第1章反比例函数 同步练习题 湘教版九年级数学上册（含解析）

2023-2024学年湘教版九年级数学上册《第1章反比例函数》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
2．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（　　）
A．2 B．m﹣2 C．m D．4
3．函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．反比例函数y＝﹣与一次函数y＝x﹣2在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．k＞0 B．y随x的增大而减小
C．若矩形OABC面积为2，则k＝2
D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y2
6．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
7．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象交于M（1，m）和N（﹣2，n）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
8．如图，点A、B在反比函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数y＝﹣的图象上，点B在函数y＝的图象上，若AO＝2BO，∠AOB＝90°，则k的值为（　　）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，对角线OB、AC交于点D，点A（6，0），∠AOC＝60°，反比例函数的图象经过点D，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 　 　．
12．如图，点A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y＝的图象于点C，则△OAC的面积为　 　．
13．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为　 　．
14．已知函数y＝﹣，当自变量的取值为﹣1＜x＜0或x≥2，函数值y的取值　 　．
15．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知250度近视眼镜镜片的焦距为0.4米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为　 　．
16．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为　 　．（不要求写出自变量S的取值范围）
三．解答题
17．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于M（2，m）和N（﹣1，﹣4）两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由；
（4）根据图象，若ax+b＜时，直接写出x取值范围．
18．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
19．如图，E为矩形ABCD的边CD上的一个动点，BF⊥AE于F，AB＝2，BC＝4，设AE＝x，BF＝y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围．
20．为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农引进芒果经销商．已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为4元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．
（1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系；
（2）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交于点F．
（1）求反比例函数与直线EF的解析式；
（2）连接OE，OF，求四边形OEBF的面积．
22．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若y1＜y2，求x的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
2．解：设A（x，y），
∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，
∴B（﹣x，﹣y），
∴S△BOM＝|xy|，S△AOM＝|xy|，
∴S△BOM＝S△AOM，
∴S△ABM＝S△AOM+S△BOM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1，则k＝±2．
又由于反比例函数位于一三象限，k＞0，故k＝2．
故选：A．
3．解：由题意得：k﹣1＝﹣1，
解得：k＝0，
故选：A．
4．解：由反比例函数y＝﹣与一次函数y＝x﹣2可知，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，
故选：C．
5．解：如图，k＜0，y随x的增大而增大；
∵矩形OABC面积为2，k＝﹣2，
故选：D．
6．解：∵反比例函数y＝中k＝5＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0，
∴A、B两点在第三象限，C点在第一象限，
∴y3＞y1＞y2．
故选：C．
7．解：由图象可知，y1＜y2时的x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1，
故选：A．
8．解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
∴A（4，3），B（2，6），
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴S△AOD＝S△BOE＝×12＝6，
∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，
∴S△AOB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，
故选：A．
9．解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
∵AO＝2BO，
∴S△AOC：S△BOD＝4，
∵点A在函数y＝﹣的图象上，点B在函数y＝的图象上，
∴S△AOC＝×|﹣8|＝4，S△BOD＝k，
∴4＝4×（k），解得k＝2，
故选：D．
10．解：过C作CM⊥x轴于M，
∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC＝OA＝6，D是AC的中点，
∵∠AOC＝60°，
∴OM＝OC＝3，CM＝OC＝3，
∴C（3，3），
∴D点的坐标是（，），
∵反比例函数的图像经过点D，
∴k＝×＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：延长BA交y轴于E，
∵AB∥x轴，
∴AE垂直于y轴，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴矩形ABCD的面积为3﹣1＝2．
故答案为：2．
12．解：∵AB⊥x轴，
∴S△AOB＝×|6|＝3，S△COB＝×|2|＝1，
∴S△AOC＝S△AOB﹣S△COB＝2．
故答案为：2．
13．解：过A点向x轴作垂线，如图：
根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为3，即|k|＝3，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k＝﹣3，即函数解析式为：y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
14．解：当x＝﹣1时，y＝﹣＝1，
当x＝2时，y＝﹣，
由图象得：当﹣1＜x＜0时，y＞1，
当x≥2时，﹣≤y＜0，
故答案为：y＞1或﹣≤y＜0．
15．解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，
由于点（0.4，250）在此函数解析式上，
∴k＝0.4×250＝100，
∴y＝
故答案为y＝．
16．解：由题意得：郁金香的总数量为3×106株，平均每平方米种植的数量为n，总种植面积为S，
∴可得：n＝．
故答案为：n＝．
三．解答题
17．解：（1）∵把N（﹣1，﹣4）代入y＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝，
∵M（2，m）代入反比例函数y＝得：m＝2，
∴N的坐标是（2，2），
把M、N的坐标代入一次函数y＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数的解析式是y＝2x﹣2；
（2）∵把y＝0代入一次函数的解析式是y＝2x﹣2得：0＝2x﹣2，
解得x＝1，
∴A（1，0），
∴△MON的面积S＝SAOM+S△AON＝×1×2+×1×4＝3；
（3）把x＝4代入y＝得，y＝1，
∴点P（4，1）在这个反比例函数的图象上；
（4）从图象可知：ax+b＜时x的取值范围x＜﹣1或0＜x＜2．
18．解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0），
代入（8，6）得6＝8k1，
∴k1＝，
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0），
代入（8，6）得6＝，
∴k2＝48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为：（x＞8），
∴；
（2）有效，理由如下：
把y＝3代入，得：x＝4，
把y＝3代入，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
∴这次消毒是有效的．
19．解：如图，连接AC．
∵BF⊥AE于F，四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠AFB＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，∠BAF+∠DAE＝90°，AC＝＝2，
∴∠ABF＝∠DAE，
∴cos∠ABF＝，cos∠DAE＝，
∴＝，
y＝（4≤x≤2）．
20．解：（1）当4≤x≤8时，设y与x的函数关系式为y＝，
∵点（4，40）在该函数图象上，
∴40＝，得k＝160，
∴当4≤x≤8时，y与x的函数关系式为y＝，
当8＜x≤28时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，
解得，
即当8＜x≤28时，y与x的函数关系式为y＝﹣x+28，
由上可得y＝；
（2）设利润为w元，
当4≤x≤8时，w＝（x﹣4）y＝（x﹣4） ＝160﹣，
∵k＝﹣640，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，w取得最大值，此时w＝160﹣＝80，
当8＜x≤28时，w＝（x﹣4）y＝（x﹣4）（﹣x+28）＝﹣（x﹣16）2+144，
∴当x＝16时，w取得最大值，此时w＝144，
∵144＞80，
∴当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元，
答：当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元．
21．解：（1）∵OA＝2，OC＝3，E是AB中点，
∴B（2，3），E（2，），
设反比例函数的解析式为y＝，
把E（2，）代入得，
解得：k1＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴点F在BC上，
∴yF＝3，
把yF＝3代入y＝得，xF＝1，
∴F（1，3），
设直线EF的解析式为y＝k2x+b，
把E（2，），F（1，3）代入得，，
解得：，
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+；
（2）S四边形OEBF＝S矩形OABC﹣S△OCF﹣S△OAE＝2×3﹣×1×3﹣×2×＝3．
22．解：（1）点A（1，8）在反比例函数y1＝上，
∴k1＝1×8＝8．
∴．
∵点B（﹣4，m）在反比例函数y1＝上，
∴﹣4m＝8．
∴m＝﹣2．
∴B（﹣4，﹣2）．
∵点A（1，8）、B（﹣4，﹣2）在一次函数y2＝k2x+b的图象上，
∴，
解得：．
∴y2＝2x+6．
∴k1＝8，k2＝2，b＝6．
（2）设直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C，如图，
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6）．
∴OC＝6．
令y＝0，则2x+6＝0，
解得：x＝﹣3．
∴D（﹣3，0）．
∴OD＝3．
过点A作AE⊥y轴于点E过点B作BF⊥x轴于点F，
∵A（1，8），B（﹣4，﹣2），
∴AE＝1，BF＝2．
∴S△AOB＝S△AOC+S△OCD+S△ODB
＝×OC AE+OD OC+OD BF
＝++
＝3+9+3
＝15；
（3）由图象可知，点A右侧的部分和点B与点C之间的部分y1＜y2，
∴若y1＜y2，x的取值范围为：﹣4＜x＜0或x＞1．