人教版高中数学必修第二册6.4.3.3 余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例 同步精练(含解析)

人教版高中数学必修第二册6.4.3.3 余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例 同步精练
【考点梳理】
考点一．几个专业术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：
坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
考点二　距离问题
类型 图形 方法
两点间不可到达的距离 余弦定理
两点间可视不可到达的距离 正弦定理
两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，再用余弦定理
考点三　高度问题
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
【题型归纳】
题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题
1．（2021·江苏宿迁·高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知的内角，，所对的边分别为，满足，则的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
3．（2021·全国·高一课时练习）在中，，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
题型二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题
4．（2021·天津市实验中学滨海学校高一期中）在锐角中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·吉林·四平市第一高级中学高一期末）在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·重庆南开中学高一阶段练习）中，角，，所对的边分别为，，，若满足，的三角形有两个，则边的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：几何图形中的计算
7．（2021·重庆市育才中学高一期中）如图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为（ ）
A． B． C．14 D．
8．（2021·安徽合肥·高一期末）如图，设的内角所对的边分别为，，且若点是外一点，，则下列说法中错误的是（ ）
A．的内角 B．的内角
C．四边形面积无最大值 D．四边形面积的最大值为
9．（2021·辽宁·高一期末）在中，已知，D是边上一点，如图，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
题型四：求三角形面积最值或者范围问题
10．（2021·四川新都·高一期末）设锐角的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则△面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：正、余弦定理和三角函数综合问题
13．（2021·河北·石家庄市第一中学东校区高一阶段练习）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·江苏省苏州实验中学高一阶段练习）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC边上的高为，则∠ABC的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·广东·深圳中学高一期中）设锐角的内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六：测量距离问题
16．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（ ）
A．米 B．米
C．10米 D．5米
17．（2021·河北邢台·高一阶段练习）一艘船航行到点处时，测得灯塔在其西北方向，如图，随后该船以20海里/小时的速度，按北偏东的方向航行两小时后到达点C，测得灯塔在其正西方向，此时船与灯塔间的距离为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
题型七：测量高度问题
18．（2021·湖北·大冶市第一中学高一阶段练习）在高40 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
19．（2021·全国·高一课时练习）如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（ ）
A．20（）m B．m
C．m D．10（）m
题型八：测量角度问题
20．（2021·江苏·南京市宁海中学高一阶段练习）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知此山的高，小车的速度是，则（ ）
A． B． C． D．
题型九：正、余弦定理在几何中的综合性问题
22．（2021·广东·中山市第二中学高一阶段练习）在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
23．（2021·重庆市江津中学校高一阶段练习）如图，在四边形中，，，.
（1）求；
（2）若，求周长的最大值.
24．（2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一阶段练习）在中，，，分别为角，，的对边，.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
【双基达标】
一、单选题
25．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（ ）
A．120km B．km C．km D．km
26．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）如图所示，为了测量湖中A、B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于西偏北，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于西偏北方向，则A，B两亭子间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
27．（2021·全国·高一课前预习）如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知此山的高，小车的速度是，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2021·全国·高一课前预习）今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（ ）
A． B．
C． D．
29．（2021·全国·高一课时练习）为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
31．（2021·全国·高一课时练习）在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进后测得仰角为，继续在地面上前进以后测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·安徽·安庆九一六学校高一阶段练习）空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A、B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是（ ）
A．米 B．米 C．266米 D．266 米
33．（2021·重庆第二外国语学校高一阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
34．（2021·江苏·泰州中学高一期中）泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所.小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算泰州基督教堂的高度为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
35．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
36．（2011·河南卫辉·高一期末）若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
37．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）若是垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
38．（2021·上海·高一专题练习）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
39．（2020·辽宁·沈阳二中高一期末）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
40．（2021·浙江·高一单元测试）如图，在ABC中，∠BAC=，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC=（ ）
A． B． C． D．
41．（2021·江苏·扬州中学高一期中）在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
42．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
43．（2021·江苏·高邮市第一中学高一阶段练习）在中，a，b，c分别为，，的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，则
44．（2021·河北·沧州市一中高一阶段练习）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
45．（2021·重庆·铜梁一中高一阶段练习）在中，内角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最小值是
46．（2021·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积是 B．若，则的外接圆半径是
C．若，则 D．的最小值是
三、填空题
47．（2020·安徽省岳西县店前中学高一开学考试）如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．
48．（2021·上海·高一期中）在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为___．
49．（2020·全国·高一课时练习）如图，四边形中，，，，，，则的长为______
50．（2021·上海·高一期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的周长的最大值是___________.
51．（2020·吉林·辽源市第五中学校高一期末（理））对于，有如下命题：
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为钝角三角形．
若，则一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是______ 把所有正确的命题序号都填上
四、解答题
52．（2021·全国·高一单元测试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
53．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）已知的内角分别为，其对应边分别是，且满足
．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
54．（2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一阶段练习）在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
55．（2020·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
求A和B的大小；
若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．
【答案详解】
1．A
【分析】
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得，故或者，进而可判断出三角形的形状
【详解】
因为，由正弦定理可得：，
整理可得：，
即，所以或者，
所以或，
而当时则，
所以三角形为直角三角形，
所以，
则中，这时，分母为0无意义
所以，
故选：A．
2．D
【分析】
利用余弦定理将化为，然后化简可得答案.
【详解】
，
由余弦定理可得，则，
则，所以为直角三角形.
故选：D
3．B
【分析】
利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.
【详解】
因，则有，
即有，于是得，
在中，由正弦定理得：，
所以是直角三角形.
故选：B
4．B
【分析】
利用正弦定理化转化为，根据三角恒等变换与三角形的内角和定理得出A与B的关系，化，求出它的取值范围即可.
【详解】
解：锐角中，，
，
，
，
，
，即，若，则，不符合题意舍去；
，
，，
，
又
，
即的取值范围是
故选：B.
5．B
【分析】
由已知利用三角形的面积公式可求的，进而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的周长即可求解其最大值．
【详解】
，
即，又，
解得，，
又，由余弦定理可得：，
，即
当且仅当时取等号，
则周长的最大值是，
故选：B
6．D
【分析】
由正弦定理及题意可得的值，再由余弦定理得关于边的二次方程，由方程有两个正根可求得结果
【详解】
解：因为，所以由正弦定理得,
因为，所以，
因为，所以，
由余弦定理得，，由于，
所以，
因为满足条件的三角形有2个，所以方程有两个根，
所以，即，
解得，
故选：D
7．D
【分析】
设，在中，由余弦定理求得，设，结合正弦定理求得，得到，进而求得的值，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
设，
在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，
设，由正弦定理知，解得，所以，
所以，
所以.
故选：D.
8．C
【分析】
根据题设条件和正弦定理化简得，求得，得到，可判定A、B正确；由四边形面积等于，可判定D正确，C错误．
【详解】
因为，
由正弦定理，可得，
所以，即，
因为，可得，所以，解得，
又因为，所以，所以A、B正确；
由四边形面积等于
，
所以D正确，C错误．
故选：C.
9．B
【分析】
在中利用余弦定理求得，在中由正弦定理可求得．
【详解】
，根据余弦定理，
，，，根据正弦定理，
则．
故选：B
10．C
【分析】
利用正弦定理、三角恒等变换求得，利用正弦定理求得，求出角的取值范围，结合三角形的面积公式以及正切函数的基本性质可求得结果.
【详解】
因为，由正弦定理可得，
因为为锐角，则，所以，，即，
所以，，，，则，，
，由正弦定理，则有，
因为为锐角三角形，则，解得，所以，，
所以，.
故选：C.
11．C
【分析】
由正弦定理边角关系得，则，由题设得，结合二次函数的性质即可求△面积的最大值.
【详解】
∵，
∴由正弦定理得且，即且，
∴，
∴时，△面积取最大值．
故选：C．
12．D
【分析】
先运用正弦定理边角互化得出边之间的关系，再结合余弦定理求出角A，再用一次余弦定理结合不等式求解三角形面积最值.
【详解】
由且.
即.
由正弦定理得：.
所以，故，所以.
则由余弦定理：.
所以，，当且仅当时等号成立.
所以..
故选D.
【点睛】
方法点睛：已知三角形中一角A及其对边a求三角面积最大值时，通常用如下的做法：
第一步：由余弦定理，
从而，当且仅当时等号成立.
第二步：..
13．A
【分析】
先根据条件可得，然后把化为，结合角的范围可得的取值范围.
【详解】
由和余弦定理得，又，∴．
因为三角形为锐角三角形，则，即，解得．
，
∵，即，所以，
则，因此，的取值范围是．
故选：A
【点睛】
三角形中的范围问题，一般有两个处理思路：（1）把目标式转化为关于边的代数式，结合基本不等式及三角形边长间的关系求解；（2）把目标式转化为单角函数式，结合角的范围求解.
14．B
【分析】
由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论.
【详解】
，
由余弦定理可得，整理可得，
又AC边上的高为，所以，即，
，当且仅当取等号，
，即，即，
，，则，
，故∠ABC的最大值为.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得，由基本不等式得.
15．D
【分析】
由给定条件结合正弦定理边化角，求出角C，再利用正弦定理借助三角函数恒等变换即可作答.
【详解】
中，由正弦定理得：,
整理变形得：，
而，则，，于是得，
则，令，于是有，因为锐角三角形，即，
由正弦定理得，
，
而，则有，即，
所以的取值范围为.
故选：D
16．B
【分析】
结合图形由余弦定理可得答案.
【详解】
设，则，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，解得或（舍），
故选：B.
17．C
【分析】
由正弦定理可得答案.
【详解】
由题意可知海里，由正弦定理可得，即，解得，
所以海里.
故选：C.
18．B
【分析】
根据仰角与俯角概念列式求解.
【详解】
如图,
由题意得这座塔的高为
，
故选：B.
19．C
【分析】
在直角三角形中表示出，然后由余弦定理求解．
【详解】
由已知，得，则在中，由余弦定理，得，即，得.
故选：C．
20．C
【分析】
在ABC中，由正弦定理得AC＝m，再在ADC中，由正弦定理得解.
【详解】
由题知，，，所以，.
在ABC中，由正弦定理得，
又m，∴AC＝m．
在ADC中，，m，
由正弦定理得，
∴.
故选：C.
21．A
【分析】
可由，算得,由，算得,由行使时间和速度算得，再由余弦定理解出.
【详解】
由题意可得，，
，，，
则，.
因为，所以由余弦定理可知，.
故选：A.
【点睛】
解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
22．（1）；（2）
【分析】
（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】
（1）由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
（2），
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.
23．（1）；（2）12
【分析】
（1）在中，利用正弦定理可求得结果；
（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.
【详解】
（1）在中，，
利用正弦定理得：，
又为钝角，为锐角，
（2）在中，由余弦定理得
解得：或（舍去）
在中，，设
由余弦定理得，即
整理得：，又
利用基本不等式得：，即，
即，当且仅当时，等号成立，即，
所以
所以周长的最大值为12
【点睛】
方法点睛：本题考查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.
24．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角的大小；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简，再由锐角三角形得出的范围，进而得出答案．
【详解】
（1）由已知，结合正弦定理，得.
再由余弦定理，得，又，则.
（2）由，，则由正弦定理，有
因为为锐角三角形，则，则.
所以的取值范围为.
25．D
【分析】
设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出．
【详解】
设15min后飞机到了处，则，
由题意，，
，，
，所以，所以，
从而，于是
，，
中，，
．
故选：D．
26．C
【分析】
由条件解求，在中利用正弦定理解求，在中利用余弦定理求AB，由此可得A，B两亭子间的距离.
【详解】
由题意，可得，
∴ ．
在等腰直角中，
∴ ，．
在中，由正弦定理得，解得．连接AB．
在中，由余弦定理可得，
解得，
即A、B两个亭子之间的距离为米．
故选：C.
27．A
【分析】
分析出、均为直角三角形，求出、的长，计算出的长，再利用余弦定理可求得的值.
【详解】
由题意，得平面，、平面，故，，
所以，、均为直角三角形，且，，
由，可得，．
因为，所以．
故选：A．
28．C
【分析】
构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.
【详解】
如图，中，，，，，
由正弦定理得，
所以船与岛的最近距离：
故选：C.
29．C
【分析】
先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.
【详解】
依题意，在中，，，
，可得，
则 ，
在中，，，则，
又中，，由余弦定理可得：
则.
故塔尖之间的距离为.
故选：C.
30．C
【分析】
要求树的高度，需求的长度，要求的长度，在中利用正弦定理可得.
【详解】
解：在中，
又由正弦定理得：，
树的高度为
故选：C.
31．B
【分析】
作出平面示意图：且，应用余弦定理求，进而求，即可求该山峰的高度.
【详解】
由题设，若且，
∴，
∴由余弦定理知：，又，
∴，则，
∴该山峰的高度米.
故选：B
32．B
【分析】
根据题意在中根据余弦定理即可求解.
【详解】
解：由题意知：D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，
设米，
，
则米，米，
在中，
由余弦定理得：，
即，
解得：，
故测量时气球到地面的距离是米．
故选：B.
33．D
【分析】
利用降次公式、余弦定理化简已知条件，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，即，
所以，
由余弦定理得，
化简得，所以三角形是直角三角形.
故选：D
34．D
【分析】
在求出，在中利用正弦定理求出，在即可求得.
【详解】
在中，，
，
所以，
在中，，，
，
由正弦定理可得即，
所以，
在中，，
所以估算泰州基督教堂的高度为，
故选：D.
35．B
【分析】
首先利用余弦定理求出，再由利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得，即可判断三角形的形状；
【详解】
解：，
，
，
，
，
根据余弦定理有，
，
，
，
，
又由，
则，即，
化简可得，，
即，
是等边三角形
故选：．
36．C
【分析】
由正弦定理可以设a＝3x，b＝5x，c＝7x(x>0)，再计算cosC＜0，即得三角形是钝角三角形.
【详解】
由正弦定理及已知条件sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，可设a＝3x，b＝5x，c＝7x(x>0)．则cos C＝，所以C为钝角．所以△ABC为钝角三角形．
故答案为C
【点睛】
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形形状的判定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判定三角形的形状，一般先求最大角的余弦再判断三角形的形状.
37．D
【分析】
利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
【详解】
在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．
38．D
【分析】
先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求
【详解】
由题
即，由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ，故
故为顶角为的等腰三角形
故选D
【点睛】
本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题
39．B
【分析】
先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．
【详解】
作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．
则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2．
又∵C1C2=
而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2=2（∠QOC+∠POC）=2∠QOP=150°
∴==．
∴△ABC的周长的最小值为．
故选B．
【点睛】
本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小．
40．B
【分析】
在中利用正弦定理得结合平方关系求解即可
【详解】
在中，，解得又 所以
故选：B.
41．B
【分析】
由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．
【详解】
∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．
42．D
【分析】
利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件得出，根据为锐角三角形得出角的取值范围，可得出的取值范围.
【详解】
，即，化简得.
由正弦定理边角互化思想得，
即，所以，，
，
，，，，，
是锐角三角形，且，所以，
解得，则，所以，，
因此，的取值范围是，故选D.
【点睛】
本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
43．ACD
【分析】
多项选择题，一个一个选项验证：
对于A：利用正弦定理判断，在三角形中只能A=B,即可判断；
对于B：∵由正弦定理得 ，可以判断∴为等腰三角形或直角三角形；
对于C：利用三角函数化简得
，利用判断必有一个小于0，即可判断；
对于D：利用正弦定理判断得求出角.
【详解】
对于A：∵由正弦定理得：，而，∴，
∵A+B+C=π，∴只能A=B,即为等腰三角形，故A正确；
对于B：∵由正弦定理得：，
∴若可化为,即，
∴或
∴为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：∵A+B+C=π，
∴，
∴
.
∵而
∴必有一个小于0，
∴为钝角三角形.
故C正确；
对于D：∵，
∴由正弦定理得：,
即
∴
∵∴.
故D正确.
故选：ACD
【点睛】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
44．AC
【分析】
利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知为等边三角形，从而判断；利用四点，，，共圆，四边形对角互补，从而判断；设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求，利用正弦函数的性质，求出最值，判断．
【详解】
由正弦定理，
得，
，
，B是等腰的底角，，
是等边三角形，A正确；
B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知，
但由于时，
，
∴B不正确．
C正确，D不正确：
设，则，
，
，
，
，
，
，
，∴C正确，D不正确；
故选：AC.．
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
45．AD
【分析】
先根据三角形面积公式得出，再利用基本不等式可求解.
【详解】
由题意知，
由角平分线的性质以及面积公式可得，
化简得，
，当且仅当时成立，解得，故A正确，B错误；
，，
，
当且仅当，即时等号成立，故C错误，D正确.
故选：AD.
【点睛】
关键点睛：由角平分线的性质以及面积公式得出，再利用基本不等式是解决本题的关键.
46．ACD
【分析】
A、B、C选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.
【详解】
因为，角的平分线交于，所以，，所以，，
由正弦定理得，
所以，
所以，故A正确；
因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以，故B错误；
因为，由正弦定理，因为和互补，所以，所以，故C正确；
设，则，
因为，
所以
若，则，
若，则
，令，，
，当且仅当，即或时，则或，故或（舍去），
综上：当为等边三角形时，的最小值是，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
47．150
【详解】
试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为150．
考点：正弦定理的应用．
48．
【分析】
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，由条件利用正弦定理及勾股定理可得x＝3y，再由几何关系表示正切值得＝＝，从而得解.
【详解】
由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为，所以，，化简，得：
，解得：x＝3y
，，，
＝＝
＝＝，当且仅当时取得最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角形中的正弦定理及勾股定理，两角和的正切公式，利用基本不等式求最值，着重考查了数形结合的思想及转化与化归的能力，属于难题.
49．
【分析】
连接AC,设,则，在中可求，由两角差的余弦公式可求，再在中由余弦定理可表示，建立等量关系即可得解.
【详解】
连接AC,设,则，如图：
故在中， ，
，
又在中由余弦定理有,解得,即，
故答案为.
【点睛】
本题考查两角差的余弦公式和余弦定理，属于基础题.
50．9
【分析】
利用正弦定理把已知等式角化边，然后经过适当变形后可得，利用基本不等式可得，所以，解不等式可求得，最后可得周长的最大值.
【详解】
对已知等式进行角化边可得：，
因为，所以，即，
因为，，所以，
所以，即，当且仅当时，，
所以，即的周长的最大值为9.
故答案为：9.
【点睛】
关键点睛：解题关键是由基本不等式得到，进而建立起关于的不等式，从而求出的范围，进而得解.
51．，，
【分析】
三角形中首先想到内角和为，每个内角都在内，然后根据每一个命题的条件进行判定
【详解】
或，为等腰或直角三角形
正确；
由可得
由正弦定理可得
再由余弦定理可得，为钝角，命题正确
全为锐角，命题正确
故其中正确命题的序号是，，
【点睛】
本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为，然后代入化简
52．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】
（1）由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
（2）由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.
53．(1) .
(2).
【详解】
分析：（1）先根据正弦定理进行边化角，然后结合三角函数正弦的和差公式逆运用即可；（2）先由正弦定理得出，，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可.
详解：
（Ⅰ） ，由正弦定理得：，
即，于是，
从而；
（Ⅱ）由正弦定理得：，，，
，（其中，
所以当时，的最大值是.
点睛：考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用转化为解题关键，属于中档题.
54．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用已知和正弦定理化简，结合余弦定理可得角的值；
（2）由于，，利用正弦定理，可得，以及的面积，利用为锐角三角形，可得面积的取值范围．
【详解】
（1）由已知及正弦定理，得，即，即，即.
由余弦定理，得，因为，所以.
（2）因为，，由正弦定理，得
.
所以.
因为为锐角三角形，则，从而，所以.
55．（1），（2）
【分析】
利用正余弦定理化简即求解A和B的大小．
利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值．
【详解】
解：，
由正弦定理得：，
，，
可得，即;
,
,
由．
由余弦定理可得：，
，
．
如图所示:
设，,
在中由正弦定理,得,
由可知,,
所以:,
同理,
由于,
故，此时．
故的面积的最小值为．
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