四川省雅安市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·雅安）在0，，，2四个数中，负数是（ ）
A．0 B． C． D．2
2．（2023·雅安）计算的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．19
3．（2023·雅安）如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·雅安）如图，，于点C，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·雅安）若．则的值是（ ）
A． B． C．5 D．
6．（2023·雅安）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·雅安）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·雅安）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·雅安）某位运动员在一次射击训练中，次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．（2023·雅安）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．（2023·雅安）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
二、填空题
13．（2023·雅安）在一个不透明的口袋中，装有1个红球若干个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则此口袋中白球的个数为 .
14．（2023·雅安）若，，则的值为 ．
15．（2023·雅安）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
16．（2023·雅安）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．
17．（2023·雅安）如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ．
三、解答题
18．（2023·雅安）（1）计算：
（2）先化简，再求值：．其中
19．（2023·雅安）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
10 0.1
15 b
a 0.35
40 c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
20．（2023·雅安）如图，已知，是对角线上两点，．
（1）求证：；
（2）若交的延长线于点，，求的面积．
21．（2023·雅安）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
22．（2023·雅安）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式．
23．（2023·雅安）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
24．（2023·雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：由题意得负数是，
故答案为：C
【分析】根据负数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据零指数幂进行运算，进而即可求解。
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是，
故答案为：C
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠1+∠ACD=180°，
∵，，
∴∠ACD=115°，∠ACB=90°，
∴∠2=25°，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可得到∠ACD的度数，进而根据垂直即可求解。
5．【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据题意得到，进而代入求值即可求解。
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数的乘除对选项逐一运算即可求解。
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≥-1，
解②得x＜3，
∴不等式组的解集为，
故答案为：D
【分析】分别解出不等式①和②，进而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据扇形面积的计算公式结合题意即可求出阴影部分的面积。
9．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由题意得成绩由小到大依次排列为9.3、9.5、9.5、9.5、9.8、9.8、9.8、9.8、10、10，
∴中位数为，平均数为，
故答案为：B
【分析】根据中位数、平均数的定义结合题意进行计算即可求解。
10．【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，
∴函数解析式变为y=-x，
∵再向上平移1个单位长度，
∴所得直线的函数表达式为，
故答案为：A
【分析】根据函数的变化结合题意即可求解。
11．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∴，，
设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，
∴，
解得a=8，
∴GF=8，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC=BA，DC∥BA，进而根据平行线分线段成比例即可得到，，设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，根据题意即可列出方程，进而即可求解。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵函数开口向下，
∴a＜0，①错误；
②∵二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，
∴B（6，0），②正确；
③∵B（6，0），，
∴，
∴①-②×9得24b-8c=0，
∴，③正确；
④由题意得x=2时，函数取得最大值，
∴当x=2时，y=4a+2b+c，
当x=m时，，
∴，
∴，④正确；
∴正确结论的序号为②③④，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象与性质结合二次函数的对称轴对选项逐一分析即可求解。
13．【答案】3
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设白球的个数为x，由题意得，
解得x=3，
故答案为：3
【分析】设白球的个数为x，根据简单事件的概率结合题意即可求解。
14．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据平方差公式结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根为1，
∴1+m-4=0，
解得m=3，
∴，
解得x=-4或x=1，
∴该方程的另一个根为-4，
故答案为：-4
【分析】根据一元二次方程的根即可求出m，进而解一元二次方程即可求解。
16．【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，如图所示：
由勾股定理得，
∵，，，
∴四边形EPDC为矩形，
∴ED=PC，
∴当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，
∴，
代入数据解得，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】连接PC，先根据勾股定理即可求出AB的长，进而运用矩形的判定与性质即可得到ED=PC，从而根据垂线段最短得到当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，再运用代入数据即可求解。
17．【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，如图所示：
∵，，
∴△DCB为等边三角形，
∴DC=CB=DB=8，
∵，，
∴DB⊥CA，DO=OB=4，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
∵，
∴∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，
∴CE=EA=6，
∴
∴，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，先根据等边三角形的判定与性质即可得到DC=CB=DB=8，进而根据平行线的性质结合垂直平分线的性质即可得到∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，CE=EA=6，再运用解直角三角形求出FC、FA、OC，然后运用勾股定理即可求解。
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
当时，原式．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）运用负整数指数幂、实数的平方、绝对值进行运算，进而即可求解；
（2）先根据分式的混合运算进行运算，进而代入求值即可求解。
19．【答案】（1）解：由题意得：抽取学生总数（人），
，
，
．
（2）解：补全频数分布直方图如图：
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据频数分布直方图、表格的信息即可求解；
（2）根据题意补全频数直方图即可；
（3）先根据题意画出树状图，进而即可得到共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再运用简单事件的概率即可求解。
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
又∵，，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2）先根据题意得到，进而运用勾股定理即可求出BH，再运用锐角三角函数的定义结合平行四边形的面积即可求解。
21．【答案】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜，
由题意得：，
解得：，
乙蔬菜，
答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜，
（2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，
由题意得：，
答：m与n的函数关系为：，
（3）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，
由题意得，
解得，
答：至少批发甲种蔬菜．
【知识点】一元一次不等式的应用；列一次函数关系式；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据表格数据即可列出一元一次方程，进而即可求解；
（2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，根据题意即可得到m与n的关系式；
（3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，根据题意列出不等式，进而即可得到n的取值范围，再结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解：四边形是边长为的正方形，
，
；
即反比例函数的表达式为．
（2）解：设，过点D作轴，
点，，，
∴
，
，
解得：，，经检验，是符合题意的根，
即点，
设直线的函数解析式为，得∶
，解得：，
即：直线的函数解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质结合反比例函数k的几何意义即可得到k，进而即可求解；
（2）设，过点D作轴，根据三角形的面积结合题意即可得到a，进而得到点D的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可得到解析式。
23．【答案】（1）证明：连接，如图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：由（1）知，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵在中，，即：，
∴（负值以舍去），
∴；
（3）解：设的边高为，
由（2）可知，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴当取最大值时，也取最大值，
又∵，
∴当取最大值时，取最大值，
此时边高为取最大值为半径，
∴，
∴
∴，
∴，
综上所述：的最大值为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到，进而结合题意运用切线的判定即可求解；
（2）根据题意结合锐角三角函数的定义即可得到，，进而运用勾股定理即可求出BD，从而即可得到AD；
（3）设的边高为，先根据勾股定理得到，进而得到，从而得到当取最大值时，也取最大值，再根据三角形的面积结合题意即可求解。
24．【答案】（1）解：由题意可得：
，解得：，
所以抛物线的函数表达式为；
当时，，则顶点M的坐标为．
（2）解：如图：过点M作交于D
设点，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，解得：或（舍去）
∴，，
∴该三角形的边长．
（3）存在点F，当或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）①如图：线段作为菱形的边，
当E的纵坐标为大于零时，作关于直线的对称线段交于E，连接，作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时．
当E的纵坐标为小于零时，同理可知：三点共线，不符合题意．
②线段作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形，
∴，的中点G的坐标为，点G是的中点，
∴，解得，
∴，
设，
则有：，解得：，
∴．
综上，当或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【分析】（1）运用待定系数法即可得到二次函数的解析式，进而即可得到顶点坐标；
（2）过点M作交于D，设点，则，根据等边三角形的性质结合题意即可得到，，进而运用锐角三角函数的定义结合题意即可得到b，从而即可求解；
（3）根据题意进行分类讨论：①如图：线段作为菱形的边， 当E的纵坐标为大于零时，作关于直线的对称线段交于E，连接，作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时．当E的纵坐标为小于零时，同理可知：三点共线，不符合题意；②线段作为菱形的对角线时， 进而运用菱形的性质结合两点间的距离公式即可求解；最后总结即可。
1 / 1四川省雅安市2023年中考数学真题
一、单选题
1．（2023·雅安）在0，，，2四个数中，负数是（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：由题意得负数是，
故答案为：C
【分析】根据负数的定义结合题意即可求解。
2．（2023·雅安）计算的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．19
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据零指数幂进行运算，进而即可求解。
3．（2023·雅安）如图，是由3个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是，
故答案为：C
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。
4．（2023·雅安）如图，，于点C，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠1+∠ACD=180°，
∵，，
∴∠ACD=115°，∠ACB=90°，
∴∠2=25°，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可得到∠ACD的度数，进而根据垂直即可求解。
5．（2023·雅安）若．则的值是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据题意得到，进而代入求值即可求解。
6．（2023·雅安）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数的乘除对选项逐一运算即可求解。
7．（2023·雅安）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≥-1，
解②得x＜3，
∴不等式组的解集为，
故答案为：D
【分析】分别解出不等式①和②，进而即可求解。
8．（2023·雅安）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据扇形面积的计算公式结合题意即可求出阴影部分的面积。
9．（2023·雅安）某位运动员在一次射击训练中，次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由题意得成绩由小到大依次排列为9.3、9.5、9.5、9.5、9.8、9.8、9.8、9.8、10、10，
∴中位数为，平均数为，
故答案为：B
【分析】根据中位数、平均数的定义结合题意进行计算即可求解。
10．（2023·雅安）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，
∴函数解析式变为y=-x，
∵再向上平移1个单位长度，
∴所得直线的函数表达式为，
故答案为：A
【分析】根据函数的变化结合题意即可求解。
11．（2023·雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∴，，
设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，
∴，
解得a=8，
∴GF=8，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC=BA，DC∥BA，进而根据平行线分线段成比例即可得到，，设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，根据题意即可列出方程，进而即可求解。
12．（2023·雅安）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵函数开口向下，
∴a＜0，①错误；
②∵二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，
∴B（6，0），②正确；
③∵B（6，0），，
∴，
∴①-②×9得24b-8c=0，
∴，③正确；
④由题意得x=2时，函数取得最大值，
∴当x=2时，y=4a+2b+c，
当x=m时，，
∴，
∴，④正确；
∴正确结论的序号为②③④，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象与性质结合二次函数的对称轴对选项逐一分析即可求解。
二、填空题
13．（2023·雅安）在一个不透明的口袋中，装有1个红球若干个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则此口袋中白球的个数为 .
【答案】3
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设白球的个数为x，由题意得，
解得x=3，
故答案为：3
【分析】设白球的个数为x，根据简单事件的概率结合题意即可求解。
14．（2023·雅安）若，，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据平方差公式结合题意即可求解。
15．（2023·雅安）已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根为1，
∴1+m-4=0，
解得m=3，
∴，
解得x=-4或x=1，
∴该方程的另一个根为-4，
故答案为：-4
【分析】根据一元二次方程的根即可求出m，进而解一元二次方程即可求解。
16．（2023·雅安）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，如图所示：
由勾股定理得，
∵，，，
∴四边形EPDC为矩形，
∴ED=PC，
∴当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，
∴，
代入数据解得，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】连接PC，先根据勾股定理即可求出AB的长，进而运用矩形的判定与性质即可得到ED=PC，从而根据垂线段最短得到当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，再运用代入数据即可求解。
17．（2023·雅安）如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，如图所示：
∵，，
∴△DCB为等边三角形，
∴DC=CB=DB=8，
∵，，
∴DB⊥CA，DO=OB=4，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
∵，
∴∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，
∴CE=EA=6，
∴
∴，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】连接CA、DB交于点O，过点E作CA⊥FE交CA于点F，先根据等边三角形的判定与性质即可得到DC=CB=DB=8，进而根据平行线的性质结合垂直平分线的性质即可得到∠BCA=∠DBA=∠CAE=30°，CE=EA=6，再运用解直角三角形求出FC、FA、OC，然后运用勾股定理即可求解。
三、解答题
18．（2023·雅安）（1）计算：
（2）先化简，再求值：．其中
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
当时，原式．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）运用负整数指数幂、实数的平方、绝对值进行运算，进而即可求解；
（2）先根据分式的混合运算进行运算，进而代入求值即可求解。
19．（2023·雅安）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
10 0.1
15 b
a 0.35
40 c
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【答案】（1）解：由题意得：抽取学生总数（人），
，
，
．
（2）解：补全频数分布直方图如图：
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据频数分布直方图、表格的信息即可求解；
（2）根据题意补全频数直方图即可；
（3）先根据题意画出树状图，进而即可得到共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再运用简单事件的概率即可求解。
20．（2023·雅安）如图，已知，是对角线上两点，．
（1）求证：；
（2）若交的延长线于点，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
又∵，，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（2）先根据题意得到，进而运用勾股定理即可求出BH，再运用锐角三角函数的定义结合平行四边形的面积即可求解。
21．（2023·雅安）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【答案】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜，
由题意得：，
解得：，
乙蔬菜，
答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜，
（2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，
由题意得：，
答：m与n的函数关系为：，
（3）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，
由题意得，
解得，
答：至少批发甲种蔬菜．
【知识点】一元一次不等式的应用；列一次函数关系式；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据表格数据即可列出一元一次方程，进而即可求解；
（2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，根据题意即可得到m与n的关系式；
（3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，根据题意列出不等式，进而即可得到n的取值范围，再结合题意即可求解。
22．（2023·雅安）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式．
【答案】（1）解：四边形是边长为的正方形，
，
；
即反比例函数的表达式为．
（2）解：设，过点D作轴，
点，，，
∴
，
，
解得：，，经检验，是符合题意的根，
即点，
设直线的函数解析式为，得∶
，解得：，
即：直线的函数解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质结合反比例函数k的几何意义即可得到k，进而即可求解；
（2）设，过点D作轴，根据三角形的面积结合题意即可得到a，进而得到点D的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可得到解析式。
23．（2023·雅安）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
【答案】（1）证明：连接，如图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：由（1）知，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵在中，，即：，
∴（负值以舍去），
∴；
（3）解：设的边高为，
由（2）可知，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴当取最大值时，也取最大值，
又∵，
∴当取最大值时，取最大值，
此时边高为取最大值为半径，
∴，
∴
∴，
∴，
综上所述：的最大值为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理即可得到，进而得到，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到，进而结合题意运用切线的判定即可求解；
（2）根据题意结合锐角三角函数的定义即可得到，，进而运用勾股定理即可求出BD，从而即可得到AD；
（3）设的边高为，先根据勾股定理得到，进而得到，从而得到当取最大值时，也取最大值，再根据三角形的面积结合题意即可求解。
24．（2023·雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：
，解得：，
所以抛物线的函数表达式为；
当时，，则顶点M的坐标为．
（2）解：如图：过点M作交于D
设点，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，解得：或（舍去）
∴，，
∴该三角形的边长．
（3）存在点F，当或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）①如图：线段作为菱形的边，
当E的纵坐标为大于零时，作关于直线的对称线段交于E，连接，作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时．
当E的纵坐标为小于零时，同理可知：三点共线，不符合题意．
②线段作为菱形的对角线时，
如图：设
∵菱形，
∴，的中点G的坐标为，点G是的中点，
∴，解得，
∴，
设，
则有：，解得：，
∴．
综上，当或时，以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【分析】（1）运用待定系数法即可得到二次函数的解析式，进而即可得到顶点坐标；
（2）过点M作交于D，设点，则，根据等边三角形的性质结合题意即可得到，，进而运用锐角三角函数的定义结合题意即可得到b，从而即可求解；
（3）根据题意进行分类讨论：①如图：线段作为菱形的边， 当E的纵坐标为大于零时，作关于直线的对称线段交于E，连接，作点E关于的对称点F，即为菱形，由对称性可得F的坐标为，故存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形，此时．当E的纵坐标为小于零时，同理可知：三点共线，不符合题意；②线段作为菱形的对角线时， 进而运用菱形的性质结合两点间的距离公式即可求解；最后总结即可。
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