第1章因式分解 同步练习题 鲁教版（五四制）八年级数学上册（含解析）

2023-2024学年鲁教版八年级数学上册《第1章因式分解》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列多项式中，不能因式分解的是（　　）
A．a3﹣a B．a2﹣9 C．a2+2a+2 D．a2+a+1
2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an
B．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
C．x2﹣25＝（x+5）（x﹣5）
D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
3．多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（　　）
A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9
4．下列因式分解正确的是（　　）
A．2a2﹣3ab+a＝a（2a﹣3b） B．2πR﹣2πr＝2π（R﹣2πr）
C．﹣x2﹣2x＝﹣x（x﹣2） D．5x4+25x2＝5x2（x2+5）
5．把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（　　）
A．（a﹣2）（m2﹣m） B．m（a﹣2）（m+1）
C．m（a﹣2）（m﹣1） D．m（2﹣a）（m+1）
6．下列多项式：①x2+y2；②﹣x2﹣4y2；③﹣1+a2；④0.081a2﹣b2，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
7．分解因式：6xy2﹣8x2y3＝　 　．
8．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　．
9．因式分解：ax2﹣2ax+a＝　 　．
10．因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝　 　．
11．已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝　 　．
12．已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是（x﹣3）（x﹣5），则（2p+q）2020　 　．
13．分解因式：m3n﹣4m2n+3mn＝　 　．
14．在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝　 　．
15．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　 　．
16．请阅读以下因式分解的过程：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣12
＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]
＝（a+4）（a+2）．
这种因式分解的方法叫做配方法．
请用配方法分解因式：x2+2x﹣3＝　 　．
三．解答题
17．因式分解
（1）2ab2﹣4a2b；
（2）x2﹣5x+6；
（3）﹣3ma2+6ma﹣3m；
（4）（2a+b）2﹣（a+2b）2．
18．分解因式
（1）2ax2﹣8a；
（2）x2﹣2xy+y2﹣1；
（3）（x﹣1）（x﹣3）+1；
（4）16x4﹣81y4．
19．因式分解：
（1）4ab2﹣4a2b﹣b3；
（2）（m﹣1）2+2（m﹣13）．
20．分解因式：
（1）﹣3x3﹣6x2y﹣3xy2．
（2）（a2+9）2﹣36a2．
（3）（a﹣b）2+4ab．
（4）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．
21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．
22．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．
（1）若F（a）＝ 且a为100以内的正整数，则a＝　 　
（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由．
23．阅读下列材料，并完成相应的任务：求根分解法是多项式因式分解的一种方法，是用求多项式对应的方程的根分离出多项式的一次因式．
设f（x）是一元多项式，若方程f（x）＝0有一个根为x＝a，则多项式必有一个一次因式x﹣a，于是f（x）＝（x﹣a）g（x）．
例如，设多项式7x2﹣x﹣6为f（x），则有f（x）＝7x2﹣x﹣6，令7x2﹣x﹣6＝0，容易看出，此方程有一根为x＝1，则f（x）必有一个一次因式x﹣1，那么得到7x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（mx+n）（m、n为常数）而（x﹣1）（mx+n）＝mx2+（n﹣m）x﹣n，所以7x2﹣x﹣6＝mx2+（n﹣m）x﹣n，由系数对应相等可得m＝7，n＝6，所以7x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（7x+6）．
任务：（1）方程x3﹣3x2+4＝0的一根为　 　．
（2）请你根据上面的材料因式分解多项式：x3﹣3x2+4＝　 　．
24．观察下列各式．
①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…
（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2022×2024+1可以是哪个数的平方？
（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．
（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．
25．分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．
x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189
＝（x+6）2﹣225
＝（x+6）2﹣152
＝（x+6+15）（x+6﹣15）
＝（x+21）（x﹣9）
请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．
26．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝　 　．b＝　 　．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1），故本选项不合题意；
B、a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），故本选项不合题意；
C、a2+2a+2在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意；
D、a2+a+1＝，故本选项不合题意；
故选：C．
2．解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是因式分解，故本选项符合题意；
D、因式分解错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故选：C．
4．解：A、2a2﹣3ab+a＝a（2a﹣3b+1），故原题分解错误；
B、2πR﹣2πr＝2π（R﹣r），故原题分解错误；
C、﹣x2﹣2x＝﹣x（x+2），故原题分解错误；
D、5x4+25x2＝5x2（x2+5），故原题分解正确；
故选：D．
5．解：m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）
＝m（a﹣2）（m﹣1）．
故选：C．
6．解：③﹣1+a2；④0.081a2﹣b2，符合公式特点；
①x2+y2；②﹣x2﹣4y2，不符合公式特点．
故选：B．
二．填空题
7．解：6xy2﹣8x2y3＝2xy2（3﹣4xy）．
故答案为：2xy2（3﹣4xy）．
8．解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13或k＝﹣11，
故选：13或﹣11．
9．解：ax2﹣2ax+a
＝a（x2﹣2x+1）
＝a（x﹣1）2．
故答案为：a（x﹣1）2．
10．解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2
＝（m﹣1）2﹣n2
＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．
故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．
11．解：∵x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，且三次项系数为1，
∴设另一个因式为（x+k），
则x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，
∴，
∴2m﹣2n﹣p+86＝2（k+3）﹣2（3k﹣4）+4k+86
＝2k+6﹣6k+8+4k+86
＝100，
故答案为：100．
12．解：根据题意得：（x﹣3）（x﹣5）＝x2﹣8x+15＝x2+px+q，
∴p＝﹣8，q＝15，
则（2p+q）2020＝（﹣16+15）2020＝1．
13．解：m3n﹣4m2n+3mn
＝mn（m2﹣4m+3）
＝mn（m﹣3）（m﹣1）．
故答案为：mn（m﹣3）（m﹣1）．
14．解：原式＝ab（b2﹣5）＝ab（b+）（b﹣），
故答案为：ab（b+）（b﹣）．
15．解：若a﹣b＝3，b﹣c＝2，
则a﹣c＝5．
a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝（9+25+4）
＝×38
＝19．
故答案为19．
16．解：x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝[（x+1）+2][（x+1）﹣2]
＝（x+3）（x﹣1）．
故答案为：（x+3）（x﹣1）．
三．解答题
17．解：（1）原式＝2ab（b﹣2a）；
（2）原式＝（x﹣3）（x﹣2）；
（3）原式＝﹣3m（a2﹣2a+1）
＝﹣3m（a﹣1）2；
（4）原式＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）
＝3（a+b）（a﹣b）．
18．解：（1）原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；
（3）原式＝x2﹣4x+3+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；
（4）原式＝（2x）4﹣（3y）4＝（4x2+9y2）（4x2﹣9y2）＝（4x2+9y2）（2x+3y）（2x﹣3y）．
19．解：（1）4ab2﹣4a2b﹣b3
＝﹣b（﹣4ab+4a2+b2）
＝﹣b（2a﹣b）2；
（2）（m﹣1）2+2（m﹣13）
＝m2﹣2m+1+2m﹣26
＝m2﹣25
＝（m+5）（m﹣5）．
20．解：（1）﹣3x3﹣6x2y﹣3xy2
＝﹣3x（x2+2xy+y2）
＝﹣3x（x+y）2；
（2）（a2+9）2﹣36a2
＝（a2+9﹣6a）（a2+9+6a）
＝（a﹣3）2（a+3）2；
（3）（a﹣b）2+4ab
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+b2
＝（a+b）2．
（4）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3
＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1）
＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．
21．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，
∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0
得：a2+b2＝c2或a＝b，
即△ABC为直角三角形或等腰三角形．
22．解：（1）2×3＝6，4×6＝24，6×9＝54，8×12＝96；
（2）F（m）存在最大值和最小值．
当m为完全平方数，设m＝n2（n为正整数），
∵|n﹣n|＝0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴F（m）＝＝1；
又∵F（m）＝且p≤q，
∴F（m）最大值为1，
此时m为16，25，36，49，64，81
当m为最大的两位数质数97时，F（m）存在最小值，最小值为．
故答案为：6，24，54，96．
23．解：（1）x3﹣3x2+4＝0
（x+1）（x﹣2）2＝0，
所以x＝﹣1，
故答案为﹣1．
（2）x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣m）2
＝（x+1）（x2﹣2mx+m2）
＝x3﹣2mx2+m2x+x2﹣2mx+m2
＝x3+（﹣2m+1）x2+（m2﹣2m）x+m2
所以﹣2m+1＝﹣3，解得m＝2，
所以因式分解多项式：x3﹣3x2+4＝（x+1）（x﹣2）2
故答案为（x+1）（x﹣2）2．
24．解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2022×2023+1＝（2022+2023）2＝40452；
（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：
∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边，
∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；
（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．
25．解：x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．
26．解：（1）∵a2+b2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a+1+b2＝0，
∴（a﹣1）2+b2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，
解得a＝1，b＝0；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9＝0
即：（x﹣y）2+（y+3）2＝0
则：x﹣y＝0，y+3＝0，
解得：x＝y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）﹣3＝﹣；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝1，b＝3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3＝7；