新人教版高中数学必修第二册 第七章 复数 单元测试卷（含解析）

新人教版高中数学必修第二册第七章复数单元测试卷
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2020山东济宁高二月考)已知i是虚数单位,复数z=,则z的虚部为(　　)
A.-i B.-1
C.i D.1
2.(2020辽宁沈阳高二期中)若复数z=-2i(2+i),则z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2020天津一中高一月考)若复数z+1=,则z2 020等于(　　)
A.-21 010i B.21 010i C.-21 010 D.21 010
4.(2020山东潍坊高一期中)在复平面内,复数z对应的点与复数1+i对应的点关于实轴对称,则=(　　)
A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i
5.(2020四川成都七中高二月考)设复数z的共轭复数为,若|z-|=2,且z-为实数,则|z|=(　　)
A. B. C. D.
6.(2020天津耀华中学高一月考)若复数z满足z2<0,且z(1-2i)=a+i,其中a∈R,则实数a的值等于(　　)
A.-2 B.- C.2 D.
7.(2020山东日照高二期中)已知z1与z2互为共轭复数,有下列命题:①<|z2|2;②z1z2=|z1z2|;③z1+z2∈R;④∈R.其中一定正确的是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①②③
8.(2020辽宁锦州高一期末)已知a∈C,关于x的方程x2-ax+2-4i=0有实根,则|a|的最小值是(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2020北京石景山高一月考)在复平面内,下列各点所对应的复数不是纯虚数的是(　　)
A.(1,-3) B.(2,0) C.(0,-4) D.(0,0)
10.(2020山东济南高二期末)已知复数z=,其中i是虚数单位,则下列结论正确的是(　　)
A.z的模等于13
B.z对应的点在复平面的第四象限
C.z的共轭复数为-2-3i
D.若z(m+4i)是纯虚数,则m=-6
11.(2020山东烟台高一期中)下列结论中不正确的是(　　)
A.若a,b∈R,则“a=b”是“复数z=(a2-b2)+(a2+b2)i为纯虚数”的既不充分也不必要条件
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R或z为纯虚数
C.若复数z满足z=-|z|,则z是负实数
D.若=,则z1-z2=0
12.(2020山东菏泽高二月考)已知复数z满足|z|=1,若存在实数m使得z2-2mz+m2-m=0,则m的值可以为(　　)
A. B. C. D.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2020山东肥城高一期中)已知i是虚数单位,复数z的共轭复数为,且3z-1=+i,则复数z等于　　　　.
14.(2020陕西西安中学高二期末)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos θ和sin θ联系在了一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”.若复数z满足(eiπ+i)z=i,则|z|=　　　.
15.(2020山东威海高二期中)在复平面内,若复数z=in++2(n∈N*)所对应的点位于第一象限,则n的最小值为　　　　.
16.(2020北京西城高一期中)若z∈C,i为虚数单位,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2020山东枣庄三中高二月考)从①<0,②复平面内表示z1z2的点在直线x+y+2=0上,③z2+=-2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求出满足条件的复数z以及|z|.
已知复数z1=1+i,z2=a+2i(a∈R),　　　　,若=+,求复数z以及|z|.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)(2020辽宁盘锦高一月考)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.
(1)求|z|;
(2)若z1=+-i对应的点在第四象限,求m的取值范围.
19.(12分)(2020山东东营高一期中)已知复数z满足|z|=,z的实部大于0,z2的虚部为2.
(1)求复数;
(2)设复数z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求(+)·的值.
20.(12分)(2020辽宁瓦房店高一月考)在复平面内,复数z1,z2,z3对应的点分别为A(4,0),B(5,),C(3,3).
(1)计算,并求的模;
(2)求向量在向量上的投影向量,其中O为复平面的原点.
21.(12分)(2020山东青岛高一期末)已知复数z=1+mi(i是虚数单位,m∈R),且·(3+i)为纯虚数(是z的共轭复数).
(1)设复数z1=,求|z1|;
(2)设复数z2=,且复数z2所对应的点在第四象限,求实数a的取值范围.
22.(12分)(2020天津静海高一月考)已知复数z1对应的点在第一象限,且=-3+4i,复数z2=(a-4sin2θ)+(1+2cos θ)i,θ∈(0,π),a∈R.
(1)求复数z1;
(2)若z1=z2,求θ,a的值.
答案全解全析
1.B　由于z==-2-i,所以z的虚部为-1.
2.D　由于z=-2i(2+i)=2-4i,所以z在复平面内对应的点为(2,-4),位于第四象限.
3.C　由于z+1==i,所以z=-1+i,于是z2 020=(-1+i)2 020==(-2i)1 010=-21 010.
4.D　依题意得,复数z=1-i,所以==-1-i.
5.A　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为|z-|=2,所以|2bi|=2,即|b|=.z-=a+bi-(a-bi)2=a-a2+b2+(b+2ab)i.因为z-为实数,所以b+2ab=0,因为|b|=,所以a=-,所以|z|==.
6.C　由z2<0知z是纯虚数,又z===+i,所以=0,且≠0,解得a=2.
7.B　设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi(a,b∈R).①=a2-b2+2abi,|z2|2=a2+b2,虚数不能比较大小,因此不正确;②z1z2=|z1z2|=a2+b2,正确;③z1+z2=2a∈R,正确;④===+i不一定是实数,因此不一定正确.
8.B　设方程的实数根为x0,则-ax0+2-4i=0,因此a==-i,所以|a|==≥=4,当且仅当=,即x0=±时取等号,故|a|的最小值是4.
9.ABD　C选项中的点(0,-4)对应纯虚数-4i,其余各个选项中的点均不对应纯虚数.
10.BD　因为z==2-3i,所以|z|=,因此A项错误,z对应的点为(2,-3),在第四象限,因此B项正确;z的共轭复数为2+3i,因此C项错误;因为z(m+4i)=(2-3i)(m+4i)=(2m+12)+(8-3m)i为纯虚数,所以即m=-6,故D项正确.
11.CD　对于选项A,当a=b=0时,z=0,不是纯虚数,当z是纯虚数时,可以有a=-b,因此“a=b”是“复数z=(a2-b2)+(a2+b2)i为纯虚数”的既不充分也不必要条件,故A选项正确;对于选项B,当z2∈R时,z∈R或z为纯虚数,故B选项正确;当复数z满足z=-|z|时,必有z≤0,即z是非正实数,所以C选项错误;由=可得-=0,所以(z1+z2)(z1-z2)=0,因此z1±z2=0,故D选项错误.
12.ABC　由z2-2mz+m2-m=0可得(z-m)2=m.若m=0,则z=0,与|z|=1矛盾;若m>0,即z-m=±,则z=m±,此时z为实数,又|z|=1,则z=±1,当z=m±=1时,m=或m=;当z=m±=-1时,无解;若m<0,则z-m为纯虚数,不妨设z-m=bi(b∈R,b≠0),则z=m+bi,所以有-b2=m,而|z|=1,所以m2+b2=1,即m2-m=1,解得m=,故m的值可以为,,.
13.答案　+i
解析　设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,于是3(x+yi)-1=x-yi+i,即(3x-1)+3yi=x+(1-y)i,因此有解得故z=+i.
14.答案　
解析　由已知可得eiπ=cos π+isin π=-1,所以(-1+i)z=i,所以z==-i,故|z|=.
15.答案　3　
解析　当n=4k(k∈N*)时,in=1,此时z=5,z对应的点在实轴上;当n=4k+1(k∈N*)时,in=i,此时z=i++2=i-2i+2=2-i,z对应的点在第四象限;当n=4k+2(k∈N*)时,in=-1,此时z=-1,z对应的点在实轴上;当n=4k+3(k∈N*)时,in=-i,此时z=-i-+2=-i+2i+2=2+i,z对应的点在第一象限.因此当n=4k+3(n∈N*)时,z对应的点位于第一象限,故当k=0时,n取得最小值3.
16.答案　3
解析　由|z+2-2i|=1得|z-(-2+2i)|=1,
因此复数z对应的点Z在以z0=-2+2i对应的点Z0为圆心,1为半径的圆上,如图所示.
设y=|z-2-2i|,则y是Z点到2+2i对应的点A的距离.
又|AZ0|=4,∴由图知,ymin=|AZ0|-1=3.
17.解析　方案一:选条件①.
因为z1=1+i,所以===.(2分)
又<0,所以解得a=-1.所以z2=-1+2i.(5分)
又=+=,所以z====+i,(8分)
|z|==.(10分)
方案二:选条件②.
因为z1=1+i,z2=a+2i(a∈R),所以z1z2=(1+i)(a+2i)=a-2+(a+2)i,(2分)
在复平面内表示z1z2的点为(a-2,a+2),(3分)
依题意可知(a-2)+(a+2)+2=0,解得a=-1,所以z2=-1+2i.(5分)
又=+=,所以z====+i,(8分)
|z|==.(10分)
方案三:选条件③.
因为z2=a+2i,所以=a-2i,(2分)
由z2+=2a=-2,得a=-1,所以z2=-1+2i.(5分)
又=+=,所以z====+i,(8分)
|z|==.(10分)
18.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z+2i=a+(b+2)i,
由于z+2i是实数,所以b+2=0,即b=-2.(2分)
所以==+i,又为实数,所以=0,因此a=4.(4分)
故z=4-2i,|z|=2.(6分)
(2)由题意及(1)得z1=4++i,(8分)
依题意有(10分)解得-219.解析　(1)设复数z=x+yi,x,y∈R.由|z|=,得x2+y2=2.①(2分)
又z的实部为x,z2=x2-y2+2xyi的虚部为2xy,
所以x>0,2xy=2,即xy=1,且x>0.②(4分)
联立①②,解得x=1,y=1.所以复数z=1+i.(6分)
(2)复数z=1+i,z2=(1+i)2=2i,z-z2=(1+i)-2i=1-i.(8分)
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1).(10分)
所以(+)·=(1,3)·(1,-1)=1×1+3×(-1)=-2.(12分)
20.解析　(1)由题意可知,z2=5+i,z3=3+3i,(2分)
所以====-i,(4分)
故==. (6分)
(2)由题意可知=(4,0),=(-2,2).(8分)
设向量和的夹角为α,e是与方向相同的单位向量,
则||cos α e=||·e=e=-2e=-2×=-,
即向量在向量上的投影向量是-.(12分)
21.解析　∵z=1+mi,∴=1-mi,(1分)
又∵·(3+i)=(1-mi)(3+i)=(3+m)+(1-3m)i为纯虚数,
∴解得m=-3,∴z=1-3i.(4分)
(1)∵m=-3,∴z1==--i,(5分)
∴|z1|==.(6分)
(2)∵z=1-3i,∴z2====,(8分)
又∵复数z2所对应的点在第四象限,∴解得∴-322.解析　(1)设z1=x+yi(x>0,y>0),则=x2-y2+2xyi=-3+4i,(2分)
所以解得或(4分)
因为x>0,y>0,所以所以z1=1+2i.(6分)
(2)因为z1=(1+2i)=-1+2i,(8分)
所以(a-4sin2θ)+(1+2cos θ)i=-1+2i,所以解得cos θ=,
由于θ∈(0,π),所以θ=.(10分)
又因为sin2θ=1-cos 2θ=,所以a=4sin2θ-1=2.(12分)