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数学
第十章 概率
10．3.2 随机模拟
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
结合具体实例，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 数学抽象：随机数的意义．
数学建模：用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件可以产生________．
(2)构建__________产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．
随机数
模拟试验
用频率估计概率时，用计算机模拟随机试验产生随机数有什么优点？
提示：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用计算机进行随机模拟，可以在短时间内多次重复来做实验，应用很广泛．( )
(2)用计算器或计算机产生随机数，既能保证操作简单，省时省力，又能保证等可能性．( )
√
√
2．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于( )
A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法
√
探究点1 随机数的产生
要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
【解】 方法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
方法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
产生随机数方法的比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
解：要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同).
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1 200名学生的考试号0001，0002，…，1 200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推．
探究点2 用随机模拟估计概率
盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
利用随机模拟估计概率应关注三点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
解：用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：
1．掷两枚质地均匀的骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2
C．9 D．12
解析：由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．故选B.
√
√
3．小明从某本书中随机抽取了6页，在统计了各页中“的”和“了”出现的次数后，分别求出了“的”和“了”出现的频率，并绘制了如图所示的折线图．随着统计页数的增加，试估计“的”和“了”这两个字出现的频率将如何变化．
解：估计“的”字出现的频率在0.058附近摆动，“了”字出现的频率在0.01附近摆动．
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数学
第十章 概率
10．3 频率与概率
10．3.1 频率的稳定性
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
学习指导 核心素养
结合具体实例，会用频率估计概率． 1.数学抽象、数据分析：通过运用恰当的例子抽象出频率的稳定性，识别频率与概率的区别．
2．数学建模、数据分析：会用频率的稳定性解释生活中的实际问题．
频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有________．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会______，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
随机性
缩小
稳定
1．频率和概率可以相等吗？
提示：可以相等．但因为每次试验的频率是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．
2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？
提示：随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件的概率越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大．( )
(2)随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．( )
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( )
√
√
×
√
3．在一次掷硬币试验中，掷30 000次，其中有14 984次正面朝上，则出现正面朝上的频率是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________．
探究点1 频率与概率的关系
下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率．
频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
√
解析：对于①，次品率描述的是产生次品的可能情况，故①错误；对于②③，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一常数，此常数就是概率，故②③错误．
探究点2 概率的含义
某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
从三个方面理解概率的意义
(1)概率是随机事件A发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
解析：①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误；
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误；
探究点3 游戏的公平性
某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一个代表先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．组织者利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
(变条件)在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
甲、乙两人做游戏，从装有3个白球1个黑球的袋子中任取1球，如果取出的是白球，甲获胜，否则乙获胜．试问这个游戏对两个人来说公平吗？请说明理由．
解：不公平．因为甲获胜的情况有3种，而乙获胜的情况只有1种，两人获胜的概率不相等，所以这个游戏对两个人来说不公平．
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
√
解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0，1]之间，故A错，B，D混淆了频率与概率的概念，也错．
2．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
√
解析：由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，随着n的逐渐增加，频率f(n)逐渐趋近于概率．故选D.
3.玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的圆盘．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________．(填“公平”或“不公平”)
答案：不公平
(2)从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在0.9附近，由此可估计该种鱼卵孵化成功的概率约为0.9.
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