冀教版数学八年级下册22.4 矩形 第2课时矩形的判定 教学设计

22.4矩形第第2课时矩形的判定教学设计冀教版八年级数学下册
教学目标
【知识与技能】掌握矩形的判定条件，会运用判定方法判定一个四边形是否是矩形。
【过程与方法】在探索矩形判定条件和应用判定方法解决实际问题的过程中，感悟化归，进一步了解和体会说理的基本方法。
【情感态度】在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究的意识和习惯以及初步具有把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义观点。
【教学重点】
1.探索四边形是矩形的判定方法。
2.运用判定方法判定一个四边形是否是矩形。
【教学难点】矩形判定定理的证明以及灵活应用。培养学生有条理的推理和表达能力。
教学过程
一．温故知新，情境引课
温故知新
1、矩形的定义是什么？
2、矩形具有平行四边形的一切性质。除此而外，矩形还有哪些特殊性质呢
【交流】1、学生根据提问举手回答问题。有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（教师明确指出：矩形的定义具有两重性，既是矩形的性质，又可以作为矩形的一种判定方法）
2、教师在学生回答的基础上，进行梳理总结。
3、矩形的性质梳理
边：两组对边平行且相等。
角：四个角都是直角。
对角线：两条对角线互相平分且相等。
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形
情境引课
李芳同学用画“边---直角、边---直角、边---直角、边”这样四步画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？
教师引课：李芳同学画的四边形是不是矩形，大家想不想知道呢？好，只要我们认真学习了今天的内容，一定会找到答案，下面，让我们共同学习探究《矩形的判定》
【教学说明】教师强调矩形定义中的两个条件，并让学生明白自己已经学过一种矩形的判定方法，为学习另外两种判定方法做准备。由李芳同学画有三个直角的四边形，让学生产生好奇感，并很想很快知道李芳说的是否正确，于是自然而然引入新课的学习。同时激发了学生的求知欲望！教师讲课前，先让学生完成“课堂自主演练”。
二、思考探究，获取新知
1、从“角”的角度探究
（1）思考 矩形的边相对于平行四边形有特殊性质吗？没有。
那我们从角的角度来探究“最少有几个直角的四边形”是矩形。
问题1 有一个角是直角的四边形一定是矩形吗？
问题2 有两个角是直角的四边形一定是矩形吗？
问题3 有三个角是直角的 四边形一定是矩形吗？
以上问题：如果是，说明理由，如果不是，请举出反例。指名板演，画出反例图形。
【交流结果】由图可知，1和2都不是矩形。
（2）猜想：有三个角是直角的 四边形是矩形。
李芳同学画的四边形很可能是矩形。你会证明吗？
教师出示命题：“有三个角是直角的四边形是矩形”
（3）如何证明一个文字命题呢？
教师叙述一般过程：
第一：根据题意，画出图形。
第二：分清命题的题设和结论，结合图形，写出已知和求证。
第三：写出证明过程（有时需要写依据）。
第四：归纳结论。
学生说出已知和求证，并尝试证明。
（4）通过证明发现我们的猜想是正确的，李芳的画法也是正确的。所以，我们把“有三个角是直角的四边形是矩形”作为矩形的判定定理1。
（5）那么，有四个角的四边形是矩形吗？再有必要这样说吗？
【教学说明】首先，让学生明确，矩形的边与平行四边形的的边具有相同的性质，所以，无需从边的角度探讨矩形的判定方法，其次，由李芳画角的方法，引出了，从角的角度探究“最少有几个直角的四边形是矩形”。 于是，学生会从最少一个开始探究。易于引起学生的探究热情。鼓励学生逐步深入探究，发展实验探索意识和锲而不舍的探索精神。
2.从“对角线”的角度探究
（1）问题 木工师傅用皮尺度量窗户的对角线的长是否相等，以确保图形是矩形。你想知道其中的道理吗？
思考1 对角线相等的四边形是矩形吗
思考2 对角线相等的平行四边形是矩形吗
（2）判断木工师傅的做法是否合理？
如果是，说明理由；如果不是，举出反例。
【小组讨论】第一题：学生画的反例：不是矩形。
第二题图：学生猜想。
（3）请你用与上面相同的格式把文字命题转化为数学语言，并尝试证明。得出结论：“对角线相等的平行四边形是矩形”。作为矩形的判定定理2。
【教学说明】从对角线的角度出发，运用矩形的前两个判定方法判定“对角线相等的平行四边形是矩形”。让学生通过证明，理解掌握矩形的第三种判定方法。再通过学生自己证明，培养学生分析几何问题的能力和严密的逻辑推理能力。
3.做一做：见教材第137页“试着做做”。
4.证明对角线相等的平行四边形是矩形。（见教材第137页）
【归纳结论】矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
5. 判断对错，并说明理由或举出反例：
⑴对角线相等的四边形是矩形（ × ）
⑵对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ √ ）
⑶有一个角是直角的四边形是矩形（ × ）
⑷四个角都相等的四边形是矩形（ √ ）
⑸对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形（ × ）
⑹一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形（ √ ）
⑺对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（ × ）
【教学说明】本环节放手让学生之间合作学习，互相交流，交换观点，自主构建知识体系，能灵活运用所学知识进行正确判断，给学生自主学习交流提供空间。同时，通过交流让学生用自己的语言清楚表达解决问题的过程，可以培养学生语言表达能力和积极发言的胆略。体现开放性原则、过程性原则性教学原则。
三、典例精析，掌握新知
例1 （见教材第138页例2）
【教学说明】教师组织学生熟悉题意后，指名说话证明思路，其余学生判断正误。教师出示证明过程让学生对照检查，并强调证明过程的逻辑性和严密性，注意书写格式。
例2 已知，如图在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F，求证：四边形AECF是矩形．
分析：根据中点定义求出DA=DC，根据两直线平行，内错角相等可得∠AED=∠CFD，然后利用“角角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形AECF是平行四边形，再判断出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF，然后求出AC=EF，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．
证明：∵点D是AC的中点，
∴DA=DC，
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠CFD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
又∵AE∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE∥BC，EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF，
∵AB=AC，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
【教学说明】师生共同探索证明思路，完成证明过程。指出证明方法多样性。
四、运用新知，深化理解
1.如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．
求证：四边形BCDE是矩形．
2. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）连接AC、BE，则当∠AFC与∠D满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理由．
【教学说明】在完成上述题目后，教师引导学生完成状元导练中本课时的“课堂演练”部分。
【答案】1.证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠BEA=∠CDA，
∴∠BED=∠CDE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴∠BED=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
2. 解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠AEC，
又∵CE=CD，
∴AB=CE，
在△ABF和△ECF中，
，
∴△ABF≌△ECF（AAS）；
（2）当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE=∠D，
由题意易得AB∥EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，
∴FC=FE，
∴四边形ABEC是矩形．
五、师生互动，课堂小结
问题：请同学们对照以下三个问题进行评价和反思：
1、我今天收获了哪些知识、方法？
2、我还有哪些困惑？
3、我的自我评价或评价他人、集体或老师。
【教学说明】在学生谈收获的基础上，教师梳理知识体系，帮助学生理清知识层次，掌握重点内容，为今后学习打好基础。
1、矩形的判定方法的前提基础有两种：
①从四边形来判定；
②从平行四边形来判定。
2、常用的判定矩形的方法有三种：①定义判定法，②判定定理1
③判定定理2。
通过学生评价和和反思，理清知识结构，掌握本节课的重点内容，即：矩形的三种判定方法。体验克服困难的过程，树立良好的自信心。
课后作业
1.布置作业：从教材P“习题22.4”中选取。
2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分。
教学反思：
1、重视矩形判定定理的探索过程，将“画图、观察、猜想、归纳”等合情推理与逻辑推理相结合，通过举反例图形的形式，让学生自主生成知识。如，活动二中，探究“最少有几个直角的四边形是矩形”和“对角线相等的平行四边形是矩形”的教学过程中，学生通过动手实践，画具有“一个直角”、“两个直角”“三个直角”的四边形，通过观察、猜想、证明等环节，得出了矩形的判定定理一“有三个角是直角的四边形是矩形”和判定定理二“对角线相等的平行四边形是矩形”这样的结论。这部分内容，是本节课的重点。
2、注重新旧知识之间的联系和综合，适时进行归纳，及时帮助学生构建知识体系。由于《矩形的判定》一节与前面所学的四边形和平行四边形的性质、判定关系密切，所以第一个环节首先设计了“课前热身”活动，利用课前3分钟，对以上问题让学生进行对照提问，为学习新课打基础。其次，在两个判定定理均已经推导得出后，及时进行知识归纳，帮学生理清脉络。最后，在新课全部上完以后，我设计了“反思与评价”环节，让学生谈收获和困惑，查找问题，并及时给予诊断解决，然后，教师在肯定学生表现的基础上，梳理全课，理清新旧知识之间的联系与区别，帮学生理清矩形的判定有两个不同的基础，所以，矩形的判定方法也有两种，一种是直接判定，另一种是间接判定。可以由“有三个角是直角的四边形是矩形”直接判定，也可以先判定其为“平行四边形”，然后再利用“有一个角是直角”或“对角线相等”来判定这个平行四边形是矩形。是学生概念清楚，思路清晰。
3、重视数学方法思想的渗透和与生活的联系。矩形的判定这节课，较多的使用了矛盾的转化思想和归纳的思想方法。如研究“矩形的两个判定的推出，都是在平行四边形的基础上，根据定义，将四边形转化成三角形证全等来解决”。由“一个直角、两个直角、三个直角的四边形是否一定是矩形”的探究过程，渗透了归纳的数学思想。本课中的两个问题情境都来自于生活实际，学了本节课的内容以后，问题得以解决。
4、注重培养学生语言表达能力和逻辑思维能力。整个课堂教学中，注重发挥学生的主体作用，个别提问较多，通过学生自主探究、合作交流，然后表述解题思路，教师只做了适当点拨。锻炼学生的语言表达能力形象思维能力和逻辑思维能力。在整个课堂的教学形式和习题处理形式上，采用了多媒体直观操作与几何论证相结合，由易到难、层层深入的探究式教学方法进行教学。