课件23张PPT。2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
第1课时 综合法 合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.
怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天，我们就来认识一些基本的证明方法……1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两
种基本方法之一的综合法. （重点）
2.了解综合法的思考过程、特点. （难点）探究点1 综合法的含义引例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.
又因为c2+a2 ≥2ac,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明: 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…例1:如图所示,△ABC在平面α外,
求证:P,Q,R三点共线.探究点2 利用综合法进行证明 分析：本例的条件表明，P,Q,R三点既在平面α内，又在平面ABC内，所以可以利用两个相交平面的公理证明.（1）
（2）证明： 例3 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ对应的边分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ，c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形． 分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac.A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=π.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C ① 由①②，得②③由a，b，c成等比数列，有④由余弦定理及③，可得再由④，得因此 a=c从而有 A=C ⑤由②③⑤，得即【提升总结】 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.1.综合法证明不等式所说的“由因导果”是指寻
求使不等式成立的（ ? ）
A.必要条件?????????B.充分条件?
C.充要条件?????????D.非充分非必要条件证明 (1)在四棱锥P-ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，
而AE?平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，
且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，所以AE⊥PD，因为PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥AB
又因为AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD
所以AB⊥PD，
又因为AB∩AE＝A，
综上得PD⊥平面ABE. 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…综合法的定义: 拥有了太多反而是负担。只拥有一块手表的人知道现在几点，一个拥有两块手表的人却很难确定现在的准确时间.课件27张PPT。第2课时 分析法 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是:“由因导果”. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:综合法是由一个个推理组成的 综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难.会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想.
但开头难怎么办？如何找到开头呢？1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种
基本方法之一的分析法. （重点）
2.了解分析法的思考过程、特点. （难点）探究点 分析法的定义引例：证明不等式： 证法1:
因为
所以
所以
所以 成立
证法1:
因为
所以
所以
所以 成立
因为 成立综合法分析法?证法2:要证
思考：上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止. 综合法相同不同 证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使结论成立的条件. 分析法分析法综合法已知条件结论综合法和分析法的推证过程如下： 一般地，从要证明的 出发，逐步寻
求使它成立的 ，直至最后，把要证明的
结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做
分析法.其特点是：执果索因，即要证结果Q，只需
证条件P.分析法（逆推证法或执果索因法）结论充分条件 类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法.用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论,则分析法的思路过程，特点用框图表示为:注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等. 分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件. 在本例中，如果我们从“21<25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.【提升总结】【变式练习】证法一：为了证明成立.因为所以只需证明成立展开得即因为成立，成立.所以证法二：例2 如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SC.分析：本例所给的已知条件中，
垂直关系较多，我们不容易确
定如何在证明中使用它们，因
而综合法比较困难.这时，可以
从结论出发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件.证明: 证法一：要证 AF⊥SC只需证 SC⊥平面AEF只需证 AE⊥SC只需证 AE⊥平面SBC只需证 AE⊥BC只需证 BC⊥平面SAB只需证 BC⊥SA由SA⊥平面ABC可知，上式成立.所以AF⊥SC成立还有其他证明方法吗？证法二:因为 SA⊥平面ABC所以 AE⊥BC又因为AE⊥SB,且BC∩SB=B所以 AE⊥平面SBC所以 AE⊥SC又因为EF⊥SC,且AE∩EF=E所以 SC⊥平面AEF所以 AF⊥SC所以 BC⊥SA所以 BC⊥平面SAB又因为AB⊥BC,且AB∩SA=A分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角
?,因此第一步工作可以从已知条件中消去?.观察已知
条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系（sin ?+
cos ?)2-2sin ?cos ?=1,于是，由(1)2-2×(2)得4sin2α-
2sin2β=1. 把4sin2α-2sin2β=1与结论相比较，发现角相
同，但函数名称不同，于是尝试转化结论；统一函
数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为cos2α-sin2α= (cos2β-sin2β),再与4sin2α-
2sin2β=1比较，发现只要把cos2α-sin2α= (cos2β-
sin2β)中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.由于上式与（3）相同，于是问题得证.【提升总结】 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.1.用分析法证不等式：欲证①A>B，只需证②C这里①是②的( )
A.既不充分也不必要条件
B.充要条件
C.充分条件
D.必要条件a>c>b1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点. 坚决的信心，能使平凡的人们，做出惊人的事业.
——马尔顿课件26张PPT。2.2.2 反证法 路
边
苦
李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.1.反证法的定义.
2.反证法的一般步骤. （重点）
3.运用反证法的注意事项. （难点）探究点1 反证法的定义引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°.已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角.
求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°.证明：则有∠ A <60°，∠B < 60°， ∠C <60°所以 ∠A+∠B+∠C<180°所以假设不成立，所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确. 这种证明方法就是——反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法 否定结论——推出矛盾——肯定结论
即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；反证法的证明过程存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立. 归谬矛盾：
（1）与已知条件矛盾.
（2）与假设矛盾或自相矛盾.
（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反.你能说出下列结论的反面吗?a⊥b
2.d是正数
3.a≥0
4.a∥ba不垂直于bd不是正数,即d≤0 a＜0a不平行b万事开头难，让我们走好第一步！探究点2 反证法的应用常用的互为否定的表述方式：至少有三个——
最多有一个——至多有两个至少有两个 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，
不成立存在某x,
成立不等于某个 分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我
们采用反证法.
假设 不是无理数，那么它就是有理数.我们
知道，任一有理数都可以写成形如 （m,n互质，
m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛
盾.反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理得出矛盾否定假设肯定原命题分清条件和结论【总结提升】宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（4）关于“唯一性”结论的命题.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6）一些不等量命题的证明.（5）解决整除性问题.1.“a＜b”的反面应是（ ）
a≠b或a＞b B. a ＞b
C. a=b D. a=b或a＞b2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”
时，应假设 ____________ .D三角形中有两个或三个角是直角3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正
确的反设为（ ）
A.a，b，c都是奇数
B. a，b，c都是偶数
C. a，b，c中至少有两个偶数
D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数D4.如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.证明：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角.当∠B是直角时，则∠B+ ∠C= 180°，
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；当∠B是钝角时，则∠B+ ∠C＞180°，
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；综上所述,假设不成立.所以∠B一定是锐角.分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.5.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A,B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？1.反证法的一般步骤:假设命题不成立引出矛盾假设不成立求证的命题正确假设归谬结论从假设出发得出结论与假设、已知、定义、定理、公理或者事实矛盾等2.用反证法证题时,应注意的事项:
?（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏.
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性.
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的. 沟潭之水，凝滞沉闷，飞瀑之流，奋迅高亢——同是为水，性却异，前者满足安逸，后者进取不已.
