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数学
第十章 概率
10．1 随机事件与概率
10．1.1 有限样本空间与随机事件
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义．
2．理解随机事件与样本点的关系． 1.数学抽象：随机试验的概念及特点、样本点和样本空间的含义．
2．数学建模：能判断随机事件、必然事件、不可能事件．
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在__________下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且__________；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先__________出现哪一个结果．
相同条件
不止一个
不能确定
2．样本点和样本空间
定义 表示
样本点 随机试验E的每个可能的__________称为样本点 ____
样本空间 全体________的集合称为试验E的样本空间 ____
基本结果
ω
样本点
Ω
定义 表示
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间______________________________为有限样本空间 ______________________________
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
Ω＝{ω1，ω2，…，
ωn}
3.事件的分类
随机事件 我们将样本空间Ω的______称为随机事件，简称事件，并把只包含______样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
子集
一个
必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中________________发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在____________都不会发生，我们称 为不可能事件
总有一个样本点
每次试验中
1．如何确定试验的样本空间？
提示：确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
2．观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
提示：不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)试验的样本点的个数是有限的．( )
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件．( )
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一样本点．( )
(4)必然事件一定发生．( )
(5)不可能事件一定不发生．( )
×
√
×
√
√
2．(多选)下列现象中，是随机现象的有( )
A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
B．若a为整数，则a＋1为整数
C．发射一枚炮弹，命中目标
D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品
√
√
√
3．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________．
解析：从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：(1，2)，(1，3)，(2，3)，所以Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}．
答案：{(1，2)，(1，3)，(2，3)}
4．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．
其中________是随机事件，________是不可能事件．(均填序号)
解析：因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件，①③是随机事件．
答案：①③ ②
探究点1 样本点与样本空间
指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1，3，6，10中任取两个数(不重复)，它们的差．
【解】 (1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)由题意可知1－3＝－2，3－1＝2，1－6＝－5，6－1＝5，1－10＝－9，10－1＝9，3－6＝－3，6－3＝3，3－10＝－7，10－3＝7，6－10＝－4，10－6＝4.
即试验的样本空间Ω＝{－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4}．
1．(变设问)在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．
解：样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
2．(变设问)在本例(2)中，从1，3，6，10中任取两个数(不重复)，分别作为平面内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间．
解：由题意可知，样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．
确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚．指出下列随机事件的含义．
(1)事件M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)事件N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)事件P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
解：(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”．
探究点2 事件类型的判断
[问题探究]
样本空间与随机事件是什么关系？
探究感悟：每个随机事件都是样本空间的子集．
(1)“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”是( )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
√
(2)(多选)(2021·江苏省清江中学高一检测)在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，则下列事件是随机事件的是( )
A．3件都是红色 B．3件都是白色
C．至少有1件红色 D．有1件白色
【解析】 (1)掷出的3枚骰子全是6点，该事件可能发生，但发生的可能性较小．
√
√
(2)在10件同款式衣服中，有8件红色，2件白色，从中任意抽取3件，对于A，抽取的3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件都是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件；对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，C为必然事件，所以C不是随机事件；对于D，抽出的3件中，白色的件数有0，1，2三种可能，即有1件白色是随机事件，所以D是随机事件．故选AD.
判断事件类型的思路
(1)看清条件，因为3种事件都是相对于一定条件而言的．
(2)看该事件是一定发生，不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
1．下列事件中是随机事件的是( )
①当x>10时，lg x≥1；
②当x∈R，x2＋x＝0有解；
③当a∈R时，关于x的方程x2＋a＝0有解；
④当sin α>sin β时，α>β.
A.①② B．②③
C．③④ D．①④
√
解析：①lg x≥1 x≥10，因为当x>10时，一定有x≥10成立，因此①是必然事件，故①不符合题意；②x2＋x＝0 x＝0或x＝－1，因此当x∈R时，x2＋x＝0一定有解，因此②是必然事件，故②不符合题意；③只有当a≤0时，方程x2＋a＝0在实数集内才有解，因此③是随机事件，故③符合题意；④当α＝0°，β＝181°时，显然sin α>sin β成立，但是α>β不成立，因此④是随机事件，故④符合题意．故选C.
2．下列事件：①当x是实数时，x－|x|＝2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团标的数字是偶数；④体育彩票某期的特等奖号码．其中是随机事件的是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
√
解析：对于①，当x是实数时，方程x－|x|＝2无解，故①是不可能事件；对于②，某班一次数学测试，及格率低于75%是随机事件；对于③，从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团标的数字是偶数是随机事件；对于④，体育彩票某期的特等奖号码是随机事件．故随机事件为②③④.故选C.
1．(多选)下列事件是随机事件的有( )
A．如果a>b，那么a－b>0
B．任取一实数a(a>0且a≠1)，则函数y＝logax是增函数
C．某人射击一次，命中靶心
D．从装有1红、2白共3个球的袋子中，摸出一黄球
√
√
解析：A是必然事件；B中当a>1时，y＝logax单调递增，当0
2．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是( )
A．3个都是男生
B．至少有1个男生
C．3个都是女生
D．至少有1个女生
解析：由于只有2个女生，而要选派3人，故至少有1个男生．选B.
√
3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则事件A“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”的样本点个数为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：样本空间如表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次得到的数．
√
则事件A＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，共10个样本点．故选B.
1 2 3 4 5
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5)
4．写出下列试验的样本空间：
(1)同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果．
解：(1)该试验的样本空间Ω＝{3，4，5，…，18}．
(2)该试验所有可能的结果如图所示．
因此，该试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
请做：应用案 巩固提升
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数学
第十章 概率
10．1.3 古典概型
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.了解概率的含义．
2．结合具体实例，理解古典概型．
3．能计算古典概型中随机事件的概率． 1.数学抽象：理解古典概型的概念及其特征．
2．数学运算、数学建模：应用古典概型的概率公式解决实际问题．
1．事件的概率
对随机事件发生________大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用__________表示．
2．古典概型
(1)事件特征
①有限性：样本空间的样本点只有________；
②等可能性：每个样本点发生的可能性______．
可能性
P(A)
有限个
相等
(2)定义
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
1．若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
提示：不一定是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．
2．如何从集合的角度理解古典概型的概率公式？
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)观察100粒黄豆发芽的试验是古典概型．( )
(2)任何一个事件都是一个样本点．( )
(3)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )
(4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )
×
×
√
√
2．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“向上的面上的点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
√
√
4．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲．
其中属于古典概型的是________．(填序号)
答案：③
探究点1 古典概型的判断
判断下列试验是否为古典概型：
(1)在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽；
(2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
(3)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表．
【解】 (1)这个试验的结果只有两个：“发芽”与“不发芽”，具备了有限性．而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性不一定相等，即不一定具备等可能性，因此该试验不一定是古典概型．
(2)属于有放回抽样，依次摸出的球可以重复，所有可能的结果有无限个，因此该试验不是古典概型．
(3)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果，因此该试验是古典概型．
古典概型的判断方法
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．
(多选)下列问题中是古典概型的是( )
A．小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B．从甲地到乙地共5条线路，且这5条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
√
√
解析：对于A选项，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；对于C选项，在区间[1，4]中样本点的个数是无限多个，故C不是古典概型；对于B和D选项，其中样本点的发生是等可能的，且是有限个．故选BD.
探究点2 简单古典概型的概率计算
[问题探究]
抛掷一枚质地均匀的骰子，得到偶数点的结果有哪些？列举样本点可借助哪些方法？
探究感悟：设事件A＝“得到偶数点”，则事件A＝{2，4，6}．
常用列举方法有直接列举法、列表法、画树状图法．
√
√
(2)试验发生包含的样本点是两数之和，共有如表所示的36个．
5 5 6 7 8 9 10
4 4 5 6 7 8 9
3 3 4 5 6 7 8
2 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
[注意] 在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
√
√
探究点3 复杂古典概型的概率计算
已知口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：
(1)从袋中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个球后放回，再摸出一个球，两次摸出的球是一红一白的概率．
1．(变设问)保持本例前提条件不变，若从袋中摸出一个球后放回，再摸出一个球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．
2．(变设问)保持本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率．
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a，b)，(b，a)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．
从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，连续取两次．
(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取出后放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解：(1)不放回地连续取两次，其样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
(2)有放回地连续取两次，其样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}．
1．(多选)下列有关古典概型的说法中，正确的是( )
A．试验中样本点的个数是有限的
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本空间中的样本点个数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝
√
√
√
解析：B中所说的事件不一定是基本事件，所以B不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知A，C，D正确．故选ACD.
√
√
4．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中有2只白球、2只红球、2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：
(1)2只球都是红球的概率；
(2)“恰有1只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？
解：记2只白球分别为a1，a2；2只红球分别为b1，b2；2只黄球分别为c1，c2.
从中随机取2只球的所有样本点为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共15个．
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数学
第十章 概率
10．1.4 概率的基本性质
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.结合实例，理解概率的基本性质．
2．掌握随机事件概率的运算法则． 1.数学抽象：理解并识记概率的性质．
2．数学运算：会利用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题．
概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有______________．
性质2：必然事件的概率为____，不可能事件的概率为____，即P(Ω)＝____，P( )＝____．
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_______________________．
P(A)≥0
1
0
1
0
P(A)＋P(B)
推广：如果事件A1，A2，…，Am 两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am).
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
1．设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？
提示：不一定. 当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
2．如何从集合的角度理解性质3和性质4
提示：对于性质3，可以从集合的并集运算理解；对于性质4，可以从集合的补集运算理解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意事件A发生的概率P(A)总满足0(2)若事件A为随机事件，则0(3)事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率．( )
(4)事件A与事件B互斥，则有P(A)＝1－P(B).( )
×
√
×
×
√
3．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝________．
答案：0.8
4．已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)＝________．
答案：0.3
探究点1 互斥事件的概率
(2021·湖北武汉二中高二联考)某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9，则透镜落地3次以内(含3次)打破的概率是( )
A．0.378 B．0.3
C．0.58 D．0.958
√
【解析】 透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为P1＝0.3，
恰在第二次落地打破的概率为P2＝0.7×0.4＝0.28，
恰在第三次落地打破的概率为P3＝0.7×0.6×0.9＝0.378，
所以透镜落地3次以内(含3次)打破的概率为P＝P1＋P2＋P3＝0.958.故选D.
运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤
(1)确定题中哪些事件彼此互斥；
(2)将待求事件拆分为几个互斥事件的和；
(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
2．(2021·山东烟台高二期中)从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A∪B)＝________．
解析：一副扑克牌(52张，无大小王)中有红桃K1张，黑桃13张．
探究点2 对立事件的概率
[问题探究]
在同一试验中，设A，B是两个随机事件，“若A∩B＝ ，则称A与B互为对立事件”，这一结论对吗？
探究感悟：这个结论不对．对立事件是互斥事件的特殊情况，除了满足A∩B＝ 外，A∪B还必须为必然事件，所以要使A，B为对立事件，还需满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.
√
探究点3 概率性质的综合应用
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．
现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
某医院派出医生下乡免费坐诊，派出医生人数及其概率如下：
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生不超过4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
医生人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，
所以x＝0.3.
(2)由派出医生不超过4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生至少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋z＝0.44，
所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
1．若A与B为互斥事件，则( )
A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
解析：选D.若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)≤1.故选D.
√
2．(2021·黑龙江大庆市第十中学高二期末)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
解析：设事件A为“只用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“不用现金支付”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.4.故选B.
√
√
4．某学校一位教师要去某地参加全国数学优质课比赛，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.1，0.2，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率．
解：记事件A＝“他乘火车去”，B＝“他乘轮船去”，C＝“他乘汽车去”，D＝“他乘飞机去”．
由题意可知，P(A)＝0.3，P(B)＝0.1，P(C)＝0.2，P(D)＝0.4，且事件A，B，C，D两两互斥．
(1)“他乘火车或乘飞机去”即为事件A∪D，
则P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
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数学
第十章 概率
10．1.2 事件的关系和运算
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义．
2．能结合实例进行随机事件的并、交运算． 1.数学抽象：明确事件间的关系、事件的并事件和交事件的含义．
2．逻辑推理：事件的运算及事件间关系的判断．
事件的关系和运算
(1)包含关系
定义 一般地，若事件A发生，则事件B__________，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义 A发生导致B发生
符号表示 B____A(或A____B)
一定发生
图形表示
特殊情形 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A 且A B，则称事件A与事件B______，记作________
相等
A＝B
(2)并事件(和事件)
定义 一般地，事件A与事件B____________发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
含义 A与B至少有一个发生
符号表示 ________(或________)
图形表示
至少有一个
A∪B
A＋B
(3)交事件(积事件)
定义 一般地，事件A与事件B______发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
含义 A与B同时发生
符号表示 ________(或______)
图形表示
同时
A∩B
AB
(4)互斥(互不相容)
定义 一般地，如果事件A与事件B______________，也就是说________是一个不可能事件，即____________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 ____________
图形表示
不能同时发生
A∩B
A∩B＝
A∩B＝
(5)互为对立
定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且____________，那么称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记为____
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 A∪B＝Ω且A∩B＝
图形表示
A∩B＝
1．抛掷一枚骰子一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生吗？
提示：因为5>4，故事件B发生时事件A一定发生．
2．命题“事件A与事件B为互斥事件”与命题“事件A与事件B互为对立事件”是什么关系？(指充分性与必要性)
提示：根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与事件B为互斥事件”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A＝B，则A，B同时发生或A，B同时不发生．( )
(2)两个事件的和指两个事件至少有一个发生．( )
(3)已知事件A与事件B，如果B A且A B，则A＝B.( )
√
√
√
2．抛掷一枚硬币，观察落地的结果，A＝{正面朝上}，B＝{反面朝上}，则( )
A．A B B．A B
C．A＝B D．A，B互斥
√
3．同时抛掷两枚硬币，两枚都是正面向上为事件M，至少有一枚是正面向上为事件N，则有( )
A．M N B．M N
C．M＝N D．M∩N＝
√
4．抛掷一枚骰子，“向上一面的点数是1或2”为事件A，“向上一面的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．A＝B
C．A∪B表示向上一面的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上一面的点数是1或2或3
解析：设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上一面的点数为1或2或3.
√
探究点1 事件关系的判断
[问题探究]
判断两个事件是对立事件的标准是什么？
探究感悟：①看两个事件是否是互斥事件，②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件，否则不是．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件．如果是，再判断它们是不是互为对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
【解】 判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生．判断两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
1．事件A与事件B的关系如图所示，则( )
A．A B B．A B
C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件
解析：由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且A∪B≠Ω，因此A与B互斥而不对立，故选C.
√
2．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( )
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有红球也有白球
D．取出的3个球中不止一个红球
√
解析：从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球．故选D.
探究点2 事件的运算
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【解】 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(变条件、变设问)在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A，B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A C，B C，E C，所以C＝A∪B∪E.而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
事件间运算的方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
投掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)D，AC.
解：(1)A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，
B＋C＝{出现1，2，4或6点}．
(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
AC＝{出现1点}．
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A B
B．A∩B＝{出现的点数为6}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
√
解析：由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为6}．
2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
解析：由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们为互斥事件．
√
3．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球. 在上述事件中，是对立事件的为________．
解析：①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．
答案：②
4．某校准备召开一次团代会，其中1班共有9名团员(5男4女，其中班长李青为女生)，现需要选5个代表去参会，其中男生指定选m人，且每个团员被选到的机会相等，那么：
(1)当m为何值时，“选到李青”为必然事件？
(2)当m为何值时，“选到李青”为不可能事件？
(3)当m为何值时，“选到李青”为随机事件？
解：(1)如果“选到李青”为必然事件，那么4个女生必然全部参加，故男生人数m＝1时符合题意．
(2)如果“选到李青”为不可能事件，那么4个女生一定都不参加，故男生人数m＝5时符合题意．
(3)如果“选到李青”为随机事件，那么参加的女生最少1个，最多3个，故男生人数m＝2或3或4时符合题意．
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