河北省2023年中考数学试卷
一、选择题
1．（2023·河北） 代数式的意义可以是（ ）
A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商
【答案】C
【知识点】代数式的概念
【解析】【解答】解：由题意得代数式的意义可以是与x的积，
故答案为：C
【分析】根据题意结合代数式的意义即可求解。
2．（2023·河北） 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏东方向
C．北偏西方向 D．北偏东方向
【答案】D
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向，
故答案为：D
【分析】根据平行线的性质结合方向角的定义即可求解。
3．（2023·河北） 化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】根据题意运用分式的乘方化简即可求解。
4．（2023·河北） 1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得红心花色的牌的张数最多，故抽到的花色可能性最大的是，
故答案为：B
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可求解。
5．（2023·河北） 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得DA=DC=2，
∴0＜AC＜2+2=4，
对比选项，AC的长为3，
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系结合等腰三角形的定义即可求解。
6．（2023·河北） 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴的值总能被3整除，
故答案为：B
【分析】先运用平方差公式进行因式分解，再结合题意即可求解。
7．（2023·河北） 若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A
【分析】根据题意代入数值即可求解。
8．（2023·河北） 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题意得OD=OB，AO=OC，
∴可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是对角线互相平分，
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的判定结合题意即可求解。
9．（2023·河北）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：连接 ，
∵点 是 的八等分点，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 的周长为 ，
∴四边形 的周长为 ，
∴
∵，
∴
故答案为：A
【分析】连接 ，先根据题意得到，进而根据相等的弧对等的弦的相等即可得到 ， ，从而得到，再根据题意结合三角形三边关系即可求解。
10．（2023·河北） 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
CD、是一个13位数，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据科学记数法和同底数幂乘除法进行运算即可求解。
11．（2023·河北） 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点M是斜边的中点，
∴BC=8，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据正方形的性质即可求出MA，进而根据勾股定理求出CA，再运用三角形的面积即可求解。
12．（2023·河北） 如图1，一个2×2平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至还需再放这样的正方体（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意画出草图，如图所示：
∴平台上至还需再放这样的正方体2个，
故答案为：B
【分析】先根据几何体的三视图画出草图，进而即可求解。
13．（2023·河北） 在和中，．已知，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作DA⊥CB于点D，过点A'作D'A'作D'A'⊥C'B'于点D'，
∵，
∴DA=D'A'=3，
当B、C在点D的两侧，B'、C'在点D'的同侧时，如图所示：
∵，
∴△DCA≌△D'C'A'（HL），
∴∠D'C'A'=∠C=n°，
∴，
当B、C在点D的两侧，B'、C'在点D'的两侧时，如图所示：
∵，
∴△DCA≌△D'C'A'（HL），
∴∠C'=∠C=n°，
综上所述，或，
故答案为：C
【分析】先根据题意运用含30°角的直角三角形的性质即可得到DA=D'A'=3，进而分类讨论，再运用三角形全等的判定与性质即可求解。
14．（2023·河北） 如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，由题意得两个机器人最初的距离是MA+NC+r，
∵两个机器人沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，
∴它们同时到达A，C，
∴两个机器人之间的距离y逐渐减小，A、C不符合题意；
当两个机器人延C-B-A，A-D-C运动时，两个机器人之间的距离保持不变，当两个机器人延C-N，A-M运动式，两个机器人之间的距离越来越大，B不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据机器人的运动规律结合题意即可求解。
15．（2023·河北） 如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴∠BDA=34°，
∵，
∴∠DHA=16°，
∵，
∴∠FIG=∠DHA=16°，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意即可得到∠DHA=16°，进而根据平行线的性质结合题意即可求解。
16．（2023·河北） 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得令y=0，得，，
解得x=0或或x=-m或x=m，
∵二次函数的对称轴为，二次函数的对称轴为x=0，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故答案为：A
【分析】根据二次函数与x轴的交点问题即可得到x=0或或x=-m或x=m，再根据二次函数的对称轴即可求解。
二、填空题
17．（2023·河北） 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵，
当反比例函数经过A点时，k=9，
当反比例函数经过B点时，k=3，
∴3＜k＜9，
∴符合条件的k的数值为4，
故答案为：4（答案不唯一，满足均可）
【分析】根据反比例函数的性质结合题意即可求解。
18．（2023·河北） 根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x 结果 代数式 2 n
7 b
a 1
【答案】；
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：当x=2时，，即a=，
当x=n时，，
∴b=-2，
故答案为：，，
【分析】根据题意求出代数式的值即可求解。
19．（2023·河北） 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；多边形内角与外角；矩形的性质；锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）作图如下：
由题意得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）取中间正六边形的中心为 ，作如下图所示的图形：
由题意得： ， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
在 中， ，由图1知 ，
∴ ，
，
，
，
又 ，
，
故答案为：
【分析】（1）根据多边形外角和结合题意即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）取中间正六边形的中心为 ，根据题意作图，由题意得： ， ， ，先根据矩形的性质得到 ，再根据三角形全等的判定与性质即可得到 ，在 中， ，由图1知 ，再根据正六边形的性质即可得到 ，进而结合题意即可求解。
三、解答题
20．（2023·河北） 某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】（1）解：由题意得(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得，
解得：．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意进行计算即可求解；
（2）根据题意列出一元一次方程即可求解。
21．（2023·河北） 现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为．
（1）请用含a的式子分别表示；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：，
∴，，
∴，
∴当时，；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而得到，，再根据题意即可求解；
（2）根据（1）中的表达式即可得到，再运用完全平方公式即可求解。
22．（2023·河北） 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
【答案】（1）解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；
∴客户所评分数的中位数为：(分)
由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
（2）解：设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：
解得：
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分．
【知识点】一元一次不等式的应用；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）根据中位数、平均数结合题意即可求解；
（2）设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，根据“监督人员从余下问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分”即可列出不等式，进而即可求出x的取值范围，再结合题意即可求解。
23．（2023·河北） 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）先根据抛物线的解析式即可得到顶点坐标，再根据点A的坐标即可得到a的值，进而即可求解；
（2）先根据题意得到点A的坐标范围为，再分别求出n的值，进而即可求解。
24．（2023·河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
（1）求的长．
（2）操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究：在图2中
操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．
【答案】（1）解：连接，
∵为圆心，于点，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
．
（2）解：∵与半圆的切点为，
∴
∵
∴于点，
∵，，
∴，
∴操作后水面高度下降高度为：
．
（3）解：∵于点，
∴，
∵半圆的中点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义；弧长及其计算
【解析】【分析】（1）连接，先根据垂径定理即可得到CM，进而结合题意运用勾股定理即可求解；
（2）结合题意运用含30°角的直角三角形的性质即可得到DO，进而即可求解；
（3）先根据题意得到，，再运用锐角三角函数的定义即可得到，进而根据弧长公式求出，再结合题意即可求解。
25．（2023·河北） 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
（1）设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
【答案】（1）解：设的解析式为，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式为；
将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；
（2）解：①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；
∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②由于，
∴直线的解析式为；
函数图象如图所示：
（3）解：
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上，
∴，
设直线的解析式为，
把A、B两点坐标代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之间的关系式为：．
【分析】（1）运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）①根据题意即可得到点P按照乙方式移动了次，进而得到点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；从而得到点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，再结合题意即可求解；
②根据①即可的直线的解析式，进而画出一次函数的图象即可求解；
（3）先根据题意得到，设直线的解析式为，运用待定系数法即可得到直线的解析式为，再根据题意即可得到，进而化简整理即可求解。
26．（2023·河北）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
（1）若点在上，求证：；
（2）如图2．连接．
①求的度数，并直接写出当时，的值；
②若点到的距离为，求的值；
（3）当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）
【答案】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转到，
∴
∵的平分线所在直线交折线于点，
∴
又∵
∴
∴；
（2）解：①∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴；
如图所示，当时，
∵平分
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴，即
∴解得
∴．
②如图所示，当点在上时，，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴；
如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∴
∴
即
∴，，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴
解得：
∴，
综上所述，的值为或；
（3）解：点到直线的距离为
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）∵当时，
∴在上，
如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，设，
即
∴，
∴
整理得
即点到直线的距离为．
【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，再根据角平分线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）①先根据题意结合勾股定理即可求出BD，再运用勾股定理的逆定理即可得到；当时，根据角平分线的性质得到进而得到，再根据相似三角形的判定与性质结合题意运算即可得到，，进而得到，再证明即可求出PB，然后结合题意即可求解；
②结合题意进行分类讨论：当点在上时，，；当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，进而运用勾股定理、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质进行运算即可求解；
（3）当时，在上，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，进而根据矩形的性质即可得到，，再根据三角形全等的性质得到，进而结合题意即可得到，然后运用相似三角形的判定与性质证明，设，，进而代入即可求出，从而即可求解。
1 / 1河北省2023年中考数学试卷
一、选择题
1．（2023·河北） 代数式的意义可以是（ ）
A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商
2．（2023·河北） 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏东方向
C．北偏西方向 D．北偏东方向
3．（2023·河北） 化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北） 1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北） 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023·河北） 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
7．（2023·河北） 若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．（2023·河北） 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
9．（2023·河北）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
10．（2023·河北） 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
11．（2023·河北） 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）
A． B． C．12 D．16
12．（2023·河北） 如图1，一个2×2平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至还需再放这样的正方体（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2023·河北） 在和中，．已知，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
14．（2023·河北） 如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·河北） 如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·河北） 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题
17．（2023·河北） 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
18．（2023·河北） 根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x 结果 代数式 2 n
7 b
a 1
19．（2023·河北） 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
三、解答题
20．（2023·河北） 某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
21．（2023·河北） 现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为．
（1）请用含a的式子分别表示；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
22．（2023·河北） 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
23．（2023·河北） 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
24．（2023·河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
（1）求的长．
（2）操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究：在图2中
操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小．
25．（2023·河北） 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．
（1）设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式；
（2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示；
②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．
26．（2023·河北）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
（1）若点在上，求证：；
（2）如图2．连接．
①求的度数，并直接写出当时，的值；
②若点到的距离为，求的值；
（3）当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】代数式的概念
【解析】【解答】解：由题意得代数式的意义可以是与x的积，
故答案为：C
【分析】根据题意结合代数式的意义即可求解。
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向，
故答案为：D
【分析】根据平行线的性质结合方向角的定义即可求解。
3．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】根据题意运用分式的乘方化简即可求解。
4．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得红心花色的牌的张数最多，故抽到的花色可能性最大的是，
故答案为：B
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可求解。
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得DA=DC=2，
∴0＜AC＜2+2=4，
对比选项，AC的长为3，
故答案为：B
【分析】根据三角形的三边关系结合等腰三角形的定义即可求解。
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴的值总能被3整除，
故答案为：B
【分析】先运用平方差公式进行因式分解，再结合题意即可求解。
7．【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A
【分析】根据题意代入数值即可求解。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题意得OD=OB，AO=OC，
∴可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是对角线互相平分，
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的判定结合题意即可求解。
9．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：连接 ，
∵点 是 的八等分点，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 的周长为 ，
∴四边形 的周长为 ，
∴
∵，
∴
故答案为：A
【分析】连接 ，先根据题意得到，进而根据相等的弧对等的弦的相等即可得到 ， ，从而得到，再根据题意结合三角形三边关系即可求解。
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
CD、是一个13位数，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据科学记数法和同底数幂乘除法进行运算即可求解。
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵点M是斜边的中点，
∴BC=8，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据正方形的性质即可求出MA，进而根据勾股定理求出CA，再运用三角形的面积即可求解。
12．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意画出草图，如图所示：
∴平台上至还需再放这样的正方体2个，
故答案为：B
【分析】先根据几何体的三视图画出草图，进而即可求解。
13．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作DA⊥CB于点D，过点A'作D'A'作D'A'⊥C'B'于点D'，
∵，
∴DA=D'A'=3，
当B、C在点D的两侧，B'、C'在点D'的同侧时，如图所示：
∵，
∴△DCA≌△D'C'A'（HL），
∴∠D'C'A'=∠C=n°，
∴，
当B、C在点D的两侧，B'、C'在点D'的两侧时，如图所示：
∵，
∴△DCA≌△D'C'A'（HL），
∴∠C'=∠C=n°，
综上所述，或，
故答案为：C
【分析】先根据题意运用含30°角的直角三角形的性质即可得到DA=D'A'=3，进而分类讨论，再运用三角形全等的判定与性质即可求解。
14．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，由题意得两个机器人最初的距离是MA+NC+r，
∵两个机器人沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，
∴它们同时到达A，C，
∴两个机器人之间的距离y逐渐减小，A、C不符合题意；
当两个机器人延C-B-A，A-D-C运动时，两个机器人之间的距离保持不变，当两个机器人延C-N，A-M运动式，两个机器人之间的距离越来越大，B不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据机器人的运动规律结合题意即可求解。
15．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴∠BDA=34°，
∵，
∴∠DHA=16°，
∵，
∴∠FIG=∠DHA=16°，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意即可得到∠DHA=16°，进而根据平行线的性质结合题意即可求解。
16．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得令y=0，得，，
解得x=0或或x=-m或x=m，
∵二次函数的对称轴为，二次函数的对称轴为x=0，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，
故答案为：A
【分析】根据二次函数与x轴的交点问题即可得到x=0或或x=-m或x=m，再根据二次函数的对称轴即可求解。
17．【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵，
当反比例函数经过A点时，k=9，
当反比例函数经过B点时，k=3，
∴3＜k＜9，
∴符合条件的k的数值为4，
故答案为：4（答案不唯一，满足均可）
【分析】根据反比例函数的性质结合题意即可求解。
18．【答案】；
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：当x=2时，，即a=，
当x=n时，，
∴b=-2，
故答案为：，，
【分析】根据题意求出代数式的值即可求解。
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；多边形内角与外角；矩形的性质；锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）作图如下：
由题意得 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）取中间正六边形的中心为 ，作如下图所示的图形：
由题意得： ， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
在 中， ，由图1知 ，
∴ ，
，
，
，
又 ，
，
故答案为：
【分析】（1）根据多边形外角和结合题意即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）取中间正六边形的中心为 ，根据题意作图，由题意得： ， ， ，先根据矩形的性质得到 ，再根据三角形全等的判定与性质即可得到 ，在 中， ，由图1知 ，再根据正六边形的性质即可得到 ，进而结合题意即可求解。
20．【答案】（1）解：由题意得(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得，
解得：．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意进行计算即可求解；
（2）根据题意列出一元一次方程即可求解。
21．【答案】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：，
∴，，
∴，
∴当时，；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而得到，，再根据题意即可求解；
（2）根据（1）中的表达式即可得到，再运用完全平方公式即可求解。
22．【答案】（1）解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分；
∴客户所评分数的中位数为：(分)
由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
（2）解：设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：
解得：
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分．
【知识点】一元一次不等式的应用；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）根据中位数、平均数结合题意即可求解；
（2）设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，根据“监督人员从余下问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分”即可列出不等式，进而即可求出x的取值范围，再结合题意即可求解。
23．【答案】（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）先根据抛物线的解析式即可得到顶点坐标，再根据点A的坐标即可得到a的值，进而即可求解；
（2）先根据题意得到点A的坐标范围为，再分别求出n的值，进而即可求解。
24．【答案】（1）解：连接，
∵为圆心，于点，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
．
（2）解：∵与半圆的切点为，
∴
∵
∴于点，
∵，，
∴，
∴操作后水面高度下降高度为：
．
（3）解：∵于点，
∴，
∵半圆的中点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义；弧长及其计算
【解析】【分析】（1）连接，先根据垂径定理即可得到CM，进而结合题意运用勾股定理即可求解；
（2）结合题意运用含30°角的直角三角形的性质即可得到DO，进而即可求解；
（3）先根据题意得到，，再运用锐角三角函数的定义即可得到，进而根据弧长公式求出，再结合题意即可求解。
25．【答案】（1）解：设的解析式为，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式为；
将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为；
（2）解：①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次，
∴点P按照乙方式移动了次，
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；
∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
②由于，
∴直线的解析式为；
函数图象如图所示：
（3）解：
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上，
∴，
设直线的解析式为，
把A、B两点坐标代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A，B，C三点始终在一条直线上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之间的关系式为：．
【分析】（1）运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）①根据题意即可得到点P按照乙方式移动了次，进而得到点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为；从而得到点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为，再结合题意即可求解；
②根据①即可的直线的解析式，进而画出一次函数的图象即可求解；
（3）先根据题意得到，设直线的解析式为，运用待定系数法即可得到直线的解析式为，再根据题意即可得到，进而化简整理即可求解。
26．【答案】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转到，
∴
∵的平分线所在直线交折线于点，
∴
又∵
∴
∴；
（2）解：①∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴；
如图所示，当时，
∵平分
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴，即
∴解得
∴．
②如图所示，当点在上时，，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴；
如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∴
∴
即
∴，，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴
解得：
∴，
综上所述，的值为或；
（3）解：点到直线的距离为
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）∵当时，
∴在上，
如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，设，
即
∴，
∴
整理得
即点到直线的距离为．
【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，再根据角平分线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）①先根据题意结合勾股定理即可求出BD，再运用勾股定理的逆定理即可得到；当时，根据角平分线的性质得到进而得到，再根据相似三角形的判定与性质结合题意运算即可得到，，进而得到，再证明即可求出PB，然后结合题意即可求解；
②结合题意进行分类讨论：当点在上时，，；当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，进而运用勾股定理、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质进行运算即可求解；
（3）当时，在上，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，进而根据矩形的性质即可得到，，再根据三角形全等的性质得到，进而结合题意即可得到，然后运用相似三角形的判定与性质证明，设，，进而代入即可求出，从而即可求解。
1 / 1
