课件31张PPT。第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。牛
顿莱
布
尼
茨背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛应用。
例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关，更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。1.了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵.
2.导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵.（重点）探究点1 变化率问题问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么当V从0增加到1L时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为当V从1L增加到2L时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为 显然0.62>0.16
我们来分析一下:思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均
膨胀率是多少?
解析：问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间
段内的平均速度粗略地
描述其运动状态?解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:思考：(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在
这段时间里的运动状态.这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1)平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 表示.
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率 在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求
瞬时速度呢?探究点2 导数的概念 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
解：当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.000 1时,当△t=0.000 1时,当△t=–0.000 01时,当△t=0.000 01时,当△t=–0.000 001时,当△t=0.000 001时,…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.为了表述方便，我们用局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，
然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时
速度的精确值.那么,运动员在某一时刻 的瞬时速
度为
探究:运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?导数的概念:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数,
记作 或 , 即
总结提升求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:求函数的改变量
2. 求平均变化率
3. 求值一差、二比、三极限 例 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油
的温度(单位: )为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤
8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率,并
说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及
临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 =( )
A.3 B.3Δx-(Δx)2
C.3-(Δx)2 D.3-Δx D2.如图，函数y=f（x）在A，B
两点间的平均变化率是（ ）A.1 B.-1
C.2 D.-2B【解析】3.求y=x2在x=x0附近的平均速度.4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,
1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.【解析】析】.【2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
(2)计算平均变化率
1.函数的平均变化率3.求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
（3）求极限4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
(2)求平均变化率
（3）求极限 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.课件29张PPT。1.1.3 导数的几何意义 1.平均变化率函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:2.平均变化率的几何意义：割线的斜率3.导数的概念函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是:1.根据导数的几何意义描述实际问题.
2.求曲线上某点处的切线方程.（重点）
3.导函数的概念及对导数的几何意义的理解. （难点） 平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？探究点1 切线切线割线如图直线l1是曲线C的切线吗? l2呢? l1不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线.观察图形你能得到什么结论？切线的定义： 当点 沿着曲线趋近于
点 ，即 时，割线
趋近于一个确定的位置，
这个确定位置的直线PT
称为点P处的切线.注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一 个交点,
可以有多个,甚至可以有无穷多个. 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线
斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率
有何联系？平均变化率 割线的斜率瞬时变化率（导数）切线的斜率探究点2 导数的几何意义 函数 在 处的导数就是曲线
在点(x0,f(x0))处的切线的斜率 ， 即：曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为：导数的几何意义例1 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.解：【总结提升】
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出切点P的坐标；
②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数；
③利用点斜式求切线方程.例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象. 根据图象, 请描述、比较曲线 在 附近的变化情况.t4t3解:可用曲线 h(t) 在t0 , t1 , t2处的切线刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当t = t0时, 曲线 h(t) 在
t0 处的切线 l0 平行于 t 轴.
故在t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h (t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减. 从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t) 在 t1 附近比在t2 附近下降得缓慢.(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h (t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.【总结提升】通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?
(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致
可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的
切线近似代替；
(2)函数的单调性与其导函数正负的关系；
(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系.
例3 如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图象，根据图象，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8 min时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度函数f(t)在此时刻的导数, （数形结合，以直代曲）从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值，验证一下，
这些值是否正确.0.4-0.7一、选择题
1.曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率
是( )
A．－4 B．0
C．4 D．不存在BB3．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程
为2x＋y＋1＝0，那么( )
A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0
C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定B4.曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐
标为( )
A.(－2，－8) B.(1,1)，(－1，－1)
C.( 2 , 8) D.By＝2x－12.函数 在 处的导数 的几何意义，就是函数 的图象在点 处的切线的斜率（数形结合）
＝切线 的斜率k1.曲线的切线定义4.导函数(简称导数) 3.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会
“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法. 以简单对象刻画复杂的对象聪明在于勤奋，天才在于积累. ——华罗庚
