2.5.3直线与圆的位置关系 课件（25张PPT）

(共25张PPT)
教学目标
01
理解切线长的概念，并与切线的概念进行区分
02
掌握切线长定理与隐含结论的证明与运用
03
掌握弦切角定理的证明与运用
切线长定理
01
二、定义
情境引入
如图，PA、PB是 O的切线，切点分别为A、B。PA与PB相等吗？
A
O
B
P
【猜想】PA=PB
01
二、定义
情境引入
【证明】PA=PB
A
O
B
P
如图，连接OA、OB、OP，
∵PA、PB是 O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
即△POA、△POB是直角三角形，
又∵OA=OB，OP=OP，
∴△POA≌△POB(HL)，
∴PA=PB。
01
二、定义
情境引入
我们也可以运用图形运动的方法证实：PA=PB
如图，∵OA⊥PA，OB⊥PB，OA=OB，
∴O在∠APB的平分线，
∴把PB沿直线OP翻折，射线PB与射线PA重合，
又∵过点O有且只有一条直线与PA(PB)垂直，
∴OB与OA重合，即点B与点A重合，
∴PA=PB。
A
O
(B)
P
二、定义
情境引入
02
知识精讲
eg：
PA、PB的长即切线长。
切线长与切线长定理
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
B
P
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；
圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
符号语言：
∵PA、PB是 O的切线，
∴PA=PB，OP平分∠APB。
二、定义
情境引入
02
知识精讲
【辨析】切线就是切线长吗？
A
O
B
P
区别
切线 直线 不可度量
切线长 线段的长 可以度量
02
二、定义
知识精讲
【探究1】如图，连接AB交OP于点C，图中共有几处垂直？
A
O
B
P
∵PA、PB是 O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
PA=PB，OP平分∠APB（切线长定理），
C
【总结】图中共有三处垂直：PA⊥OA，PB⊥OB，AB⊥OP。
又∵OA=OB，CP=CP，
∴△ACP≌△BCP(SAS)，
∴∠ACP=∠BCP=90°，即AB⊥OP。
02
二、定义
知识精讲
【探究2】如图，图中共有几对全等？
由切线长定理的证明可知：△POA≌△POB，
由【探究1】可知：△ACP≌△BCP，
A
O
B
P
C
【总结】图中共有三对全等：
△POA≌△POB，△ACP≌△BCP，△AOC≌△BOC。
∵AB⊥OP，
∴△AOC、△BOC是直角三角形，
又∵OA=OB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC(HL)。
02
二、定义
知识精讲
【探究3】如图，OP与劣弧AB交于点D，与优弧AB交于点E，图中共有几对等弧？
A
O
B
P
C
D
E
02
二、定义
知识精讲
确定圆的条件
切线长定理的隐含结论
A
O
B
P
C
D
E
03
二、定义
典例精析
例1、如图，AB、AC、BD是 O的切线，切点分别是P、C、D。若AB=10，AC=6，则BD的长是________。
【分析】∵AB、AC、BD是 O的切线，切点分别是P、C、D，
∴AP=AC=6，BP=BD（切线长定理），
∵AB=10，
∴BP=4，
∴BD=4。
4
03
二、定义
典例精析
例2、如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为________。
【分析】∵PA、PB分别切 O于A、B，
∴PA=PB=5（切线长定理），
同理：CA=CE，DB=DE，
∴C△PDC=PC+CE+DE+DP=PC+AC+DB+DP=PA+PB=10。
10
03
二、定义
典例精析
例3、如图， O与正方形ABCD的两边AB、AD都相切，且DE与 O相切于点E，正方形ABCD的边长为4，DE=3，则OD的长为________。
【分析】如图，设 O与AB、AD相切于点M、N，
连接OM、ON，
∵∠A=∠AMO=∠ANO=90°，OM=ON，
∴四边形AMON是正方形，∴ON=AN，
∵DN、DE是 O的切线，
∴DN=DE=3（切线长定理），
N
M
二、定义
【总结】
已知：PA、PB是 O的切线，∠P=90°，
结论：四边形PAOB是正方形。
A
O
B
P
03
二、定义
典例精析
例4、如图，PA、PB是 O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则 O的半径等于________。
1
拓展
——弦切角定理
二、定义
情境引入
02
知识精讲
eg：∠BAP即弦切角
弦切角
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
A
O
B
P
二、定义
情境引入
02
知识精讲
【探究1】如图，弦切角∠BAP与圆心角∠AOB有怎样的数量关系？
A
O
B
P
二、定义
情境引入
02
知识精讲
【探究2】如图，弦切角∠BAP与圆周角∠C有怎样的数量关系？
A
O
B
P
C
二、定义
情境引入
02
知识精讲
弦切角定理
弦切角定理：
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角的度数。
A
O
B
P
C
03
二、定义
典例精析
例1、如图，直线AD是△ABC的外接圆相切于点A，若∠B=60°，则∠CAD的度数是_______。
【分析】
由弦切角定理可知：∠CAD=∠B=60°。
60°
03
二、定义
典例精析
例2、如图，AB是 O的直径，DB、DE分别切于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是_______。
【分析】如图，连接BC，
由弦切角定理可知：∠ABC=∠ACE=25°，
∵AB是 O的直径，DB、DE分别切于点B、C，∴∠ABD=90°，BD=CD（切线长定理），
∴∠BCD=∠CBD=65°，
∴∠D=50°。
50°
课后总结
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；
圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
区别
切线 直线 不可度量
切线长 线段的长 可以度量
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角的度数。