四川省德阳市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·德阳）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2023·德阳）如果，那么下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·德阳）下列说法中正确的是（ ）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2
4．（2023·德阳）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·德阳）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·德阳）不等式组，的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
7．（2023·德阳）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（ ）
A． B． C．2 D．1
8．（2023·德阳）已知，则（ ）
A．y B． C． D．
9．（2023·德阳）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
10．（2023·德阳）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．3
11．（2023·德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
12．（2023·德阳）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②是的切线；
③B，E两点间的距离是；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．（2017·平邑模拟）分解因式：ax2﹣4ay2= ．
14．（2023·德阳）2023年5月30日，“神舟”十六号载人飞船成功发射，在距离地球400千米的中国空间站与“神舟”十五号三人乘组顺利实现在轨换岗．其中400千米用科学记数法表示为 米．
15．（2023·德阳）在一次数学测试中，张老师发现第一小组6位学生的成绩（单位：分）分别为：85，78，90，72，●，75，其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组成绩的中位数是 ．
16．（2023·德阳）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．
17．（2023·德阳）已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是 ．
18．（2023·德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ．
16
7
4
三、解答题
19．（2023·德阳）计算：
20．（2023·德阳）三星堆遗址已有5000年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遗址.2022年三层堆青铜面具亮相央视春晚舞台，向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注．为了解全市九年级学生对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行周查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数；
（2）据统计，全市共有30000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数；
（3）德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若则受调查群体获评“优秀”；若，则受调查群体获评“良好”；若则受调查群体获评“合格”；若则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？
21．（2023·德阳）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
22．（2023·德阳）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．
（1）求的值；
（2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
23．（2023·德阳）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
24．（2023·德阳）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．
（1）求证：是的平分线；
（2）求的度数；
（3）求的值．
25．（2023·德阳）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值；
（3）如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意得无理数的是，
故答案为：B
【分析】根据无理数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据不等式的基本性质结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；随机事件；方差
【解析】【解答】解：
A、对绵远河段水质污染情况的调查，采用抽样调查的方式，A不符合题意；
B、中考期间一定会下雨是随机事件，B不符合题意；
C、一个样本中包含的个体数目称为样本容量，C符合题意；
D、已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为18，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据抽样调查、随机事件、样本容量、方差的定义结合题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠MNF+∠NMB=180°，∠BMF+∠DFM=180°，
∵，MF为∠NMB的角平分线，
∴∠BMF=70°，
∴∠MFD=110°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠MNF+∠NMB=180°，∠BMF+∠DFM=180°，进而根据角平分线的性质结合题意即可得到∠BMF=70°，从而即可求解。
5．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：列表，如图所示：
6 7 8 9
6 13 14 15
7 13 15 16
8 14 15 17
9 15 16 17
∴共有12种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有8种，
∴这两个数字之和为奇数的概率是，
故答案为：C
【分析】先根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有8种，再根据简单事件的概率进行计算即可求解。
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≤1，
解②得x＜4，
∴不等式组的解集为，
故答案为：A
【分析】先分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∵，
∴，
∵AF=BF，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据勾股定理即可求出CD，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质结合题意即可求解。
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法结合题意即可求解。
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰梯形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设A为正多边形的中心，CB为正多边形的边，CA、BA为正多边形的半径，AD为边心距，如图所示：
由题意得CB⊥DA，CA=BA，，
∴BD=DC，
∴，
∴∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴这个正多边形的边数是，
故答案为：B
【分析】设A为正多边形的中心，CB为正多边形的边，CA、BA为正多边形的半径，AD为边心距，先根据题意即可得到CB⊥DA，CA=BA，，进而运用等腰三角形的性质结合锐角三角函数的定义即可得到，再根据特殊角的三角函数值结合等边三角形的判定与性质即可求解。
10．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴四边形ABCD为矩形，
∴CO=DO，
∵FC∥DO，FD∥CO，
∴四边形OCFD为菱形，
连接FO，PG，如图所示：
∵点G是的中点，
∴FO⊥CD，
∴当FC⊥GP时，PG最小，
∵的面积为12，
∴DO=CO=3，，
∴，
∴，
∵四边形OCFD为菱形，
∴FC=3，
∴，
∴GP=1，
∴的最小值是1，
故答案为：A
【分析】先根据菱形的判定和矩形的判定证明四边形OCFD为菱形，连接FO，PG，再根据菱形的性质得到FO⊥CD，进而得到当FC⊥GP时，PG最小，再结合题意运用菱形的性质即可求解。
11．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：第3次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n，
第4次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n，-n+m
第5次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m，
......
∴整式串以四次操作为一次循环，第四次操作后的整式和为0，
∵2023÷4=505...3，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和是m+n+n-m-m-n=n-m，
故答案为：C
【分析】运用整式的加减运算即可代数式的规律，进而结合题意即可求解。
12．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ，如图所示：
的直径 ， ，
， ，
∴ ， ，
是弦， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，①正确；
， ，
，
，
平分 ，
是 的中垂线，
，
，
，
，
，即 ，
是弦，
是锐角，
是钝角，
是钝角， ，
不垂直 ， 不是 的切线，②不正确；
，
，
又 ，
，
，
， 于 ，
，
，
，
，
∴ ，③正确；
， ，
， ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
，
解得 ，
，④不正确；
综上所述，①和③结论正确，
故答案为：B
【分析】连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ，根据题意结合垂径定理、圆内接四边形的性质即可得到，进而根据垂直定理结合题意即可得到 不是 的切线，再证明 ，结合题意运用勾股定理即可得到③； 设 ，则 ，根据题意即可得到 ，进而结合题意代入即可求出a。
13．【答案】a（x+2y）（x﹣2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ax2﹣4ay2
=a（x2﹣4y2）
=a（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】观察原式ax2﹣4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得400千米用科学记数法表示为米，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
15．【答案】
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：设被墨水污染的同学的成绩为a，由题意得，
解得a=80，
∴该小组成绩的中位数是，
故答案为：79
【分析】设被墨水污染的同学的成绩为a，根据平均数的定义结合中位数即可求解。
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如图所示：
由题意得： ，点M为 的中点，
当 在右侧处时，
∴ ， ，
∴ ，
当 在下方时，由题意得： ，
∴ ，
当按下图方式展开时，延长 ，过 作 于 ，作 于 ，作 于 ，如图所示：
则 ，四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，， ， ，
∴此时 重合，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴小虫爬行的最短路程等于 ．
故答案为：
【分析】连接 ，由题意得： ，点M为 的中点，当 在右侧处时，根据题意求出 ， ，进而根据勾股定理即可求解；当 在下方时，根据等边三角形的性质结合勾股定理即可得到 ，进而即可求解，当按下图方式展开时，延长 ，过 作 于 ，作 于 ，作 于 ，进而根据矩形的性质即可得到 ， ，进而结合三角形内角和定理即可得到 ，再根据题意结合勾股定理求出MB1，进而比较大小即可求解。
17．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得当位于的外部，且P，位于同一直线上时，r存在最小值，如图所示：
∴最小值r=5-2=3，
当位于的内部，且P，位于同一直线上时，r存在最大值，如图所示：
∴最大值r=5+2=7，
∴的取值范围是，
故答案为：
【分析】直接根据圆与圆的位置关系结合题意进行分类讨论即可求解。
18．【答案】39
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设第一列中间的数为a，则三个数之和为20+a，如图所示：
16 1 3+a
a 13 7
4 6+a 10
∴m=13+16+10=39，
故答案为：39
【分析】设第一列中间的数为a，则三个数之和为20+a，进而即可列出代数式，再运用整式的加减运算即可求解。
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】运用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的绝对值、零指数幂、二次根式进行运算，进而即可求解。
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
∴E类所对应的圆心角的度数为；
（2）解：∵（人），
∴估计“C．了解”的学生人数有12000人；
（3）解：样本平均数为：
，
∴本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据条形统计图、扇形统计图结合圆心角的计算公式即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
21．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴设，
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴，
∵的面积是8．
∴，
解得：；
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：∵点A的横坐标为2时，
∴，即，
则，
∵直线过点C，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，
解得：或，经检验，符合题意；
∴或．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数设，再根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可得到，进而结合三角形的面积即可求出k，从而即可求解；
（2）先根据题意结合点C的坐标即可得到b，进而得到直线为，再联立即可求出交点坐标。
22．【答案】（1）解：根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
（2）解：根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定；正方形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合题意即可求解；
（2）先根据旋转的性质得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而求出，，从而即可得到∠AHO=90°，再运用矩形的判定与正方形的判定即可求解。
23．【答案】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设乙单独完成需要个月，根据“规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务”列出分式方程，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，再结合题意即可列出不等式组，从而得到b的取值范围，再根据题意列出方案，进而即可求解。
24．【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是的平分线．
（2）解：如图所示，连接．
设．
根据（1）证明可知，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：设的半径为，，则．
∵，
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
变形，得
．
解得
．
．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质即可得到，再结合角平分线的判定即可求解；
（2）连接，设，根据（1）证明可知，，根据题意结合角的运算即可得到，再根据三角形内角和定理即可求出，进而即可求解；
（3）设的半径为，，则，根据等腰三角形的性质即可得到，进而运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，从而代入变形即可得到，然后结合题意即可求解。
25．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
，
，
，
把，代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为
（2）解：直线表达式，
直线经过定点，
将过点的直线旋转观察和新图象的公共点情况
把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的解析式为，
新图象表达式为：时，；或时，，
如下图当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，
联立，得：，
整理得：
，
，
，
，
，
时，即如上图所示，符合题意，
时，如下图所示，经过点，
不符合题意，故舍去，
如下图，当直线经过点时，和新图象有三个公共点，
把代入，得：，
解得：，
综上所述，当平面内的直线与新图象有三个公共点时，k的值为或
（3）解：在抛物线上，
设坐标为，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
，代入，
点的坐标为
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先根据点C的坐标得到c，进而运用待定系数法求二次函数即可；
（2）先根据题意得到直线经过定点，进而结合题意即可得到新图象表达式为：时，；或时，，然后进行分类讨论：当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，再联立结合一元二次方程根的判别式即可求解；当直线经过点时，和新图象有三个公共点，进而结合题意即可求解；
（3）先根据题意设坐标为，进而运用锐角三角函数的定义结合勾股定理即可得到，从而得到，， ， ， ， ，再结合题意即可求解。
1 / 1四川省德阳市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·德阳）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：由题意得无理数的是，
故答案为：B
【分析】根据无理数的定义结合题意即可求解。
2．（2023·德阳）如果，那么下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据不等式的基本性质结合题意即可求解。
3．（2023·德阳）下列说法中正确的是（ ）
A．对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式
B．中考期间一定会下雨是必然事件
C．一个样本中包含的个体数目称为样本容量
D．已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；随机事件；方差
【解析】【解答】解：
A、对绵远河段水质污染情况的调查，采用抽样调查的方式，A不符合题意；
B、中考期间一定会下雨是随机事件，B不符合题意；
C、一个样本中包含的个体数目称为样本容量，C符合题意；
D、已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为18，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据抽样调查、随机事件、样本容量、方差的定义结合题意即可求解。
4．（2023·德阳）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠MNF+∠NMB=180°，∠BMF+∠DFM=180°，
∵，MF为∠NMB的角平分线，
∴∠BMF=70°，
∴∠MFD=110°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠MNF+∠NMB=180°，∠BMF+∠DFM=180°，进而根据角平分线的性质结合题意即可得到∠BMF=70°，从而即可求解。
5．（2023·德阳）在6，7，8，9四个数字中任意选取两个数字，则这两个数字之和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：列表，如图所示：
6 7 8 9
6 13 14 15
7 13 15 16
8 14 15 17
9 15 16 17
∴共有12种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有8种，
∴这两个数字之和为奇数的概率是，
故答案为：C
【分析】先根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中两个数字之和为奇数的结果有8种，再根据简单事件的概率进行计算即可求解。
6．（2023·德阳）不等式组，的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≤1，
解②得x＜4，
∴不等式组的解集为，
故答案为：A
【分析】先分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
7．（2023·德阳）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∵，
∴，
∵AF=BF，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据勾股定理即可求出CD，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质结合题意即可求解。
8．（2023·德阳）已知，则（ ）
A．y B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法结合题意即可求解。
9．（2023·德阳）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰梯形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设A为正多边形的中心，CB为正多边形的边，CA、BA为正多边形的半径，AD为边心距，如图所示：
由题意得CB⊥DA，CA=BA，，
∴BD=DC，
∴，
∴∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴这个正多边形的边数是，
故答案为：B
【分析】设A为正多边形的中心，CB为正多边形的边，CA、BA为正多边形的半径，AD为边心距，先根据题意即可得到CB⊥DA，CA=BA，，进而运用等腰三角形的性质结合锐角三角函数的定义即可得到，再根据特殊角的三角函数值结合等边三角形的判定与性质即可求解。
10．（2023·德阳）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴四边形ABCD为矩形，
∴CO=DO，
∵FC∥DO，FD∥CO，
∴四边形OCFD为菱形，
连接FO，PG，如图所示：
∵点G是的中点，
∴FO⊥CD，
∴当FC⊥GP时，PG最小，
∵的面积为12，
∴DO=CO=3，，
∴，
∴，
∵四边形OCFD为菱形，
∴FC=3，
∴，
∴GP=1，
∴的最小值是1，
故答案为：A
【分析】先根据菱形的判定和矩形的判定证明四边形OCFD为菱形，连接FO，PG，再根据菱形的性质得到FO⊥CD，进而得到当FC⊥GP时，PG最小，再结合题意运用菱形的性质即可求解。
11．（2023·德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：第3次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n，
第4次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n，-n+m
第5次操作后得到的整式串为m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m，
......
∴整式串以四次操作为一次循环，第四次操作后的整式和为0，
∵2023÷4=505...3，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和是m+n+n-m-m-n=n-m，
故答案为：C
【分析】运用整式的加减运算即可代数式的规律，进而结合题意即可求解。
12．（2023·德阳）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②是的切线；
③B，E两点间的距离是；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ，如图所示：
的直径 ， ，
， ，
∴ ， ，
是弦， ， ，
，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，①正确；
， ，
，
，
平分 ，
是 的中垂线，
，
，
，
，
，即 ，
是弦，
是锐角，
是钝角，
是钝角， ，
不垂直 ， 不是 的切线，②不正确；
，
，
又 ，
，
，
， 于 ，
，
，
，
，
∴ ，③正确；
， ，
， ，
，
， ，
，
设 ，则 ，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
，
解得 ，
，④不正确；
综上所述，①和③结论正确，
故答案为：B
【分析】连接 、 、 ，过点 作 交 延长线于 ， 于 ，根据题意结合垂径定理、圆内接四边形的性质即可得到，进而根据垂直定理结合题意即可得到 不是 的切线，再证明 ，结合题意运用勾股定理即可得到③； 设 ，则 ，根据题意即可得到 ，进而结合题意代入即可求出a。
二、填空题
13．（2017·平邑模拟）分解因式：ax2﹣4ay2= ．
【答案】a（x+2y）（x﹣2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：ax2﹣4ay2
=a（x2﹣4y2）
=a（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】观察原式ax2﹣4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
14．（2023·德阳）2023年5月30日，“神舟”十六号载人飞船成功发射，在距离地球400千米的中国空间站与“神舟”十五号三人乘组顺利实现在轨换岗．其中400千米用科学记数法表示为 米．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得400千米用科学记数法表示为米，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
15．（2023·德阳）在一次数学测试中，张老师发现第一小组6位学生的成绩（单位：分）分别为：85，78，90，72，●，75，其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组成绩的中位数是 ．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：设被墨水污染的同学的成绩为a，由题意得，
解得a=80，
∴该小组成绩的中位数是，
故答案为：79
【分析】设被墨水污染的同学的成绩为a，根据平均数的定义结合中位数即可求解。
16．（2023·德阳）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如图所示：
由题意得： ，点M为 的中点，
当 在右侧处时，
∴ ， ，
∴ ，
当 在下方时，由题意得： ，
∴ ，
当按下图方式展开时，延长 ，过 作 于 ，作 于 ，作 于 ，如图所示：
则 ，四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，， ， ，
∴此时 重合，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴小虫爬行的最短路程等于 ．
故答案为：
【分析】连接 ，由题意得： ，点M为 的中点，当 在右侧处时，根据题意求出 ， ，进而根据勾股定理即可求解；当 在下方时，根据等边三角形的性质结合勾股定理即可得到 ，进而即可求解，当按下图方式展开时，延长 ，过 作 于 ，作 于 ，作 于 ，进而根据矩形的性质即可得到 ， ，进而结合三角形内角和定理即可得到 ，再根据题意结合勾股定理求出MB1，进而比较大小即可求解。
17．（2023·德阳）已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意得当位于的外部，且P，位于同一直线上时，r存在最小值，如图所示：
∴最小值r=5-2=3，
当位于的内部，且P，位于同一直线上时，r存在最大值，如图所示：
∴最大值r=5+2=7，
∴的取值范围是，
故答案为：
【分析】直接根据圆与圆的位置关系结合题意进行分类讨论即可求解。
18．（2023·德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ．
16
7
4
【答案】39
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设第一列中间的数为a，则三个数之和为20+a，如图所示：
16 1 3+a
a 13 7
4 6+a 10
∴m=13+16+10=39，
故答案为：39
【分析】设第一列中间的数为a，则三个数之和为20+a，进而即可列出代数式，再运用整式的加减运算即可求解。
三、解答题
19．（2023·德阳）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】运用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的绝对值、零指数幂、二次根式进行运算，进而即可求解。
20．（2023·德阳）三星堆遗址已有5000年历史，是迄今为止在中国境内发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古城、古国、古文化遗址.2022年三层堆青铜面具亮相央视春晚舞台，向全国观众掀开了它神秘的面纱，“三星堆文化”再次引起德阳广大市民的关注．为了解全市九年级学生对“三星堆文化”知识的了解程度，从中随机抽取了500名学生进行周查，并将其问题分为了五类，A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解，根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求图中a，b的值，以及E类所对应的圆心角的度数；
（2）据统计，全市共有30000名九年级学生，请你估计“C．了解”的学生人数；
（3）德阳市文化与旅游局为了解三星堆知识在全市九年级学生中的普及程度，将每一个接受调查的对象对景点知识的了解程度，按本题中“A，B，C，D，E”五类，分别赋上对应的分数“90分，80分，70分，45分，0分”，求得平均分x，若则受调查群体获评“优秀”；若，则受调查群体获评“良好”；若则受调查群体获评“合格”；若则受调查群体为“不合格”．请根据样本数据说明，本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为什么等级？
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
∴E类所对应的圆心角的度数为；
（2）解：∵（人），
∴估计“C．了解”的学生人数有12000人；
（3）解：样本平均数为：
，
∴本次九年级学生对景点知识的了解程度应被评为“良好”等级．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据条形统计图、扇形统计图结合圆心角的计算公式即可求解；
（2）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
21．（2023·德阳）如图，点A在反比例函数的图象上，点C是点A关于y轴的对称点，的面积是8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当点A的横坐标为2时，过点C的直线与反比例函数的图象相交于点P，求交点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴设，
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴，
∵的面积是8．
∴，
解得：；
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：∵点A的横坐标为2时，
∴，即，
则，
∵直线过点C，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，
解得：或，经检验，符合题意；
∴或．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数设，再根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可得到，进而结合三角形的面积即可求出k，从而即可求解；
（2）先根据题意结合点C的坐标即可得到b，进而得到直线为，再联立即可求出交点坐标。
22．（2023·德阳）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．
（1）求的值；
（2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
（2）解：根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定；正方形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合题意即可求解；
（2）先根据旋转的性质得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而求出，，从而即可得到∠AHO=90°，再运用矩形的判定与正方形的判定即可求解。
23．（2023·德阳）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】（1）解：设乙单独完成需要个月，则
，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都为正整数，
∴为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设乙单独完成需要个月，根据“规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务”列出分式方程，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，再结合题意即可列出不等式组，从而得到b的取值范围，再根据题意列出方案，进而即可求解。
24．（2023·德阳）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．
（1）求证：是的平分线；
（2）求的度数；
（3）求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是的平分线．
（2）解：如图所示，连接．
设．
根据（1）证明可知，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：设的半径为，，则．
∵，
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
变形，得
．
解得
．
．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质即可得到，再结合角平分线的判定即可求解；
（2）连接，设，根据（1）证明可知，，根据题意结合角的运算即可得到，再根据三角形内角和定理即可求出，进而即可求解；
（3）设的半径为，，则，根据等腰三角形的性质即可得到，进而运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，从而代入变形即可得到，然后结合题意即可求解。
25．（2023·德阳）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值；
（3）如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
，
，
，
把，代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为
（2）解：直线表达式，
直线经过定点，
将过点的直线旋转观察和新图象的公共点情况
把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的解析式为，
新图象表达式为：时，；或时，，
如下图当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，
联立，得：，
整理得：
，
，
，
，
，
时，即如上图所示，符合题意，
时，如下图所示，经过点，
不符合题意，故舍去，
如下图，当直线经过点时，和新图象有三个公共点，
把代入，得：，
解得：，
综上所述，当平面内的直线与新图象有三个公共点时，k的值为或
（3）解：在抛物线上，
设坐标为，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
，代入，
点的坐标为
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先根据点C的坐标得到c，进而运用待定系数法求二次函数即可；
（2）先根据题意得到直线经过定点，进而结合题意即可得到新图象表达式为：时，；或时，，然后进行分类讨论：当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，再联立结合一元二次方程根的判别式即可求解；当直线经过点时，和新图象有三个公共点，进而结合题意即可求解；
（3）先根据题意设坐标为，进而运用锐角三角函数的定义结合勾股定理即可得到，从而得到，， ， ， ， ，再结合题意即可求解。
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