贯穿整个函数的教学中，随着函数的学习二不断加深认识，同时函数概念中体现变化与对应的思想、数形结合思想决定了函数学习是否顺利的关键。一次函数是学生接触的第一类函数，利用函数图像归纳函数性质，利用函数性质和图像来解决问题，这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。
学情分析 学习一次函数，意味着从常量数学进入变量数学的学习。学生的思维要随之改变，这是对学生思维能力的考验，也是数学认识的一次飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单的问题，往往能根据课堂学习的概念知识，画出相应的函数图像来解决，看不出学生对一次函数的理解程度。随着时间的推移，随着问题情景的复杂化，它们就会表现出对一次函数的理解深度不够。停留在感性认识多些，理性认识少些；对一次函数解析式直接应用多些，对解析式与图像的内在联系运用薄弱。学生在学习过程中遇到困难主要有：复杂问题情景化转移到一次函数图像；结合题意理解一次函数所表达的信息；结合题意将图像信息转移到数量关系。因此，本单元教学应注意数形结合，需要多练、多问、多总结。
单元目标 （一）教学目标1、经历具体问题抽象出函数和一次函数的概念，体会函数的建模思想。进一步发展学生的思维能力。学生经历一次函数图像和性质的探究过程，在合作与交流的活动中发展合作意识和能力。2、了解函数的概念，理解一次函数的图像性质，体会函数与方程的关系，会结合具体情景确定一次函数的表达式，会画一次函数写图像，并运用图像的性质来解决实际问题。3、经历一次函数图像解决实际问题，发展学生运用数学的能力和形象思维能力。4、经历画一次函数的图像和运用图像性质解决实际问题的过程，体会数形结合的思想。（二）教学重点、难点1、了解函数的概念，会求函数值。2、理解正比例函数、一次函数的概念，确定实际问题中的函数解析式。3、会画一次函数的图像4、根据一次函数的性质和图像解决实际问题，
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1函数12一次函数与正比例函数13正比例函数的图像14一次函数的图像15确定一次函数的表达式16一次函数的运用17回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务函数（1）学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。（2）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。 （3）学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。学生积极参与填表、计算、规律探索，寻找发现三个具体问题变量的共性，能用自己的语言描述函数两大特点。学生主动观察、思考，能用语言表述函数三种表示方法。写出函数自变量的取值范围。3、给定一个自变量的值，求出该函数的值。环节一：函数的概念及表示方法。环节二：函数表示法环节三：探究自变量的取值范围及函数值一次函数与正比例函数（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。1、学生独立思考 计算并把表格补充完整。2、小组内与同伴交流，归纳一次函数、正比例函数的定义和它们之间的关系。3、学以致用正确判断一次函数和正比例函数，掌握一次函数必备条件。4、学生根据现实情境写出函数解析式 然后观察分析函数表达式的共性 根据一次函数和正比例函数的定义作出正确的判断。5、给定一个自变量的值求出因变量，或给出因变量求出自变量。环节一:一次函数与正比例函数的概念环节二；列出一次函数与正比例函数的关系式正比例函数的图像1.了解正比例函数两个变量之间的变化规律.在认识正比例函数图象的基础上，掌握正比例函数图象及其简单性质；2.经历对正比例函数图象变化规律的探究过程，学会解决正比例函数问题的一些基本方法和策略；3.在结合图象探究正比例函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，从特殊到一般的思想；4.通过对正函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.1、学生回顾六年级知识并填空，知道正比例的图像是一条直线。2、从情境中理解什么是函数的图像及画函数图像的一般步骤。3、学生画正比例函数（k>0)图像5、小组讨论得出正比例（k>0)图像性质6、学生画正比例函数（K<0)图像7、小组讨论得出正比例（K<0)图像性质环节一：小初衔接环节二： 情境引入环节三：探究正比例函数的图像（k>0)环节四：正比例函数的图像（K<0)一次函数的图像1.在认识一次函数图像的基础上，掌握一次函数的图像及简单的性质；2.通过自己动手操作类比正比例函数的性质发现一次函数图象变化规律，学会解决一次函数问题的一些基本方法；3.在探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想回顾正比例函数的图像和性质。回顾画图像的一般步骤。3、列表、描点画图像。4、对于积极思考，勇于回答的同学予以肯定，对于学有困难的同学加以引导5、根据画图情况，肯定学生成绩6、小组合作探究一次函数的图像性质。环节一：回顾旧知环节二：认识一次函数y=kx+b(k<0)的图像。环节三：认识一次函数y=kx+b(k>0)的图像。环节四：认识一次函数y=kx+b的图像确定一次函数的表达式1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。1、回顾什么是一次函数函数？一次函数函数的图像是什么 怎样画一次函数。2、小组讨论确定正比例函数表达式的确定只需要几个个条件。3、理解待定系数法求表达式的一般步骤4、小组讨论确定一次函数表达式的确定只需要几个个条件。环节一：复习导入.环节二：确定正比例函数的解析式。环节三： 确定一次函数y=kx+b(≠0）的解析式。一次函数的运用1、初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。会用一次函数的知识解决生活中的问题；2、积极参与数学学习活动，在合作学习中互助，感受成功的喜让学生通过自主、合作、探究构建实际问题的数学模型，培养学生运用一次函数模型解决实际生活问题的能力，体会并感知数学建模的过程和一般思想提高分析问题，用数学知识解决实际问题的能力；3、通过一次函数的应用教学，让学生体会数学的抽象性和广泛应用性，使他们在“探究”的过程中，充分体会数学与社会生活的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心，激发学生学习数学的兴趣。1、学生从图像中发现问题、提出问题、解决问题。2、对例题2的分析，抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题．3、学生独立思考回答问题，进一步体会特殊点的实际意义，并解决实际问题。4、通过前面的活动引导学生总结出解答图像信息题时所用到的数学思想及方法步骤。环节一：情境导入环节二：探究一条直线解决实际问题。环节三：探究二条直线解决实际问题。回顾与反思1、掌握函数的概念，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识和能力。2、理解一次函数和正比例函数的概念，会写出简单的一次函数的表达式。3、熟练作出一次函数图象，掌握一次函数及其图象的简单性质。4、能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。1、学生回顾一次函数的定义，根据定义对一次函数作出正确的判断2、学生在方格纸上画一次函数的图3、回顾求一次函数表达式的一般步骤并求出已知图像的表达式像。4、观察图像得出一次函数的图像的性质并把表格补充完整。5、学生用图像中的信息解决实用问题。环节一：一次函数的定义。环节二：一次函数的图象与性质环节三： 求一次函数的表达式环节四：用图 一次函数的实际应用
《第四章》单元教学设计
丰富的现实背景
函数
一次函数
函数表达式
图象
函数表达式的确定
图象的应用
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《正比例函数的图像》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《正比例函数的图象》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一次函数》的第三节。本节内容安排了2个课时完成.第1课时让学生了解了作正比例函数图象的方法，并通过作图的操作过程，明确正比例函数的图象性质，本节内容是第1课时。第2课时，主要是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质.与原传统教材相比，新教材更注重借助感性材料，让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及在具体图象中函数值的增减性和增减速度、具体直线之间的平行位置关系，实际上，这一过程，也是培养学生数形结合的意识和能力的好机会，并为今后继续学习一次函数的应用以及一次函数与二元一次方程的关系打下基础.
学习者分析 八年级学生已初步认识了变量之间的相依关系，积累了研究变量之间关系以及图象的一些方法和初步经验.在此基础上，学生能在“引导——探究——发现”式的课堂教学中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法.但由于初中学生的年龄特点，他们借助直观、具体的图象更容易理解抽象的一次函数图象的变化规律及其性质.
教学目标 1.了解正比例函数两个变量之间的变化规律.在认识正比例函数图象的基础上，掌握正比例函数图象及其简单性质； 2.经历对正比例函数图象变化规律的探究过程，学会解决正比例函数问题的一些基本方法和策略； 3.在结合图象探究正比例函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，从特殊到一般的思想； 4.通过对正函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
教学重点 正比例函数的图象和性质
教学难点 由正比例函数的图象归纳得出正比例函数的性质及对性质的理解
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：小初衔接教师活动1： 一辆火车行驶的时间和路程如右图： 从图中中（路程）和（时间）是两种相关联的量。它们的比值表示的是（速度），这个比值（一定）。所以，（路程）和（时间）成正比例关系。 关系式，S=120t 可知一次函数的图像是一条直线学生活动1： 学生回顾六年级知识并填空，知道正比例的图像是一条直线。活动意图说明： 唤醒旧知，为学生正比例图像奠基环节二： 情境引入教师活动2： 这是摩天轮上一点的高度与时间之间函数关系图象 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横、纵坐标 。在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成图形叫做该函数的图象 画函数图象的一般步骤 ：列表、描点、连线学生活动2： 从情境中理解什么是函数的图像及画函数图像的一般步骤。 活动意图说明： 根据摩天轮上一点的高度与时间之间函数关系图象，知道什么是函数的图像及画图像的一般步骤。环节三：探究正比例函数的图像（k>0)） x 01……Y=2x02……Y=x01……
教师活动3： 例题1，画出正比例函数 y=2x ，y=x的图象 解 列表 描点 连线。 2、小组讨论：正比例函数(K>0)的图像性质 （1）是一条经过原点的直线. .（2）经过第1和第3象限. 函数值随自变量的增大而增大。 随着k的增大，图象越靠近y轴。 学生活动3： 学生画正比例函数（k>0)图像 小组讨论得出正比例（k>0)图像性质活动意图说明： 经过画图像过程通过小组讨论得出正比例函数(K>0)）图像的性质环节四：正比例函数的图像（K<0)教师活动4： 1、例题2、画正比例函数 y=-x 和 y=-2x 图像 解：1、列表 描点 连线。 x 01……y=-2x0-2……y=-x0-1……
2、小组讨论：正比例函数(K>0)的图像性质 （1）是一条经过原点的直线. .（2）经过第2和第4象限. （3）函数值随自变量的增大而减少。 （4）随着|k|的增大，图象越靠近y轴。学生活动4： 学生画正比例函数（K<0)图像 小组讨论得出正比例（K<0)图像性质活动意图说明： 经过画图像过程通过小组讨论得出正比例函数(K<0)图像的性质环节五： 归纳正比例函数的图像性质教师活动 1、在直角坐标系内作出y=x， y=2x， y=-x，y=-3x的图象． 2、上述四个函数中，随着x的增大，y的值分别如何变化？你可以得到怎样的规律？你是怎样判断的？ 小组讨论：①直线是否经过原点？ ②经过的象限 ③增减性 ④直线的倾斜程度 展示讨论结果形成板书设计 3、播放音频1、2正比例函数图像的性质，学生活动 学生画正比例函数图像。 根据图像和4个问题的小组讨论，归纳正比例函数图像的性质。 听音频讲解进一步理解和掌握正比例函数图像的性质。 活动设计意图 通过画图像的过程，经过小组讨论、归纳正比例函数图像的性质。播放音频帮助学生理解和掌握。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下面哪个点在函数y=4x的图像上（ B ） A.（-1，4） B.（0.5，2） C（4，1） D（0，4） 2.下列函数中，y随x的增大而减小的有（ D ） A. y=3x B. y=kx (k>0) C y=(a2+1)x D y=-0.01x 3.以下图象中，函数值随自变量增加而减小的是（ B ） 4.已知正比例函数 y=(k+5)x ，且 y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是: K>-5 5.已知正比例函数 y=3x 的图象经过点（1，m）， 则m的值为:3 6.写出图中直线l所对应的函数表达式 解：设直线的表达式是y=kx,经过（1,3） ∴3=K×1 k=3 ∴表达式是y=3x 选做题： 7.如图，已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．求正比例函数的表达式． 解：∵AH⊥x轴，点A的横坐标为3， ∴OH＝3， ∵△AOH的面积为3， ∴ AH OH÷2＝3， ∴AH＝2， ∵点A在第四象限，∴点A的坐标为（3，﹣2）． 将A（3，﹣2）代入y＝kx，得﹣2＝3k， 解得：k＝ ， ∴正比例函数的表达式为y＝x． 【综合拓展类作业】 8.已知正比例函数y=(m-1)x的图象上有两点。当 两点，当 y 时， （1）求m的取值范围； （2）当m取最大整数时，画出该函数图象. 解：（1）由题意可知m-1<0 ， m<1。∴m的取值范围是. m<1 （2）m取最大整数0， 该正比例函数为y=-x，图象如图所示：
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知点P(1,-2) 和点Q(a，4) 在同一个正比例函数的图象上， 那么a=-2 2. 如果m<-2 ，那么正比例函数y=(m+2)x 的图象经过第 二、四象限。 3.如图，三个正比例函数的图象分别对应解析式 ：① y=ax，② y=bx，③ y=cx，将 a，b，c 从小到大排列并用“ <”连接为 a教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
4.3 一次函数的图象
北师大版 八年级上册
第1课时
教材分析
《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一次函数》的第三节。本节内容安排了2个课时完成.第1课时让学生了解了作正比例函数图象的方法，并通过作图的操作过程，明确正比例函数的图象性质，本节内容是第1课时。第2课时，主要是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质.与原传统教材相比，新教材更注重借助感性材料，让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及在具体图象中函数值的增减性和增减速度、具体直线之间的平行位置关系，实际上，这一过程，也是培养学生数形结合的意识和能力的好机会，并为今后继续学习一次函数的应用以及一次函数与二元一次方程的关系打下基础.
教学目标
1.了解正比例函数两个变量之间的变化规律.在认识正比例函数图象的基础上，掌握正比例函数图象及其简单性质；
2.经历对正比例函数图象变化规律的探究过程，学会解决正比例函数问题的一些基本方法和策略；
3.在结合图象探究正比例函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，从特殊到一般的思想；
4.通过对正函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
小初衔接
一辆火车行驶的时间和路程如下图：
从图中中（ ）和（ ）是两种相关联的量。它们的比值表示的是（ ），这个比值（ ）。所以，（ ）和（ ）成正比例关系。
路程
时间
速度
一定
路程
时间
关系式，S=120t 可知一次函数的图像是一条直线
新知讲解
这是摩天轮上一点的高度与时间之间函数关系图象
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的 横、纵坐标 。在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成图形叫做该函数的图象
画函数图象的一般步骤
列表、描点、连线
探究新知
探究一 正比例函数的图像(K>0)
例1. 画出正比例函数y=2x；y=x 的图象
解:列表:
x 0 1 ……
y=2x 0 2 ……
y=x 0 1 ……
描点
连线
y
-4
-2
-3
-1
2
1
0
-2
-3
1
2
3
4
x
-1
3
y=2x
y=x
探究新知
小组讨论
正比例函数(K>0)的图像性质
1.是一条经过原点的直线
2.经过第1和第3象限
3.函数值随自变量的增大而增大
4.随着k的增大，图象越靠近y轴
探究新知
探究二 正比例函数的图像（ K<0)
例题2、画正比例函数 y=-x 和
y=-2x 图像
解：1、列表
x 0 1 ……
y=-2x 0 -2 ……
y=-x 0 -1 ……
描点
连线
y=-2x
y=-x
探究新知
小组讨论
正比例函数（K<0)的图像性质
1.是一条经过原点的直线
2.经过第2和第4象限
3.函数值随自变量的增大而减小
4.随着|k|的增大，图象越靠近y轴
探究三
正比例函数的图像性质
在同一直角坐标系中作出y=x， y=2x， y=- x，
y=-3x的图象．
探究新知
探究新知
观察图像小组讨论
探究新知
探究新知
1.下面哪个点在函数y=4x的图像上（ ）
A.（-1，4） B.（0.5，2） C（4，1） D（0，4）
B
2.下列函数中，y随x的增大而减小的有（ ）
A. y=3x B. y=kx (k>0) C y=(a2+1)x D y=-0.01x
D
3.以下图象中，函数值随自变量增加而减小的是（ ）
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
【知识技能类作业】必做题
课堂练习
4.已知正比例函数 y=(k+5)x ，且 y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是:
K>-5
5.已知正比例函数 y=3x 的图象经过
点（1，m）， 则m的值为:
3
6.写出图中直线l所对应的函数表达式
解：设直线的表达式是y=kx,经过（1,3）
∴3=K×1 k=3
∴表达式是y=3x
课堂练习
【知识技能类作业 选择题】
7.如图，已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．求正比例函数的表达式．
解：∵AH⊥x轴，点A的横坐标为3， ∴OH＝3，
∵△AOH的面积为3，
∴ AH OH÷2＝3， ∴AH＝2，
∵点A在第四象限，∴点A的坐标为（3，﹣2）．
将A（3，﹣2）代入y＝kx，得﹣2＝3k，解得：k＝ ，
∴正比例函数的表达式为y＝ x．
课堂练习
【综合实践类作业】
8.已知正比例函数y=(m-1)x的图象上有 两点，当 时，
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，画出该函数图象.
解：（1）由题意可知m-1<0 ， m<1。∴m的取值范围是. m<1
（2）m取最大整数0，
该正比例函数为y=-x，图象如图所示：
>
课堂总结
大家谈谈这节课的收获
正比例函数图像的性质
K>0
K<0
……
……
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
1.已知点P(1,-2) 和点Q(a，4) 在同一个正比例函数的图象上，
那么a=-2
2. 如果m<-2 ，那么正比例函数y=(m+2)x 的图象经过第
二、四象限。
3.如图，三个正比例函数的图象分别对应解析式
：① y=ax，② y=bx，③ y=cx，将 a，b，c 从
小到大排列并用“ <”连接为 a【知识技能类作业 必做题】
作业布置
4.正比例函数y=kx的图象如图所示，则 k 的值为(A)
A: ; B: - ; C: ; D: .
5.下列图象中，表示正比例函数图象的是 ( B )
A B C D
作业布置
【知识技能类作业 选择题】
6.已知y－m与3x＋n成正比例函数(m，n为常数)，当x=2时，y=4；当x=3时，y=7，求y与x之间的函数关系式.
解：∵y－m与3x＋n成正比例，
∴设y－m=k(3x＋n)(k，m，n均为常数，k≠0).
∵当 x=2时，y=4；当x=3时，y=7，
∴7－m＝k（9＋n）.(4－m＝k（6＋n），
∴k=1，，m＋n=－2.
∴y与x之间的函数关系式为y=3x－2.
作业布置
【综合实践类作业】
7.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数
的图象分别为
则下列关系中正确的是（ B ）
A
B
C
D
板书设计
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
