人教A版必修二8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积 课下分层作业（含解析）

人教A版必修二8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课下分层作业
A　基础能力达标
1．如图，ABC A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA′B′B的体积是(　　)
A. B.
C. D.
2.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥P ABCD的体积为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
3．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　)
　　
A. B.
C．2　　　 D.
4．如图，已知正三棱锥 S ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
5.若 E，F 是三棱柱 ABC A1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E ＝CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 A BEFC 的体积．
B　核心素养提升
6．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
7．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
8．如图所示，已知三棱柱ABC A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC A′B′C′的体积V＝Sa.
8.3.1课下分层作业答案与解析
A　基础能力达标
1.解析：选C.因为VC A′B′C′
＝VABC A′B′C′＝，
所以VC AA′B′B＝1－＝.
2.解析：选B.因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面A1B1C1D1内任意一点，
所以点P到平面ABCD的距离d＝AA1＝1，
S正方形ABCD＝1×1＝1，
所以四棱锥P ABCD的体积为：
VP ABCD＝×AA1×S正方形ABCD＝×1×1＝.
故选B.
3.解析：选 D．因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCB E1F1C1B1 的体积 V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设甲中水面的高度为 h，则 S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝，故选 D.
4.解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作 OE⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，
SE＝h′.因为 S侧＝2S底，
所以 3×·a·h′＝a2×2.所以 a＝h′.
因为 SO⊥OE，
所以 SO2＋OE2＝SE2.
所以 32＋＝h′2.所以 h′＝2，所以 a＝h′＝6.
所以 S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
所以 S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
5.解：如图所示，
连接 AB1，AC1.因为 B1E ＝CF，
所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积．
又四棱锥 A BEFC 的高与四棱锥 A B1EFC1 的高相等，
所以 V A BEFC＝VA B1EFC1
＝VA BB1C1C.又 VA A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABC A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，所以VA A1B1C1＝，
所以 VA BB1C1C＝VABC A1B1C1－VA A1B1C1＝m.所以 VA BEFC＝×m＝，
即四棱锥 A BEFC 的体积是.
B　核心素养提升
6.解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
答案：26　－1
7.解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.
　　　　
答案：8
8.证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
显然三棱锥A′ ABC的体积是V，而四棱锥A′ BCC′B′的体积为Sa，故有V＋Sa＝V，
所以三棱柱ABC A′B′C′的体积V＝Sa.
法二：如图所示，将三棱柱ABC A′B′C′补成一个四棱柱ACBD A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行四边形，显然三棱柱ABD A′B′D′的体积与原三棱柱ABC A′B′C′的体积相等．
因为四棱柱ACBD A′C′B′D′以BCC′B′为底面，高为点A′到面BCC′B′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa，于是三棱柱ABC A′B′C′的体积V＝Sa.
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