课件30张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 16世纪意大利米兰学者卡当，第一
个把负数的平方根写到公式中，在
讨论是否可能把10分成两部分，使
它们的乘积等于40时，他把答案写
成了
这样问题便得到了解决.卡当给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.笛卡尔
(R.Descartes,1596—1650)1.了解数系的扩充过程.
2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要
条件.（重点）
3.了解复数的代数表示法.（难点） 从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前. 探究点1 数系的扩充 负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.刘徽（公元250年前后）数集扩充到整数集 分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.数集扩充到有理数集11边长为1的正方形的对角线长度为多少？？毕达哥拉斯
(约公元前560——480年） 无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”. “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑. 数集扩充到实数集正数与负数，
有理数与无理数，
都是具有“实际意义的量”，
称之为“实数”，构成实数系统.
实数系统是一个没有缝隙的连续系统.实数集能否继续扩充呢??思考？引入一个新数：探究点2 复数的概念?复数的概念虚数纯虚数例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x,y的值.?1.a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.非必要非充分条件
2.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部 的复数是（ ）
A.-2+3i B.3-3i
C.-3+3i D.3+3iAB3.下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位）的
是（ ）
A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5
4.复数z=i+i2+i3+i4的值是（ ）
A.-１ B.0 C.1 Ｄ.iCB5.我们已知i是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一
个根，那么方程x2=－1的另一个根是________. －i6.复数i2 (1+i)的实部是________.-1解 根据复数相等的定义，得方程组解得1. 虚数单位i的引入，数系的扩充；复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等复数的分类 用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路. ———笛卡尔课件23张PPT。3.1.2 复数的几何意义 在几何上，我们用什么来表示实数?实数可以用数轴上的点来表示.实数 数轴上的点 (形)(数)一一对应 想一想？复数的一般形式一个复数又该怎样表示呢？回忆…实部虚部(a, b∈R)1.类比实数的几何意义思考复数的几何意义.
2.明确复数的两种几何意义.（重点、难点）
3.了解复数模的意义.复数z=a+bi有序实数对(a,b)一一对应一一对应探究点1 复数的几何表示Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面x轴——实轴y轴——虚轴z=a+bi这是复数的一种几何意义. 实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点表示实部不为零的虚数.总结提升
一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？复数z=a+bi有序实数对(a,b)一一对应一一对应一一对应探究点2 复数的向量表示Z(a,b)z=a+bi这是复数的又一种几何意义.探究点3 实数绝对值的几何意义:xOAa|a| = |OA| 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOz=a+biy|z|=r=|OZ|探究点4 复数的模的几何意义: 复数 z=a+bi的模r就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.Z(a,b)?xyO解 设z=x+yi(x,y∈R) 例2 满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–5图形:以原点为圆心,5为半径的圆xyO解 设z=x+yi(x,y∈R) 例3 满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–53–3–33图形:以原点为圆心, 半径3至5的圆环内1.下列命题中的假命题是（ ）
A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上
B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上
C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数D2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点
在虚轴上”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件C3. 在复平面内，描出下列各复数的点：xyO⑴ 2＋5i;⑵ －3＋2i;⑶ 2－4i;⑷－3－i;⑸ 5;⑹ －3i．xyO⑵⑷⑶⑸⑴⑹⑴ 2＋5i;⑵ －3＋2i;⑶ 2－4i;⑷－3－i;⑸ 5;⑹ －3i．4.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围. 表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想【总结提升】1.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即
复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z（a，b）3.复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a，b）和向量
是一个三角对应关系，即复数z＝a＋bi 明德、新民、止于至善，以及格物、致知、诚意、正心、修身、齐家、治国、平天下.
