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分课时教学设计
第一课时《确定一次函数的表达式》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容选自义务教育课程标准实验教科书北京师范大学版的数学教材八年级上册的第四章第四节，课题为《一次函数图象的应用》。本节课为第1课时。学生已经学习掌握了一次函数的意义、一次函数的图象及其性质、本节课主要内容就是确定一次函数的表达式，.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。使学生体会到数学学习过程中“数形结合”思想的重要性。
学习者分析 学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习变量和两个变量之间的关系，并且平面直角坐标系中，横轴反映的是自变量，纵轴反映的是因变量。前几节课，学生已掌握了一次函数，正比例函数的定义，图像及性质，具备了利用函数模型，解决实际问题的能力。 但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力。
教学目标 1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。 2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。 3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。
教学重点 求一次函数解析式的方法步骤。
教学难点 建立函数的模型，用函数的思想解决实际问题的能力
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入教师活动1： 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，如 y=3x-1和y=-2x+3，如何画出它们的图象 【两点法：列表 --描点--连线；平移法：先画出正比例函数的图像，然后向上（向下）平移】 小组为单位分析y=3x-1和y=2x+3图像的性质（大家踊跃发言，互相补充） 1、图像经过的象限 2、图像增减性 3、图像和x轴y轴的交点。 4、K值确定什么？ b值确定什么 在上节课中我们学习了在给定一次函数解析式的前提下，我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的解析式呢？这将是本节课我们要研究的问题.学生活动1： 回顾 什么是一次函数函数？ 一次函数函数的图像是什么 怎样画一次函数。活动意图说明： 回顾旧知，唤醒记忆，为新课讲授作铺垫环节二：确定正比例函数的解析式教师活动2： 1、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示： (1)请写出 v 与 t 的关系式； 解；设v=kt ∵ (2,5)在图像上 ∴5=2k k=2.5 ∴v=2.5t (2)下滑3秒时物体的速度是多少？ V=2.5t=2.5×3=７.５米／秒 2、假定甲、乙二人在一项赛跑中,路程与时间的关系如图所示． （1）这是一次 100 米的赛跑？ （2） 甲 先到达终点？ （3）甲、乙二人的速度分别是多少？ 【（3）甲的速度；100÷20=5m/s. 乙的速度：100÷25=4m/s.】 求甲、乙二人y与x的函数关系式． 【由于图像经过原点，设函数表达式为 =kx.甲图像经过（20,100），代入 =kx中，即100=20K K=5. 所以甲的函数表达式是 =5x. 同理乙的函数表达为=4x。】 3、求正比例函数 的表达式 解：解：由正比例函数的定义知 m－ 15 ＝ 1 且 m － 4≠0 ， ∴m ＝－ 4 ， ∴y ＝－ 8x. 注意：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 课堂小结 怎样求正比例函数的表达式？ 1. 设正比例函数表达式为y=kx； 2. 找一对X,Y的对应值，代入表达式； 3. 解方程求出k的值； 4 .写出表达式。学生活动2： 学生自学问题一。试着完成问题二、三。 小组讨论确定正比例函数表达式的确定只需要几个个条件。 理解待定系数法求表达式的一般步骤活动意图说明： 从实际问题情境入手，从3个例子来探究正比例函数确定表达式需要一个条件。理解待定系数法确定正比例表达式的一般步骤。环节三： 确定一次函数y=kx+b(≠0）的解析式教师活动3： 1：已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式． 解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得， ∴－5＝2k＋b，5＝b， 解得b＝5，k＝－5. ∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5. 2、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式。 解：设直线l为y=kx+b, ∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2. 又∵直线过点（0，2）， ∴2=-2×0+b, ∴b=2, ∴直线l的表达式为y=-2x+2. 3、例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度 解：设y=kx+b(k≠0)，经过（0,14.5）、（3,16） 由题意得：14.5=b, 16=3k+b, 解得：b=14.5 ; k=0.5.∴解析式为y=0.5x+14.5 当x=4时，y＝0.5×４＋14.5 =16.5（厘米）. 即物体的质量为４千克时，弹簧长度为16.5厘米. 课堂小结 怎样求一次函数的表达式？ 1. 设一次函数函数表达式为y=kx+b； 2. 找二对X,Y的对应值，代入表达式； 3. 解方程求出k和b的值； 4 .写出表达式学生活动3： 1、试着完成问题一、二。自学课本例题1 小组讨论确定确定一次函数表达式的确定需要几个个条件。 3、理解待定系数法求表达式的一般步骤活动意图说明： 从3个例子来探究一次函数函数确定表达式需要二个条件。理解待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤。
板书设计 求一次函数解析式的步骤: （1）设：设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0)； ( 2）列：两个点的坐标代入解析式，组成二个一次方程； （3）解：解二个一次方程得k,b； （4）写：把k,b的值代入一次函数的解析式.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 已知正比例函数y=kx﹙k≠0﹚的图像经过﹙1，-2﹚，求这个正比例的表达式？ 【y=-2x】 2.已知正比例函数y=(m+1)x,求它的表达式？【y=2x】 3．一个正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为( B ) A．y＝x B．y＝－x C．y＝－2x D．y＝ x-0.5 4.如图，直线AB对应的函数表达式是( A ) 5、已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，-4），求这个一次函数的解析式．【y=3x-4】 6、已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式. 【y=-2x+2】 7、如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空: (1)b= 2 ,k= - ; (2)当x=30时，y= -18; (3)当y=30时，x= -42。 选做题： 8、若y与x-1成正比例，且当x=2时，y=3,求y与x之间的函数表达式？ 解析：设y=k(x-1),把x=2,y=3，代入y=k(x-1)，求出k=3,所以y和x的函数关系是y=3x-3 9、若正比例函数y=2x的图像经过A﹙-1,a﹚,则a= -2 ;该函数图像经过点B﹙b，6），则b= 3 【综合拓展类作业】 10、已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式. 解：此题解答结果有两种情况 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), 因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），所以b=2， 因为一次函数的图象与x轴的交点是( - ，0)，则 解得k=1或-1. 故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 直线y=kx-4 经过点(-2,2) ，则该直线的解析式是（ A ） A.y=-3x-4 B. y=-x-4 C. y=x-4 D. y=3x-4 2．已知一次函数y=2x-2 ，当y=0 时,x=1． 3.一元一次方程3x+2=8的解是x=2，则一次函数y=3x+2在自变量x= 2 时的函数值是8. 4.设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x，底为y， （1）写出y用x表示函数关系式。 （2）求出当x=15时，y的值，并指出此时三角形是什么三角形？ 解：（1）∵2x+y=45 ∴ y=-2x+45 (2)当x=15 y=-2x+45=15,此时三角形为等边三角形。 5.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h （厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（ D ） 函数关系式是：y=-5x+20 选做题： 6.如果一个一次函数满足以下两个条件：（1）函数值 y 随着自变量 x 的值增大而减小；（2）图象经过点(-1,-3) ．那么这个一次函数的解析式可以是 （y=-x-4答案不唯一）（写出一个即可） 7.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 (2,0) 8.已知一次函数y=kx﹣4，当x=2时，y=﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴的交点的坐标． 解(1)：由题意可得2k﹣4=﹣3，解得k= 0.5 ， ∴一次函数解析式为y= 0.5 x﹣4 （2）把该函数图象向上平移6个单位可得y= 0.5 x﹣4+6= 0.5 x+2， 令y=0可得 0.5 x+2=0，解得x=﹣4， ∴平移后图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0） 【综合拓展类作业】 9.用每张长6 cm的纸条，重叠1 cm粘贴成一条纸带，如图．纸带的长度y(cm)与纸条的张数x之间的函数表达式是( D ) A．y＝6x＋1 B．y＝4x＋1 C．y＝4x＋2 D．y＝5x＋1 解析：如果不重叠，纸条长度是6X,重叠部分是x-1，实际长度6x-(x-1)=5x+1
教学反思
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第四章
课标要求 一、函数通过简单的实例，了解常量、变量的意义。能结合实例，了解函数的概念和函数的三种表现形式，能举出函数的实例。能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。尝试对变量的变化规律初步预测。能确定简单的整式、分式和简单实际问题中函数的自变量的取值范围，并会求函数值。5、能用恰当的函数表示实际问题中变量之间的关系。一次函数结合具体情景体会一次函数的意义，根据已知条件确定函数的表达式。会画一次函数的图像，根据图像和解析式探索其图像的性质及图像的变化规律。理解正比例函数、一次函数的性质。根据函数的图像和解析式解决实际问题。
内容分析 函数学习是中学数学中占据重要地位，既是教学的重点，也是教学的难点。本章学生第一次接触函数，是后续学习反比例函数、二次函数的基础。对函数的概念和函数的图像贯穿整个函数的教学中，随着函数的学习二不断加深认识，同时函数概念中体现变化与对应的思想、数形结合思想决定了函数学习是否顺利的关键。一次函数是学生接触的第一类函数，利用函数图像归纳函数性质，利用函数性质和图像来解决问题，这种从特殊到一般再回到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。
学情分析 学习一次函数，意味着从常量数学进入变量数学的学习。学生的思维要随之改变，这是对学生思维能力的考验，也是数学认识的一次飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单的问题，往往能根据课堂学习的概念知识，画出相应的函数图像来解决，看不出学生对一次函数的理解程度。随着时间的推移，随着问题情景的复杂化，它们就会表现出对一次函数的理解深度不够。停留在感性认识多些，理性认识少些；对一次函数解析式直接应用多些，对解析式与图像的内在联系运用薄弱。学生在学习过程中遇到困难主要有：复杂问题情景化转移到一次函数图像；结合题意理解一次函数所表达的信息；结合题意将图像信息转移到数量关系。因此，本单元教学应注意数形结合，需要多练、多问、多总结。
单元目标 （一）教学目标1、经历具体问题抽象出函数和一次函数的概念，体会函数的建模思想。进一步发展学生的思维能力。学生经历一次函数图像和性质的探究过程，在合作与交流的活动中发展合作意识和能力。2、了解函数的概念，理解一次函数的图像性质，体会函数与方程的关系，会结合具体情景确定一次函数的表达式，会画一次函数写图像，并运用图像的性质来解决实际问题。3、经历一次函数图像解决实际问题，发展学生运用数学的能力和形象思维能力。4、经历画一次函数的图像和运用图像性质解决实际问题的过程，体会数形结合的思想。（二）教学重点、难点1、了解函数的概念，会求函数值。2、理解正比例函数、一次函数的概念，确定实际问题中的函数解析式。3、会画一次函数的图像4、根据一次函数的性质和图像解决实际问题，
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1函数12一次函数与正比例函数13正比例函数的图像14一次函数的图像15确定一次函数的表达式16一次函数的运用17回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务函数（1）学生能通过几个具体实例，逐步抽象，概括出函数的定义。（2）学生对于含有两个变量的一个具体的问题，能够判断该问题是否为函数。 （3）学生在探索中经历了一次次的思考，归纳，总结，抽象，概括函数概念的过程，学生初步体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究问题的方法。从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。学生积极参与填表、计算、规律探索，寻找发现三个具体问题变量的共性，能用自己的语言描述函数两大特点。学生主动观察、思考，能用语言表述函数三种表示方法。写出函数自变量的取值范围。3、给定一个自变量的值，求出该函数的值。环节一：函数的概念及表示方法。环节二：函数表示法环节三：探究自变量的取值范围及函数值一次函数与正比例函数（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。（2）确定一次函数与正比例函数的解析式。（3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。（4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。1、学生独立思考 计算并把表格补充完整。2、小组内与同伴交流，归纳一次函数、正比例函数的定义和它们之间的关系。3、学以致用正确判断一次函数和正比例函数，掌握一次函数必备条件。4、学生根据现实情境写出函数解析式 然后观察分析函数表达式的共性 根据一次函数和正比例函数的定义作出正确的判断。5、给定一个自变量的值求出因变量，或给出因变量求出自变量。环节一:一次函数与正比例函数的概念环节二；列出一次函数与正比例函数的关系式正比例函数的图像1.了解正比例函数两个变量之间的变化规律.在认识正比例函数图象的基础上，掌握正比例函数图象及其简单性质；2.经历对正比例函数图象变化规律的探究过程，学会解决正比例函数问题的一些基本方法和策略；3.在结合图象探究正比例函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，从特殊到一般的思想；4.通过对正函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.1、学生回顾六年级知识并填空，知道正比例的图像是一条直线。2、从情境中理解什么是函数的图像及画函数图像的一般步骤。3、学生画正比例函数（k>0)图像5、小组讨论得出正比例（k>0)图像性质6、学生画正比例函数（K<0)图像7、小组讨论得出正比例（K<0)图像性质环节一：小初衔接环节二： 情境引入环节三：探究正比例函数的图像（k>0)环节四：正比例函数的图像（K<0)一次函数的图像1.在认识一次函数图像的基础上，掌握一次函数的图像及简单的性质；2.通过自己动手操作类比正比例函数的性质发现一次函数图象变化规律，学会解决一次函数问题的一些基本方法；3.在探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想回顾正比例函数的图像和性质。回顾画图像的一般步骤。3、列表、描点画图像。4、对于积极思考，勇于回答的同学予以肯定，对于学有困难的同学加以引导5、根据画图情况，肯定学生成绩6、小组合作探究一次函数的图像性质。环节一：回顾旧知环节二：认识一次函数y=kx+b(k<0)的图像。环节三：认识一次函数y=kx+b(k>0)的图像。环节四：认识一次函数y=kx+b的图像确定一次函数的表达式1.掌握求一次函数函数解析式的方法步骤，明确求正比例函数解析式只需要一个条件。求一次函数函数解析式需要二个条件。2.感受求一次函数解析式的过程，体会数形结合的数学思想。3.建立函数的模型，提高学生用函数的思想解决实际问题的能力。1、回顾什么是一次函数函数？一次函数函数的图像是什么 怎样画一次函数。2、小组讨论确定正比例函数表达式的确定只需要几个个条件。3、理解待定系数法求表达式的一般步骤4、小组讨论确定一次函数表达式的确定只需要几个个条件。环节一：复习导入.环节二：确定正比例函数的解析式。环节三： 确定一次函数y=kx+b(≠0）的解析式。一次函数的运用1、初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。会用一次函数的知识解决生活中的问题；2、积极参与数学学习活动，在合作学习中互助，感受成功的喜让学生通过自主、合作、探究构建实际问题的数学模型，培养学生运用一次函数模型解决实际生活问题的能力，体会并感知数学建模的过程和一般思想提高分析问题，用数学知识解决实际问题的能力；3、通过一次函数的应用教学，让学生体会数学的抽象性和广泛应用性，使他们在“探究”的过程中，充分体会数学与社会生活的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心，激发学生学习数学的兴趣。1、学生从图像中发现问题、提出问题、解决问题。2、对例题2的分析，抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题．3、学生独立思考回答问题，进一步体会特殊点的实际意义，并解决实际问题。4、通过前面的活动引导学生总结出解答图像信息题时所用到的数学思想及方法步骤。环节一：情境导入环节二：探究一条直线解决实际问题。环节三：探究二条直线解决实际问题。回顾与反思1、掌握函数的概念，初步形成用函数的观点认识现实世界的意识和能力。2、理解一次函数和正比例函数的概念，会写出简单的一次函数的表达式。3、熟练作出一次函数图象，掌握一次函数及其图象的简单性质。4、能利用函数图象解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。1、学生回顾一次函数的定义，根据定义对一次函数作出正确的判断2、学生在方格纸上画一次函数的图3、回顾求一次函数表达式的一般步骤并求出已知图像的表达式像。4、观察图像得出一次函数的图像的性质并把表格补充完整。5、学生用图像中的信息解决实用问题。环节一：一次函数的定义。环节二：一次函数的图象与性质环节三： 求一次函数的表达式环节四：用图 一次函数的实际应用
《第四章》单元教学设计
丰富的现实背景
函数
一次函数
函数表达式
图象
函数表达式的确定
图象的应用
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