人教版高中数学选择性必修第二册 基本初等函数的导数 分层作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册 基本初等函数的导数 分层作业(原卷版)
(60分钟　100分)
知识点1　几个常用函数的导数公式的应用
1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于(　　)
A． B．
C． D．
2．(5分)给出下列结论：
①若f(x)＝，则f′(x)＝－；
②若f(x)＝，则f′(x)＝；
③若f(x)＝3，则f′(1)＝0.
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
3．(5分)(多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C． D．
4.(5分)已知抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点的坐标为________．
知识点2　基本初等函数的导数
5．(5分)若函数f(x)＝cosx，则f′＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．
6．(5分)已知函数f(x)＝2－x，则f′(x)＝(　　)
A．－xln 2
B．xln 2
C．xlog2e
D．x
7．(5分)给出下列结论：
①(cosx)′＝sinx；
②′＝cos；
③若y＝，则y′＝－；
④′＝.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
8.(5分)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
10.(5分)直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
11．(5分)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝(　　)
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
A．64 B．32
C．16 D．8
13.(5分)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．
14.(5分)下列结论正确的有________．
①若f(x)＝x4，则f′(2)＝32；
②若f(x)＝，则f′(2)＝－；
③若f(x)＝，则f′(1)＝－；
④若f(x)＝x－5，则f′(－1)＝－5.
15.(5分)曲线f(x)＝ln x在点M(e，1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．
16.(5分)已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
17.(10分)求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝2sincos.
18.(10分)已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
人教版高中数学选择性必修第二册 基本初等函数的导数 分层作业(解析版)
(60分钟　100分)
知识点1　几个常用函数的导数公式的应用
1．(5分)已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：∵f(x)＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1，
∴f′(1)＝α＝.
2．(5分)给出下列结论：
①若f(x)＝，则f′(x)＝－；
②若f(x)＝，则f′(x)＝；
③若f(x)＝3，则f′(1)＝0.
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
3．(5分)(多选)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C． D．
AB　解析：切线的斜率k＝tan π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选AB．
4.(5分)已知抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点的坐标为________．
(0，－a2)　解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
知识点2　基本初等函数的导数
5．(5分)若函数f(x)＝cosx，则f′＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．
C　解析：∵f′(x)＝－sinx，
∴f′＝－sin＝－1.
6．(5分)已知函数f(x)＝2－x，则f′(x)＝(　　)
A．－xln 2
B．xln 2
C．xlog2e
D．x
A　解析：∵f(x)＝2－x＝x，
∴f′(x)＝xln＝－xln 2.
7．(5分)给出下列结论：
①(cosx)′＝sinx；
②′＝cos；
③若y＝，则y′＝－；
④′＝.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
B　解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sin ＝，而′＝0，所以②错误.′＝(x－2)′＝，所以③错误.′＝＝，所以④正确.
8.(5分)已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
eln 3　解析：设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3，①
所以k＝3x0ln 3，
所以y＝3x0ln 3·x.
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3x0ln 3·x0＝3x0，②
所以x0＝＝log3e.
所以k＝eln 3.
9.(5分)已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
1　解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.
10.(5分)直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
ln 2－1　解析：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
∵y′＝(ln x)′＝，
∴＝，
∴x0＝2，y0＝ln 2.
由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.
11．(5分)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝(　　)
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
C　解析：f0(x)＝sinx，
f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝f′3(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，故f2 020(x)＝f4(x)＝cosx.
A．64 B．32
C．16 D．8
13.(5分)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________．
　解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
14.(5分)下列结论正确的有________．
①若f(x)＝x4，则f′(2)＝32；
②若f(x)＝，则f′(2)＝－；
③若f(x)＝，则f′(1)＝－；
④若f(x)＝x－5，则f′(－1)＝－5.
①③④　解析：对于①，f′(x)＝4x3，f′(2)＝4×23＝32，正确；
15.(5分)曲线f(x)＝ln x在点M(e，1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．
　x－ey＝0　解析：∵f′(x)＝(ln x)′＝，
∴f′(e)＝.
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
16.(5分)已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
1　解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝(x>0)，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，
解得x＝1或x＝－.
因为x＞0，所以x＝1.
17.(10分)求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝2sincos.
解：(1)∵y＝＝x－4，∴y′＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝2sincos＝sinx，
∴y′＝cosx.
18.(10分)已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0，
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
设切点坐标为M(x0，y0)，则切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.